第3讲 电容器的电容带电粒子在电场中的运动\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、常见电容器 电容器的电压、电荷量和电容的关系1．常见的电容器：(1)组成：由两个彼此________又相距________的导体组成．(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的________．(3)电容器的充、放电充电使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的________，电容器中储存________放电使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中________转化为其他形式的能绝缘很近绝对值异种电荷电场能电场能\n2.电容：(1)定义：电容器所带的________与电容器两极板之间的________之比．(2)定义式：C＝________．(3)物理意义：表示电容器________本领的物理量．(4)单位：法拉(F)1F＝________μF＝________pF.3．平行板电容器：(1)影响因素：平行板电容器的电容与极板的________成正比，与电介质的____________成正比，与极板间距离成反比．(2)决定式：________，k为静电力常量．电荷量Q电势差U容纳电荷1061012正对面积相对介电常数C＝\n二、带电粒子在匀强电场中的运动1．做直线运动的条件：(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子________或做匀速直线运动．(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做______________或匀减速直线运动．2．带电粒子在匀强电场中的偏转：(1)条件：以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场，仅受电场力．(2)运动性质：________运动．(3)处理方法：运动的分解．①沿初速度方向：做________运动．②沿电场方向：做初速度为零的__________运动．静止匀加速直线运动类平抛匀速直线匀加速直线\n(4)带电粒子在电场中偏转的一般规律：\n【生活情境】1．如图所示，指纹传感器在一块半导体基板上有大量相同的小极板，外表面绝缘．当手指的指纹一面与绝缘表面接触时，由于指纹凸凹不平，凸点处与凹点处分别与半导体基板上的小极板形成一个个正对面积相同的电容器，若每个电容器的电压保持不变，则\n(1)指纹的凸点处与小极板距离近，电容小．()(2)指纹的凸点处与小极板距离近，电容大．()(3)手指挤压绝缘表面，电容电极间的距离减小，小极板带电量增大．()(4)手指挤压绝缘表面，电容电极间的距离减小，小极板带电量减小．()×√√×\n【教材拓展】2.[人教版必修第三册P51习题改编]如图所示，两平行金属板相距为d，电势差U未知，一个电子从O点沿垂直于极板的方向以速度v射出，最远到达A点，然后返回．已知OA相距为h，电子质量为m，电子的电荷量为e，则两金属板间的电势差U为()A．B．C．D．答案：C\n关键能力·分层突破\n考点一 电容器及电容器的动态分析1．对公式C＝的理解电容C＝，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．2．电容器两类问题的分析方法(1)U不变①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．②根据E＝分析场强的变化．③根据UAB＝E·d＝φA－φB分析某点电势变化．(2)Q不变①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．②根据E＝＝分析场强变化．\n【跟进训练】1.a、b两个电容器如图甲所示，图乙是它们的部分参数．由此可知，下列关于a、b两个电容器的说法正确的是()A．a、b两个电容器的电容之比为8∶1B．a、b两个电容器的电容之比为4∶5C．b电容器正常工作时最多可容纳的电荷量为0.1CD．a电容器正常工作时最多可容纳的电荷量为1C答案：C\n解析：由题图乙可知，a电容器的电容为C1＝1000μF，b电容器的电容为C2＝10000μF，所以a、b两个电容器的电容之比为1000∶10000＝1∶10，A、B错误；a电容器正常工作时最多能容纳的电荷量为q1＝C1U1＝1000×10－6×80C＝0.08C，b电容器正常工作时最多能容纳的电荷量为q2＝C2U2＝10000×10－6×10C＝0.1C，故C正确，D错误．