天体运动种种直通竞赛赛前准备开普勒三定律面积定律支配天体运动的基本规律轨道定律周期定律万有引力定律牛顿运动定律t3t4Bt2t1A行星太阳ba机械能在同一轨道上机械能守恒!轨道(对环绕中心)越高,总机械能越大!人造卫星可能轨道赤道平面轨道极地轨道其它轨道角速度周期速度加速度与轨道半径关系轨道半径R中心天体半径R0天体运动规律一览表GM—环绕系统的“高斯常数”F引mωF向赤道上的物体在某一纬度的物体mF引F向地面上物体的重力是地心引力除去随地球自转所需向心力(只是地心引力极小一部分)的部分,产生使支持物形变或重力加速度的效果天上卫星的重力即全部地心引力,产生绕地球转动向心加速度的效果结论：重力与地心引力双星模型特征与规律★模型特征：故有之二：∵角速度相同，即之三：∵两天体作圆周运动的向心力大小相等，之四：之一：两天体作圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即★模型规律：ORmmMRMvMvmω两颗相近的天体绕它们连线上的某点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速圆周运动.之五：双星系统动量守恒一个常用的推导——天体的密度地球公转轨道平面日DXQCh对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点t3t4Bt2t1A行星太阳ba从高考到竞赛题1如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时地球所在的位置．试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因．解:地球公转轨道平面日DXQCh由面积定律:同步轨道半径设为R1同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角2θ，有θ因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为2θR某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射．R1解:从高考到竞赛题2极地卫星周期为每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为每次应拍摄侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转的周期为T.从高考到竞赛题3解:⑴由卫星下方地面处于东经0180⑵移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地球自转了θ角，有电视转播用的“地球同步卫星”的轨道高度为h，转动周期为T0；卫星定位系统用的某“移动卫星”沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为R．⑴该移动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？⑵该移动卫星某时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，下方地面的经度是多少？从高考到竞赛题4解:要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R=6.37×106m．地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2．从高考到竞赛题5解:同步轨道半径的计算解答同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图:RR同步75°135°0°180°恰能覆盖东经75°的卫星定位:恰能覆盖东经135°的卫星定位:读题卫星应定位在东经54°～156°上空地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为．可供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为h，若在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？从高考到竞赛题6同步轨道半径设为R0：得卫星在同步轨道的引力势能为动能：卫星在空间站的引力势能为由机械能守恒：解:LMM根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M,两者间相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．⑴试计算该双星系统的运动周期；⑵若实验上观测到运动周期为，且,为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质的密度．从高考到竞赛题7解:天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河系中可能存在一个大“黑洞”，距黑洞60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转，接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，试计算“黑洞”的质量和最大半径．从高考到竞赛题8解:“大爆炸学说”认为：宇宙是很久以前发生的一次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现在，这大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远离．观察表明：离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大．例如，牧夫座内一星云离我们银河系的距离为2.74×109Ly(Ly为“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飞离银河系．若大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况下求宇宙的年龄T．