刚体的动力学与运动学问题刚体问题知识概要刚体模型不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．基本特征刚体内各质点之间的距离保持不变刚体的平动与转动平动刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动．转动刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．刚体内各质点角速度总相同质心质心运动定律质心能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外力集中于此的某一点.质心的确定从质心的等效意义出发:0xx1x2m1m2以质心为坐标原点质心运动定律例讲例讲均匀圆锥体的质心xitan-1kHO匀质半圆板的质心xy0Ri对题中圆盘:小试身手题1如图，一个圆盘半径为R，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为∶∶∶＝1∶2∶3∶4，求这圆盘的质心位置．1yx432返回"湖震"问题以静止水的质心为坐标原点，建立如图所示坐标，Oxy当振动高度为Δh时，质心坐标为：由上可得由质心运动定律OxymgF回质心沿抛物线作往复运动,回复力为重力之分力:质心作谐振,周期为转动惯量转动惯量量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘积的总和.定义式转动惯量的确定从定义出发用微元集合法借助平行轴定理运用垂直轴定理量纲分析法例讲转轴微元集合法推平行轴定理平行轴定理推xy0Rin项返回平行轴定理设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有miRiridxCyθiOmR返回MM2a2aOC垂直轴定理对任意的刚体，任取直角三维坐标Oxyz，刚体对x、y、z轴的转动惯量分别为Jx、Jy、Jz，则有xyzOxiyizirimi球壳实心球x已知:Jx=J0yO小试身手题2RZ1Z2Z４Z３Z如图所示，质量为m的均匀圆柱体，截面半径为R，长为2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J．小试身手题4yxO由正交轴定理:由椭圆方程:椭圆细环的半长轴为A，半短轴为B，质量为m（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．量纲分析法转动惯量的表达式常表现为形式m是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解．均匀正方形板对对称轴的转动惯量设则有PQCd将立方体等分为边长为a/2的八个小立方体，其中六个小立方体体对角线到大立方体体对角线距离如图所示，匀质立方体的边长为a，质量为m．试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J．小试身手题3O角位移描述转动状态的物理量θ角速度角加速度角动量转动动能力矩力矩功冲量矩刚体的定轴转动与质点的直线运动角动量原理Mt＝Jωt－Jω0动量定理Ft＝mvt－mv0(恒力)转动定律M=J牛顿运动定律F＝ma匀变速直线运动匀速直线运动:s＝vt加速度a角速度速度v角位移θ位移s刚体的定轴转动质点的直线运动角加速度匀角速转动:匀变速转动:动能定理转动动能定理动量守恒定律角动量守恒定律刚体力学问题解析飞轮质量60kg,直径d=0.50m闸瓦与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层圆周,要求在t=5s内制动,求F力大小.刚体问题1F对飞轮其中fN对制动杆FNfAB质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度刚体问题2BC质心不受水平方向作用,做自由下落运动!由机械能守恒:vvBvn由相关速度:杆对质心的转动惯量:设A质心沿坐标方向位移为xA、yA，由质心动量守恒：A质心：B质心：刚体问题3光滑平面上有两条长度均为2l、而质量为m的均匀蠕虫A和B．它们的起始位置关系如图所示，蠕虫A的质心位于x-y坐标（0,0）．蠕虫B开始慢慢从A身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角．试用参量l,表示：当蠕虫B爬过A后，两蠕虫各自质心位置的坐标．xyABMm如图所示，在平行的水平轨道上有一个均匀的滚轮，缠着绳子，绳子的未端固定着一个重锤．开始时，滚轮被按住,滚轮与重锤系统保持不动．在某一瞬间，放开滚轮．过一定的时间后,滚轮轴得到了固定的加速度a．假定滚轮没有滑动，请确定(a)重锤的质量m和滚轮的质量Ｍ之比；(b)滚轮对平面的最小动摩擦因数.专题14-例4解:滚轮受力分析如示：滚轮角加速度与质心线加速度有关系RMgFNFfa以轮与轨道接触点为转轴:由转动定理得滚轮对与轨道接触点的转动惯量:重锤受力分析如示：mgaa由牛顿运动定律得续解为求滚轮对轨平面的摩擦问题,可对滚轮运用质心运动定律:返回小试身手题7着地时,两杆瞬时转轴为A(B)BA由机械能守恒:其中各杆:vch如图，两根等重的细杆AB及AC，在C点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C着地时的速度．小试身手题8轴心降低h过程中机械能守恒Bhv其中圆柱体对轴P的转动惯量PT由转动定律:由质心运动定律:如图，圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力．