\n2．如图所示，M、N为平行板电容器的两个金属极板，G为静电计，开始时闭合开关S，静电计张开一定角度．则下列说法正确的是()A．开关S保持闭合状态，将R的滑片向右移动，静电计指针张开角度增大B．开关S保持闭合状态，将两极板间距增大，静电计指针张开角度增大C．断开开关S后，将两极板间距增大，板间电压不变D．断开开关S后，紧贴下极板插入金属板，板间场强不变答案：D\n解析：保持开关S闭合，电容器两端的电势差等于电源的电动势，故电容器两端的电势差总不变，因此无论将R的滑片向右移动，还是将两极板间距增大，静电计指针张角都不变，A、B错误；断开开关S后，电容器所带电荷量不变，将两极板间距增大，即d增大，根据C＝知，电容减小，根据U＝知，板间电压增大，C错误；断开开关S后，电容器所带电荷量不变，若紧贴下极板插入金属板，则d减小，根据E＝＝知，极板间的电场强度不变，D正确．\n3．[2022·湖南益阳市质检](多选)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，G为灵敏电流计，平行板电容器的两金属板水平放置．开关S闭合时，两板间一质量为m、电荷量为q的油滴恰好处于静止状态，则下列说法正确的是()A.在将滑动变阻器的滑片P向下移动的过程中，油滴向下做加速运动B．在将滑动变阻器的滑片P向下移动的过程中，油滴向上做加速运动C．在将滑动变阻器的滑片P向下移动的过程中，G中有从a到b的电流通过D．将S断开后，油滴仍保持静止状态，G中无电流通过答案：BC\n解析：油滴原来恰好处于静止状态，受到的重力与电场力二力平衡，说明油滴所受电场力的方向竖直向上，在将滑动变阻器的滑片P向下移动的过程中，滑动变阻器接入电路中的电阻增大，滑动变阻器两端的电压增大，则电容器两极板间的电压增大，电场强度增大，油滴所受的电场力增大，油滴向上做加速运动，选项A错误，B正确；由上述分析可知将滑动变阻器的滑片P向下移动的过程中，电容器的两极板间的电压增大，电容器所带电荷量增大，电容器处于充电过程，所以G中有从a到b的电流通过，选项C正确；将S断开后，电容器将放电，G中有从b到a的电流通过，电容器所带电荷量减少，两极板间的电场强度减小，油滴所受电场力减小，则油滴向下做加速运动，选项D错误．\n考点二 带电粒子在电场中的直线运动1．带电粒子(体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力．\n2．解决问题的方法(1)用动力学观点分析Eq＋F其他＝ma，E＝(匀强电场)，v2-＝2ad(匀变速直线运动)．(2)用功能观点分析①匀强电场中：W电＝Eqd＝qU，W电＋W其他＝.②非匀强电场中：W电＝qU，W电＋W其他＝Ek2－Ek1.\n例1加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极．质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的.质子的荷质比取1×108C/kg.求：(1)漂移管B的长度；(2)相邻漂移管间的加速电压．\n解析：(1)设质子进入漂移管B的速度为vB，电源频率、周期分别为f、T，漂移管A的长度为L，则T＝①L＝②联立①②式并代入数据得L＝0.4m③\n(2)设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，电压对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E电场做功W′，质子的电荷量为q、质量为m，则W＝qU④W′＝3W⑤W′＝⑥联立④⑤⑥式并代入数据得U＝6×104V\n【跟进训练】4.[2021·湖北省武汉市高三下五月质量检测](多选)如图所示，两个相同的平行板电容器均与水平方向成θ角放置，两极板与直流电源相连．若带电小球分别以速度v0沿边缘水平射入电容器，均能沿图中所示水平直线恰好穿出电容器，穿出时的速度分别为v1和v2.下列说法正确的是()A．两种情形下带电小球的运动时间相等B．两种情形下电容器所加电压相等C．小球的速度满足关系v0＝v1＝v2D．