⑴假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率V1和V2沿相反方向飞离大爆炸前物质的聚集处；⑵假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率V1和V2沿夹角为θ的两个方向飞离在大爆炸前物质的聚集处．从高考到竞赛题9解:⑵两天体分离速度成角度时，相对速度情况如图所示V1V2v相对θM1M2CR60°60°地、月在相互间的万有引力作用下，绕它们的连线上的一点C作等角速度的转动．太空城的首选位置在月球轨道上与月球及地球等距的地方，如图所示．这里，太空城在地、月引力共同作用下，相对于地、月均处于平衡．试证明，太空城在这里所受地、月引力的合力作用线指向Ｃ．从高考到竞赛题10解:地球月球太空城C设地球质量为M1，月球质量为M2，地球与月球间距离为R，如图设太空城所受合力作用线与地、月连线的中垂线夹角为α，太空城所在位置和C点的连线与中垂线夹角为β，则F1F2估算空间太阳能电站一昼夜间由于被地球遮挡而不能发电的最长时间．取地球本影长为地球半径的216倍，同步轨道高度为地球半径的5.5倍．日地卫星影RR0nR0从高考到竞赛题11解:估算从地球表面向火星发射火星控测器．设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径R0的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲．当探测器脱离地球引力并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图乙所示．已知地球半径为：Rr=6.4×106m；地球公转周期为：Te=365天， （时间计算仅需精确到日）⑴求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；⑵通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？从高考到竞赛题12解答飞船太阳地球火星地球探测器甲乙⑴由开三律:则探测器沿半椭圆运动时间为⑵探测器沿半椭圆发生180°角位移的时间内火星通过的角度为则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43°!从3月1日探测器与火星的角距离成60°经38天到4月8日时成43°读题解:走进竞赛板块v0bacde牛顿的草图-天体的运动轨迹轨道与能量机械能守恒支配天体运动的守恒定律引力势能动量守恒轨道与能量两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒．角动量守恒角动量若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即．示例模型与方法A1A2AnA3r1rnM引力势能m物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置．在中心引力场中，m从A1移至无穷远处，引力做负功为：以无穷远处为零引力势能位置，物体在距中心天体r远处的引力势能为返回O角动量pmO矢量r称位置矢量，或称矢径绕定点圆运动质点的（线）动量为方向总是与矢径r垂直定义:质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对定点（圆心）O的角动量：L=pr当p与r方向不垂直而成角度θ：prθA角动量大小等于动量大小与O点到动量矢量p的垂直距离的乘积;方向遵守右手定则,矢量定义式为返回r2r1mO均匀球壳对壳内物质的万有引力M两面元质量各为r两面元对壳内质点m的引力各为由几何关系:整个球壳对球壳内物质的万有引力为零!对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心r（＜R）处质点只受半径为r的球内质量的万有引力，而r以外球壳（即R为外径r为内径的球壳）则对质点无引力的作用．rMRm距球心r处所置质点受到引力大小距球心r处所置质点的引力势能均匀实心球的万有引力返回常用模型方法理想化方法轨道极限模型矢量法与微元法试推导地球上的第三宇宙速度v3．专题11-例1地球质量M太阳质量MS地球半径R日地距离r物体质量m第一宇宙速度v1：(地球环绕速度)这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度=29.8km/s；则以地球为参照物，这个速度为第二宇宙速度v2：(地球逃逸速度)由能量守恒第三宇宙速度v3：(太阳逃逸速度)原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需“逃逸速度”由能量守恒：解:RRbv0vp要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料．由地球发射这样一台探测器，应使其具有多大的绕日速度？专题11-例2解:取发射时的一小段时间Δt火箭矢径的“面积速度”为:火箭飞行期间矢径扫过的面积:则v1火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回离发射场不远处．空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，地球半径取R0=6400km．专题11-例3解:竖直上抛运动中，以T表示到达最高点所用时间，以H表示最高点离地球表面的距离，R表示地球半径，M表示地球质量，G为万有引力恒量，不计空气阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式．专题11-例4解:从考虑万有引力出发，物体在平方反比力作用下所作的“竖直上抛运动”，其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分，该椭圆的长轴可取作R+H，该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一个，如图示:地心v1RH设在这样的轨道上运动的物体的运行周期为T′,物体的“面积速度”为:续解物体的“面积速度”为:物体运动的周期与“贴地”卫星周期关系由开三律：物体飞行期间矢径扫过的面积:yx由椭圆方程读题读图其中设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2……mN的星体1、2…N构成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a，系统总质量为M．