第三篇思想篇\n第一讲 函数与方程思想\n思想方法诠释思想方法应用\n思想方法诠释\n函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决．函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系．\n思想方法应用\n应用一 点的坐标代入函数(方程)法典例1D\n\n\n1．点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．\n②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．2．应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．\n应用二 平面向量的函数(方程)法典例2D\n\n(2)已知a，b，c为平面上的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c-xa-yb|的最小值为______.2\n1．平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)；②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．\n2．平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．\n应用三 函数与方程思想在不等式中的应用典例3B\n\n(2)(2020·运城三模)若对任意x∈(0，＋∞)，xex-2lnx＞2x＋a恒成立，则a的取值范围是()A．(-∞，-2ln2)B．(-∞，ln2)C．(-∞，2-2ln2)D．(-∞，2＋2ln2)C【解析】(2)xex-2lnx＞2x＋a恒成立，∴a＜xex-2lnx-2x，设f(x)＝xex-2lnx-2x，对任意x∈(0，＋∞)，设t＝lnx＋x，则t∈R，且f(x)＝et-2t，设g(t)＝et-2t，则g′(t)＝et-2，\n令g′(t)＝0，解得t＝ln2，当t＜ln2时，g′(t)＜0，当t＞ln2，g′(t)＞0，∴g(t)在(-∞，ln2)上是减函数，在(ln2，＋∞)上是增函数，∴g(t)≥g(ln2)＝2-2ln2，∴g(t)的最小值为2-2ln2，即f(x)的最小值为2-2ln2，∴a＜2-2ln2，故选C.玉\n函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．\n应用四 函数与方程思想在数列中的应用C典例4\n\nC\n\n数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数，可用函数与方程思想处理数列问题．涉及特殊数列(等差、等比数列)，已知Sn与an关系问题，应用方程思想列方程(组)求解；涉及最值问题或参数范围问题，应用函数思想来解决．\n应用五 函数与方程思想在解析几何中的应用B典例5\n\n\nB\n\n\n\n\n解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答．