小球的速度满足关系答案：BD\n解析：静电力的方向垂直于极板，由于两种情况下小球均沿着水平方向运动，竖直方向所受合力均为零，因此两种情况下带电小球所受静电力大小均为F＝，又因两电容器相同，根据F＝Eq＝知两种情形下电容器所加电压相等，B正确；分析知第一种情况小球做匀减速直线运动，第二种情况小球做匀加速直线运动，初速度相同，运动位移相同，由匀变速直线运动规律知，两种情况带电小球的运动时间不同，末速度也不同，A、C错误；第一种情况，水平方向上有：＝2ax，第二种情况，水平方向上有：＝2ax，两式联立，可得，D正确．\n5．如图甲所示，电荷量为q＝2×10－4C的带正电的小物块置于绝缘水平面上，所在空间存在方向沿水平向右的电场，电场强度E的大小与时间t的关系如图乙所示，物块运动速度v与时间t的关系如图丙所示，重力加速度g取10m/s2.求：(1)前2秒内电场力做的功；(2)物块的质量；(3)物块与水平面间的动摩擦因数．\n解析：(1)前2s内电场力的大小：qE1＝6N，根据vt图像，前2s内位移的大小：x＝·2m＝2m电场力做功：W＝qE1x＝12J(2)后2s物体做匀速直线运动，受力平衡：f＝qE2＝4N前2s物体做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律：qE1－f＝ma根据vt图像，前2s内物体的加速度：a＝＝m/s2＝1m/s2联立方程解得：m＝2kg(3)滑动摩擦力：f＝μmg＝4N解得：μ＝0.2\n考点三 带电粒子在电场中的偏转运动1．两个重要推论(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角、偏移量总是相同的．证明：由qU0＝及tanθ＝得tanθ＝.再由y＝得y＝.(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，若电场宽度为l，O到电场边缘的距离为.\n2．处理带电粒子的偏转问题的方法(1)运动的分解法：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．(2)功能关系：当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．\n例2[2021·全国乙卷，20](多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行．不计重力．下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是()答案：AD\n解析：四个带电粒子以相同的速度从坐标原点射入方向与y轴平行的匀强电场中，由牛顿第二定律有qE＝ma1，qE＝2ma2，3qE＝3ma3，－qE＝ma4，解得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，因此三个带正电的粒子的轨迹为两条，在同一方向，带负电的粒子轨迹在x轴另一侧，可排除图像C；加速度为a1的粒子与加速度为a3的粒子轨迹重合，且与加速度为a4的粒子轨迹关于x轴对称，加速度为a2的粒子轨迹处于加速度为a1的粒子轨迹与加速度为a4的粒子轨迹之间，所以图像B不可能，可能正确的是AD.\n命题分析试题情境属于综合性题目，以四个带电粒子在同一匀强电场中运动为素材创设学习探索问题情境必备知识考查运动的合成与分解、运动学公式、牛顿第二定律等知识关键能力考查推理能力、模型建构能力．由粒子的实际运动建构类平抛运动模型学科素养考查物理观念、科学思维．要求考生运用运动观念分析推出带电粒子的轨迹方程\n【跟进训练】6.[2021·福建泉州第二次质检]如图，喷雾器可以喷出各种质量和电荷量的带负电油滴．假设油滴以相同的水平速度射入接有恒定电压的两水平正对金属板之间，有的沿水平直线①飞出，有的沿曲线②从板边缘飞出，有的沿曲线③运动到板的中点上，不计空气阻力及油滴间的相互作用，则()A．沿直线①运动的所有油滴质量都相等B．沿直线①运动的所有油滴电荷量都相等C．沿曲线②、③运动的油滴，运动时间之比为1∶2D．沿曲线②、③运动的油滴，加速度大小之比为1∶4答案：D\n解析：沿直线①运动的油滴，根据题意得：mg＝Eq，即＝，所以沿直线①运动的油滴比荷相同，A、B错误；沿曲线②、③运动的油滴，均做类平抛运动，水平方向匀速运动：x＝v0t，初速度相同，所以运动时间之比等于位移之比，即为2∶1，C错误；沿曲线②、③运动的油滴，水平方向x＝v0t，竖直方向：y＝at2，联立解得：a＝，因为水平位移之比为2∶1，v0和y相同，所以加速度大小之比为1∶4，D正确．\n7．