由于万有引力的作用，Ｎ个星体将同时由静止开始运动．试问经过多长时间各星体将会相遇？专题11-例5解:设系统质心为O星体1与i位矢如图r1ri星体1与i的万有引力大小为a同理系统的角动量守恒设矢量r1大小r1=ka,质点1在这个平方反比力作用下，在以O为一个焦点，以ka/2为长半轴而短半轴逼近于零的“椭圆轨道”运动．1i质心远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日点．（已知木星的公转轨道半径为R）专题11-例6解:理想化模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生“弹性碰撞”改变运动方向进入绕日轨道，如图．木星轨道太阳v0vVv1得木星“碰撞”前速度为由机械能守恒，从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速度v满足与木星“完全弹性碰撞”过程速度矢量关系如图：续解v0vV接近V分离V“完全弹性碰撞”接近速度与分离速度大小相等！天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳r，过近日点时速度为v1读图由机械能守恒有由角动量守恒有yx如图所示，地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳沿抛物线轨道运动．已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间．专题11-例7解:准线v0vOxyy=R0ABCC0S续解太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0解题方向比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体“面积速度”，可得两天体运行时间关系！彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式而地球绕日运行有关系式设彗星以速率v通过其轨道顶点C历时Δt（Δt→0）读图地球以速率v0通过其轨道顶点C0历时Δt0（Δt0→0）两者的“面积速度”相同！一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，旋转周期为T，如果给卫星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度ut，卫星都将沿一个椭圆轨道运动．⑴确定在上述二种情况中卫星的旋转周期．⑵所附加的径向速度un和切向速度ut必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？专题11-例8解:⑴卫星在半径r轨道圆运动速度为中心天体质量为M、“远(近)地点”速度为V、矢径为rn（t）卫星附加速度u为径向时读图机械能守恒角动量守恒对同一环绕中心，两轨道周期满足卫星附加速度u为切向时⑵要使Tn=Tt，根据开普勒第三定律，必有an=at，即有试手原轨道原轨道vunr变轨道rnV2an续解vut变轨道2atVrt卫星附加速度u为径向时卫星附加速度u为切向时设有两个地球人造卫星M和N沿同一椭圆轨道运动，地球中心在这椭圆的一个焦点F上，又设M和N相距不远，因此可将椭圆弧看作直线．已知MN的中点经近地点时MN=a，近地点到地心的距离为r，远地点到地心的距离为R，求M、N的中点经远地点时两颗卫星间的距离．小试身手题1解:设在远地点时两卫星距离lFNMMNrR在同一轨道上，卫星面积速度相同al空间两质点的质量分别为m1和m2，彼此以万有引力相互作用．开始时两质点静止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间．小试身手题2解:r1r2r0m1m2质心O设系统质心为O质点1与2位矢如图质点1与2的万有引力大小为令矢量r1大小r1=kr0,等效于中心质量k3(m1+m2)，两质点各在以中心为焦点、到中心距离为长轴的退化为直线的扁椭圆上向中心运动，经半周期相遇，故一质点受一与距离3/2次反比引力作用而在一直线上运动．试证此质点自无穷远处到达距力心a处时的速率与从a处由静止出发，到达a/4处时的速率相同．解:导出此力场中的势能公式：小试身手题3BAri-ri+1rAMrB在引力作用下质点从A点向力心移到B点引力做元功为：由从A移至B，引力做功为：由机械能守恒，质点从无穷远处到达距力心a处时a处由静止出发，到达a/4处时得证有一个质量大而体积小的星球，一个物体离这个星球的距离为r，物体从静止出发自由落向此星球，求物体落到这个星球上经历多少时间？（已知星球的质量为M）解:将此星球视作质点，落向此星球的物体的轨道视作退化为直线的椭圆，其半长轴为小试身手题4若周期为T，则自由下落到星球历时设想同一环绕系统另有一物体在半径为r的圆轨道运动，其周期圆轨道星球根据开普勒第三定律根据某种假设，星球是由星际物质（宇宙尘埃）在万有引力的作用下经压缩而成的．试估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间？解:取理想化模型：认为尘埃组成的巨大云团是密度均匀分布的质点，每个质点自由落向云团中心，最后密集成一颗星球，星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中心的时间即小试身手题5如行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形）则将被吸引而至太阳，试求其所需时间，设太阳的高斯常数（GM）为k，行星质量为m．小试身手题6解:设行星原在力作用下绕日作半径为r匀速圆周运动，则有从距日为r处突然停止而被吸引向太阳的行星，其轨道可视作退化为直线的椭圆，出发于远日点，经半个周期(T′/2)到近日点，其半长轴为根据开普勒第三定律某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆轨道）半径的1/n，求此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间．