第一篇方法篇·关键能力\n第六讲 平面向量\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等．2．平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点．3．向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷14向量的坐标运算和数量积的应用5全国卷乙卷14向量的坐标运算和数量积的应用求参数52020Ⅰ卷/Ⅱ卷13向量垂直的充分必要条件5Ⅲ卷6平面向量数量积的计算以及向量模的计算，平面向量夹角余弦值的计算52019Ⅰ卷7平面向量的数量积与夹角5Ⅱ卷3数量积定义及性质5Ⅲ卷13向量夹角5\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷13求向量的模5全国卷乙卷13利用向量共线求参数52020Ⅰ卷14向量垂直的坐标表示5Ⅱ卷5平面向量数量积的定义和运算性质5Ⅲ卷6平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解52019Ⅰ卷8向量的数量积及各个向量的模，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，求出夹角5Ⅱ卷3平面向量模长的计算5Ⅲ卷13求向量的夹角5\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身B\n\nC\n3．(2021·全国卷甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.\n4．(2021·全国卷乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a-λb)⊥b，则λ＝______.\n5．(2020·全国卷Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a-b|＝______.\n\n(文科)1．(2020·全国卷Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a-2bD．2a-bD\n\nA\n\nA\nB\n5．(2021·全国卷甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a-b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.\n6．已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝______.\n7．(2020·全国卷Ⅰ卷)设向量a＝(1，-1)，b＝(m＋1，2m-4)，若a⊥b，则m＝______.【解析】由a⊥b可得a·b＝0，又因为a＝(1，-1)，b＝(m＋1，2m-4)，所以a·b＝1·(m＋1)＋(-1)·(2m-4)＝0，即m＝5.5\n8．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(-8，6)，则cos〈a，b〉＝________.\n1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．考点一 平面向量的概念与线性运算\n1．(2021·全国高三专题练习)下列命题正确的是()A．|a|＝|b|⇒a＝bB．|a|>|b|⇒a>bC．a∥b⇒a＝bD．|a|＝0⇒a＝0【解析】A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以不正确；B中，两个向量不能比较大小，所以错误；C中，向量平行只能得到方向相同或相反，不能得到向量一定相等，所以错误；D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是0，正确．故选D.D\nD\n\nC\nD\n\n-1\n\n\n平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．\nC\n\nB\n考点二 平面向量的数量积\nB\n\nA\n\nA\nA\nA\n\n\n\n平面向量数量积的2种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．\nBCD\n\nA\n\nD\n考点三 平面向量的应用\n\n2．用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．\nA\nA\nB\n\nA\n\nC\n\n\n6．(2021·茂名模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，n-1)(m＞0，n＞0)，若a⊥b，则mn的最大值为______.\n平面向量的应用技巧(1)平面向量的综合题常把角度与长度结合在一起考查，在解题时注意运用向量的运算法则，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化．(2)要注意数形结合，要掌握依据模、数量积设向量坐标的方法，模的问题往往可以从平方入手．(3)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．\nB\n\n7．(2021·昆明一模)两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为______.\n\n明晰易错点•高考零失误\n典例1易错点一：混淆向量共线与向量垂直的坐标表示C\n【易错解疑】以上错误把向量共线的坐标表示利用成向量垂直的坐标表示，导致结果错误．\n典例2易错点二：混淆向量的数量积运算与实数运算B\n【解析】以BC为x轴，以AE为y轴建立平面直角坐标系如图所示：\n\n【易错释疑】此类题目的易错点就是把向量的数量积的结果计算错误．避开此类题目的易错点的关键：一是牢记两向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和；二是可以通过平面直角坐标系将向量运算转化为坐标运算，也可以通过向量的基本运算来解决；三是向量的数量积的坐标运算的结果是一个数，需要注意其与向量加法、减法运算的区别，两向量的加法、减法运算的结果仍然是一个向量．\n典例3易错点三：忽视向量的夹角的范围或盲目记结论致误ACD\n\n\n【易错释疑】此题的易错点是思维定式盲目的记结论“两向量的夹角的取值范围是[0，π]”而误判B正确，所以一定要避免思维定式，要根据具体情境具体分析，本题属于数学与物理学科的交汇题，要注意认真审题，并正确对力进行分析．