小试身手题9纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:vc0ωc0与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用经时间t达纯滚动:vc0ωc0vctωct由动量定理由角动量定理纯滚动后机械能守恒:如图，实心圆柱体从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙作完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新作纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.由机械能守恒:竖直方向匀加速下落!如图，在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为s，螺帽的转动惯量为I，质量为m．假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0向下移动，螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g．小试身手题10小试身手题11122112⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为v1、v2，对球1：，对球2：在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一作纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球作完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求⑴碰后两球达到纯滚动时的质心速度；⑵全部过程中损失的机械能的百分数．续解⑵系统原机械能为达到纯滚动后的机械能读题圆柱半径与小球半径分别以R、r表示vcmgfN对球由质心运动定律有：对球由转动定律：小球作纯滚动，摩擦力为静摩擦力，不做功，球的机械能守恒：小球作纯滚动必有如图所示，实心匀质小球静止在圆柱面顶点，受到微扰而自由滚下，为了令小球在θ≤45°范围内作纯滚动，求柱面与球间摩擦因数至少多大？小试身手题13达到纯滚时必有:纯滚时质心速度对质心:球顺时针纯滚球逆时针纯滚既滚又滑时与达到纯滚时对与地接触点O角动量守恒:如图所示，半径为R的乒乓球，绕质心轴的转动惯量J＝，m为乒乓球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为vc0，初角速度为ω0，两者的方向如图．已知乒乓球与地面间的摩擦系数为μ．试求乒乓球开始作纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度．小试身手题14Rvc0ω0Oμ设以某棱为轴转动历时Δt，角速度ωi→ωf，vivf30°30°fNθa对质心由动量定理：对刚体由动量矩定理：时间短，忽略重力冲量及冲量矩如图所示，一个直、刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为M，密度均匀．横截面六边形每边长为a．六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量I为．现令棱柱开始不均匀地滚下斜面．假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面．某一棱刚碰上斜面之前的角速度为ωi，碰后瞬间角速度为ωf，在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和Ekf，试证明ωf＝sωi，Ekf＝rE，并求出系数s和r的值．小试身手题15⑴碰后系统质心位置从杆中点右移由质心系动量守恒：由角动量守恒：⑵对瞬时转动中心有瞬时轴距杆右端如图所示，光滑水平地面上静止地放着质量为M、长为l的均匀细杆．质量为m的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆的一端作完全非弹性碰撞．试求：⑴碰后系统质心的速度及绕质心的角速度；⑵实际的转轴（即静止点）位于何处？小试身手题12复摆复摆在重力作用下绕水平轴在竖直面内做小角度摆动的刚体称为复摆或物理摆．OC复摆的周期公式l由机械能守恒关系可得对摆长l、质量m的理想单摆有θABCbacＯ(b)42cm10cm(a)(c)ABC三种情况下的周期相同，故有代入题给数据有:形状适宜的金属丝衣架能在如图所示的平面里的几个平衡位置附近作小振幅摆动．在位置(a)和位置(b)里，长边是水平的．其它两边等长．三种情况下的振动周期都相等．试问衣架的质心位于何处？摆动周期是多少？专题14-例6先计算板对过C平行AB的轴的转动惯量:BAMgCO等效摆长由复摆周期公式如图所示，矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动，AB轴与竖直成，薄片宽度AD=d，试求薄片作微小振动时的周期．小试身手题5薄板原对悬点的转动惯量贴m后振动周期相同，应有COm一个均匀的薄方板，质量为M，边长为a，固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在自己的平面内摆动．在穿过板的固定点的对角线上的什么位置（除去转动轴处之外），贴上一个质点m，板的运动不会发生变化？已知对穿过板中心而垂直于板的轴，板转动惯量．小试身手题6