小试身手题7解:解题方向比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体“面积速度”，可得两天体运行时间关系！太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0读图地球绕日运行有关系式彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式设彗星、地球各以速率v和v0通过其轨道顶点历时各Δt（Δt→0）和Δt0（Δt0→0）两者的“面积速度”之比为续解yxv0v返回续解慧星从A到B时间由地球矢径扫过面积读图如图，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行．为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球．假定地球和火星均绕太阳作圆周运动，圆轨道半径分别为r与R，忽略其它行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达火星要用多长时间？小试身手题8解:日地球轨道火星轨道Rr设太阳、火箭质量依次为M、mv1v2由机械能守恒有由角动量守恒有对日速度!火箭离地速度应为到达火星的时间是火箭运动半个周期T假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30°的a处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30°的b处，如图所示．已知地球的半径是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9km/s，假设隧道光滑．现将一个物体以v=v1/3的初速度从a处抛入隧道，问物体从b处出来后能飞离地面的最大高度是多少？小试身手题9解:ab30°解题方向考虑对称性，物体从b处飞出的速度大小为v1/3，此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动；由守恒定律求最大高度.由机械能守恒有hV由角动量守恒有RR+h有一航天器（不带动力装置）自远方以速度v0射向某一行星，计划在行星上着陆，如图示．如以b表示v0与行星的垂直距离（称为瞄准距离），求b最大值为多少时，航天器可以在行星上着陆．已知航天器质量为m，行星的质量为M，半径为R．小试身手题10解:mORb由机械能守恒有由角动量守恒有rbv0XAO如图，一质量为m＝12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h＝100km．为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动．从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u＝10km/s．月球半径R＝1700km，月球表面上自由落体的重力加速度为g月=1.7m/s2．飞船可用两种不同方式到达月球：⑴到达月球上的A点，该点正好与X点相对；⑵在X点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点．试计算上述两种情况下所需的燃料量．小试身手题11解:⑴按此方式，飞船椭圆轨道X为远月点，A为近月点，XA为长轴，月心为焦点，vX由牛顿草图可知，飞船在X点是向运动方向喷气减速而成设飞船作圆运动时速率为v0vA由机械能守恒有由角动量守恒有飞船喷气过程动量守恒:代入题给数据得:XAXAB⑴⑵续解读题XBOvBvR⑵按此方式，飞船向背离月球方向喷气后获得的指向月心的速度vR，飞船在X点的速度变为vX由机械能守恒有由角动量守恒有飞船喷气过程沿径向动量守恒:地心质量为M的宇航站和与其对接上的质量为m的飞船一起沿圆形轨道围绕地球运动着，其轨道半径为地球半径R的n倍（n＝1.25）．某一瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR．质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？（一般认为M＞m）小试身手题12解:在半径为5R/4绕地圆轨道时宇航站及飞船速度飞船与宇航站分离时，飞船速度vm，宇航站速度vMvmVmvMVM飞船宇航站分离时两者动量守恒:续解2RM读题飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇,两者周期满足:k可取10，11质量为m的人造卫星沿半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M．若卫星运动中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），则将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球．将每周的旋转近似处理成半径为ri的圆轨道．试求每旋转一周，轨道半径的改变量Δr及卫星轨道减少一半时减少的机械能．小试身手题13解:Mri在第i圈运动时，摩擦力的功引力的功由动能定理卫星轨道减少一半时减少的机械能如图，宇宙飞船沿圆轨道运行，运动速度为v0．已知火星半径为R，飞船圆轨道离火星表面的高度为H．今飞船在极短时间内，沿圆轨道径向向外侧点火喷气，使飞船获得指向火星的径向速度av0，a是远小于1的常数．因喷气量很小，喷气后飞船的质量可视作不变．喷气后，飞船绕火星沿新的轨道运行．试求飞船椭圆轨道近火星点距火星表面的高度hA以及远火星点距火星表面的高度hB，以及飞船绕椭圆轨道的运行周期．小试身手题14解:HhBv0RABhAvRV0飞船进入椭圆轨道的初速度由机械能守恒有VAVB由角动量守恒有由开三律，飞船前后周期之比为v0一宇宙飞船环绕一行星作匀速圆周运动，轨道半径为R，飞船速率为v0．飞船上发动机突然点火，使飞船速率从v0变到v0，加速度方向与速度方向相同，飞船沿新轨道运动．设φ为发动机点火时飞船速度方向与飞船在最远离行星时速度方向之间的夹角，求角φ，并画出飞船运动轨迹的图示．小试身手题15解:计算加速后飞船的总机械能E飞船将沿双曲线轨道远离行星图示由机械能守恒有由角动量守恒有由双曲线解析性质得yxV续解
