6.3平面向量的数量积与平面向量的应用第六章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.\n备考指导平面向量数量积是平面向量中最重要的知识点,也是高考命题的热点.复习时要熟练掌握平面向量数量积的线性运算和坐标运算,并会用数量积公式的变形式解决有关夹角、模、垂直等问题.注意运用转化、化归思想和数形结合思想,培养数学运算的核心素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.两向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)特例:①当θ=0时,向量a与b同向;②当时,向量a与b垂直,记作a⊥b;③当θ=π时,向量a与b反向.\n2.向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0.温馨提示1.两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.2.两个向量的数量积记作a·b,不能写成a×b的形式.\n问题思考两个非零向量a,b的夹角为锐角,是否一定有a·b>0?反过来呢?两个非零向量a,b的夹角为锐角,一定有a·b>0;反之不一定,事实上:两个非零向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0,且a,b不共线;两个非零向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0,且a,b不共线.\n\n4.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或(4)|a·b|≤|a||b|.5.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).\n温馨提示1.在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0.实际上由a·b=0可推出以下四个结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.2.对于向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cosθ|,而|cosθ|≤1.3.向量的数量积不满足消去律,已知a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,得不到a=b.4.(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.\n6.平面向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.\n\n\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若a·b=0,则必有a⊥b.()(3)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.()(4)在△ABC中,若,则△ABC为钝角三角形.()××××2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于()A.-8B.-6C.6D.8D由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.\nA.30°B.45°C.60°D.120°A\n4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1平面向量数量积的运算B\n方法二(坐标法):建立平面直角坐标系,如图所示.\n\n解题心得1.求两个向量的数量积有两种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.\nD如图,以C为原点,CB所在直线为x轴建立坐标系,则B(3,0).\nA.-15B.-9C.-6D.0C\n(3)已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=.-6\n能力形成点2平面向量的模及应用B\n\n(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.4\n解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求;(2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.\n对点训练2(1)设a,b为单位向量,若向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是()D\n\n能力形成点3平面向量的垂直及应用例3(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-bD\nA解题心得a⊥b⇔a·b=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算.\nD\n能力形成点4平面向量数量积的应用命题角度1求平面向量的夹角A由(a-b)⊥(3a+2b),知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|2=0,\n120°\n命题角度2求参数的值或范围\n命题角度3在平面几何中的应用例6已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).(1)证明以C为坐标原点,边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A(0,m),B(n,0).∵D为AB的中点,\n\n命题角度4在物理中的应用例7在风速为的西风中,飞机以150km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.解设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb+ω=va.显然有vb,va,ω构成三角形.\n解题心得1.求向量的夹角有两种方法2.已知向量的数量积、垂直、模长等条件求参数的值或取值范围,利用公式建立方程(组)或不等式(组)求解即可.\n3.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.4.利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.\nB\n(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.2∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=ma+b=(m+4,2m+2).又c与a的夹角θ等于c与b的夹角α,∴cosθ=cosα,\n对点训练5已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是边BC的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设点A(0,2),C(2,0),\n对点训练6已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50N,一个重为80N的木块受力F的作用在水平地面上运动了20m,木块与地面间的动摩擦因数为μ=0.02.则力F和摩擦力Ff所做的功分别为多少?\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——函数思想与数形结合思想在数量积中的应用答案:2\n\n反思提升求向量夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数、基本不等式相联系;求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的取值范围.
