矢量图解运动问题运动合成与分解的图解方法v1v2VV=v1+v2v1v2V12=v1-v2v1v2V12合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其它分运动的存在而发生改变．描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算．运动的合成与分解独立性原理运动的合成与分解遵循如下原理：等时性原理矢量性原理分解复杂运动的两种方法引入中介参照系．根据实际效果分解运动.若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度（相对速度）为vAB，则有同样地，位移的合成与分解为注意矢量运算式中下标的规律性!加速度的合成与分解为雨滴在空中以4m/s速度竖直下落，人打着伞以3m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？矢量图解示例1解:本例求雨相对人(伞)的速度，引入中介参照系-人雨对地的速度（绝对速度）v雨=4m/s竖直向下v雨人对地的速度（牵连速度）v人=3m/s向东雨对人的速度（相对速度）V雨对人v人三速度矢量关系为矢量图示OV雨对人伞柄方向与竖直成由“两质点相遇”知A处质点相对于B处质点的速度vAB方向沿AB连线CABv1v2θv1v2mvABdlθθ由几何三角形与矢量三角形关系得:方向与BC成一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，另一质点以v2速度从B点出发作匀速运动，如图所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？矢量图解示例2解:矢量图示v2"过河"问题船对岸的速度（绝对速度）v水对岸的速度（牵连速度）v水船对水的速度（相对速度）v舟⑴关于航行时间渡河时间取决于船对水的速度v舟:当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小，故可使渡河时间最短:Sv水v舟v河岸d河岸v水v舟vS水S舟水速大小不影响渡河时间!矢量图示⑵关于实际航程v水v舟v河岸d河岸θv水v舟v河岸d河岸θ为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ尽量地小！若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在若v舟＞v水，船的实际位移为河宽d航程即最短，故v舟的方向与船的航线成船头指向上游θv舟v水v矢量图示这时船的实际航程为船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成当船的航程最短时，航行时间不是最短．如图,一只小船从河岸A点出发,船头垂直于河岸行驶,经10min到达正对岸B下游120m的C点;若小船速度不变,保持船身轴线与AB成θ角行驶,经12.5min到达正对岸B点,求此河的宽度d.BCA“过河问题”示例1由两次船在静水中的分运动位移v2解:D第一次水的分运动位移为BC,则由第二次船的运动v水河宽即第二次航程v舟“过河问题”示例2一河两岸的甲、乙码头，其连线垂直于河岸．枯水季节水速为船速（船在静水中速度）的，涨水季节水速增为枯水季节水速的倍，且涨水季节河面宽度为枯水季节的２倍，则渡船在涨水季节从甲码头到乙码头所用时间为同一船速枯水季节从甲码头到乙码头所用时间的多少倍？A.1倍B.倍C.2倍D.倍合速度方向v舟v水枯V合枯v水涨V合涨v舟明确速度矢量关系枯水季时涨水季时两季渡河时间分别为矢量图示假定某日刮正北风，风速为u，，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？专题4-例1解:人对地的速度（牵连速度）v风对地的速度（绝对速度）u风对人的速度（相对速度）V本例求相对速度，引入中介参照系-人由题给条件，速度关系为且矢量图示北θVuv当运动员朝南偏西感到风从正右侧吹来当v＞u时，无此情况！当运动员朝南偏西奔跑时感到风与他跑的方向所成夹角最大！一只木筏离开河岸，初速度为v0，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T、3T……时刻此木筏在航线上的确切位置．专题4-例2解:明确速度关系木筏对岸的速度v木筏对水的速度V，方向不变水对岸的速度u，大小方向不变三速度矢量关系为Ayx(河岸)uv0OVuv0vS筏对水S筏V0S水TS水TBS水T矢量图示某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小．专题4-例3解:明确矢量关系!矢量图示BDvvtv2tv3t△vOA△v△vαC在矢量三角形中运用余弦定理:从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．专题4-例4解:物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;落地时速度v的大小为矢量关系:矢量图示hv0vt△vθv0θ矢量△“面积”Oxy网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vP运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vP和此法线的夹角φ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．专题4-例5解:关于矢量间关系的隐含条件：1.重球拍的“重”－可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变；2.网球弹性地射回－在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；3.球和拍都是作平动－球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．vp矢量图示Cv0球对拍vt球对拍vtB在矢量三角形中:球拍速度与球拍法线方向夹角v0Ａ如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙=．小试身手题1解:起、止点相同，甲、乙合速度方向一致，运动合成情况如示:V水V甲V甲合V乙V乙合两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图αα矢量图示骑自行车的人以20km／h的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40km／h的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．小试身手题2解:人对地的速度v人1=20km/h,v人2=40km/h,方向正东风对地的速度v风？风对人的速度v风对人1方向正南，v风对人2方向西南v风v风对人1v风对人2v人1v人2速度矢量v风=v风对人+v人的关系如图由图中几何关系易得风向西北矢量图示北从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．小试身手题3解:一个石块对地的速度为v1+vy另一个石块对地的速度为v2+vy两者相对速度为矢量图示v1v2v21lx21以石块1为参考系，石块2的位移方向与v21相同:以石块1为参考系，两石块初始距离为l:最小距离d由图这个最短距离适用于另一石块落地之前v0vDAB如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为v0，一艘速率为v（v＜v0）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的处．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？小试身手题4解:⑴艇拦截到船即相遇,有艇相对于船的速度V方向沿AB连线两者相对速度为矢量图示Bv0vv、V夹角不会超过90°!由速度矢量三角形得则得证⑵上述是最迟出发的临界情况!此时截住船的位置在A前方A一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）小试身手题5解:本题题眼:各速度的矢量关系冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”第一次矢量图示v1v雹v雹离车v雹近车第二次v2v雹v雹近车v雹离车由两矢量图则人具有与木马站立点相同的线速度ωr敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？小试身手题6解:本题求雨相对人(伞)的速度方向，引入中介参照系-人雨对地的速度（绝对速度）v0竖直向下v0人对地的速度（牵连速度）v人=ωr水平雨对人的速度（相对速度）V雨对人v人三速度关系为矢量图示OV雨对人伞柄方向与竖直成如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50km／h和v2＝70km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速?小试身手题7解:观察照片，将两车之距离AB按5∶7比例分成左、右两部分，分点C为两车相遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C到照片上位置历时COv1v2风速为在照片上量出AB与CO长度,代入上式得AB敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍．绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？小试身手题8解:设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意d…绕薄磁带时,得带卷面积绕一层时间绕多少层带卷面积在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1＝20min减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t2？小试身手题9解:与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的!走带速度通过的带长带卷半径减半历时d快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5km/h沿与湖岸成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1＝4km/h行走或在水中以速度v2＝2km/h游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？小试身手题10解:15°v0(x+y)v1xv2y设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形，位移的矢量关系矢量图示整理得此式有解，即人能赶上以2.5km/h飘行的快艇!推至一般人总能赶上快艇!如图所示，在仰角的雪坡上举行跳台滑雪比赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为多大？小试身手题11AOBθαh解:在O点起跳速度v的大小为物体做抛体运动时，只受重力作用．在发生L位移的时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;矢量关系:vB△vθv0矢量△“面积”此时由ON墙一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的．小试身手题12解:设船速为v0因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与的反射速度大小相等，速度方向“沿着入射角与反射角”v0矢量图示Cv1球对墙v2球对墙v2Bv1Ａ附视由图知只要v0沿墙的法线方向分量