[2022·天津八校联考]如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，平行板电容器的板长和板间距离均为L＝10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10cm，在电容器极板间接一周期性变化的电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示．每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电子穿过平行板的过程中电压是不变的．(1)在t＝0.06s时刻，电子打在荧光屏上的何处？(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？\n解析：(1)设电子经电压U0加速后的速度为v，根据动能定理得eU0＝mv2所以v＝经偏转电场偏转后的偏移量y＝at2＝·所以y＝由题图乙知t＝0.06s时刻U偏＝1.8U0，代入数据解得y＝4.5cm，\n设打在屏上的点距O点距离为Y，根据相似三角形并结合类平抛知识可得＝代入数据解得Y＝13.5cm故在t＝0.06s时刻，电子打在荧光屏上方距离O点13.5cm处．(2)由题知电子偏移量y的最大值为L，所以当偏转电压超过2U0时，电子就打不到荧光屏上了．根据＝得Ymax＝，所以荧光屏上有电子打到的区间长为2Ymax＝3L＝30cm\n考点四 生活、生产、科技中的静电场情境1电容触摸屏(多选)目前智能手机普遍采用了电容触摸屏，因为工作面上接有高频信号，当用户手指触摸电容触摸屏时，手指和工作面形成一个电容器，控制器精密确定手指位置．对于电容触摸屏，下列说法正确的是()A．电容触摸屏只需要触摸，不需要压力即能产生位置信号B．使用绝缘笔在电容触摸屏上也能进行触控操作C．手指压力变大时，由于手指与屏的夹层工作面距离变小，电容变小D．手指与屏的接触面积变大时，电容变大答案：AD\n解析：据题意知，电容触摸屏只需要触摸，由于流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成比例，控制器就能确定手指的位置，因此不需要手指有压力，选项A正确；绝缘笔与工作面不能形成一个电容器，所以不能在电容屏上进行触控操作，选项B错误；手指压力变大时，由于手指与屏的夹层工作面距离变小，电容将变大，选项C错误；手指与屏的接触面积变大时，电容变大，选项D正确．\n[教你解决问题]\n情境2密立根实验美国物理学家密立根(R.A.Millikan)于20世纪初进行了多次实验，比较准确的测定了电子的电荷量，其实验原理可以简化为如下模型：两个相距为d的平行金属板A、B水平放置，两板接有可调电源．从A板上的小孔进入两板间的油滴因摩擦而带有一定的电荷量，将两板间的电势差调节到U时，带电油滴恰好悬浮在两板间；然后撤去电场，油滴开始下落，由于空气阻力，下落的油滴很快达到匀速下落状态，通过显微镜观测这个速度的大小为v，已知这个速度与油滴的质量成正比，比例系数为k，重力加速度为g，\n则计算油滴带电荷量的表达式为()A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝答案：B解析：油滴在电场中平衡时，由平衡得：mg＝，由题给已知信息油滴匀速下落的过程中：v＝km，联立得：q＝，故B正确．\n情境3静电除尘如图是某款家用空气净化器原理示意图，污浊空气通过过滤网后尘埃带电．图中放电极b、d接电源正极，集尘极a、c、e接电源负极(接地)．以下说法正确的是()A．通过过滤网后空气中的尘埃带负电B．c、d两个电极之间的电场方向竖直向下C．尘埃被吸附到集尘极e的过程中动能增大D．尘埃被吸附到集尘极a的过程中所受电场力做负功答案：C\n解析：本题考查电场力做功及其相关知识点．根据集尘极接电源负极可知，污浊空气通过过滤网后空气中的尘埃带正电，选项A错误；放电极b、d接电源正极，可知c、d两个电极之间的电场方向竖直向上，尘埃在被吸附到集尘极a、e的过程中所受电场力做正功，动能增大，选项B、D错误，C正确．\n情境4喷墨打印机有一种喷墨打印机的打印头结构示意图如图所示，喷嘴喷出来的墨滴经带电区带电后进入偏转板，经偏转板间的电场偏转后打到承印材料上．已知偏移量越大字迹越大，现要减小字迹，下列做法可行的是()A．增大墨滴的带电荷量B．减小墨滴喷出时的速度C．减小偏转板与承印材料的距离D．增大偏转板间的电压答案：C\n解析：如图所示，带电粒子经偏转电场U2偏转，侧移Y1＝，a＝，t＝，可推出Y1＝，Y2＝ltanθ，tanθ＝＝，Y＝Y1＋Y2＝，减小偏转板与承印材料的距离l可使字迹减小，C项正确，A、B、D三项错误．
