§10.2 二项式定理基础篇【基础集训】考点 二项式定理1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )A.-80 B.-40 C.40 D.80答案 D2.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为( )A.21 B.35 C.45 D.28答案 B3.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,则a5=( )A.8 B.10 C.12 D.1答案 A4.在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有( )A.13项 B.14项 C.15项 D.16项答案 C5.已知的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是( )A.-84 B.-14 C.14 D.84答案 A6.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )A.0 B.1 C.32 D.-1答案 A7.的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为 .
答案 68.在的展开式中,常数项为 . 答案 -5[教师专用题组]【基础集训】考点 二项式定理1.(2020河南部分重点高中联考,9)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x-1)n展开式中x2的系数为( )A.-252 B.252 C.-28 D.28答案 B 由题意可得n=8,则(3x-1)8的展开式的通项是Tr+1=(3x)8-r·(-1)r,令8-r=2,解得r=6,则展开式中x2的系数为32=252.2.(2019内蒙古包头二模,10)若的展开式中的各项系数的和为1,则该展开式中的常数项为( )A.672 B.-672 C.5376 D.-5376答案 A ∵的展开式中的各项系数的和为(a-1)9=1,∴a=2.故展开式的通项公式为Tr+1=·(-1)r·29-r·x18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得该展开式中的常数项为·23=672,故选A.3.(2018辽宁沈阳育才学校五模,6)已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为( )A.5 B.40 C.20 D.10答案 B 由的展开式的各项系数和为243,
得3n=243,即n=5,∴=,Tr+1=·(x3)5-r·=2r··x15-4r,令15-4r=7,得r=2,∴展开式中x7的系数为22×=40.故选B.思路分析 由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为7求得r,进而求得含x7的项的系数.解后反思 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,体现了转化的数学思想.4.(2016宁夏银川第一次联考,9)已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项为第 项. 答案 5解析 展开式的通项Tr+1=(-1)rxn-2r,第3项与第6项的二项式系数分别为,,∴=,∴n=7,∴系数最大的项为第5项,T5=(-1)4x-1.思路分析 先由二项式系数性质求n,再利用二项展开式的通项公式求第r+1项的系数,可得结论.易错警示 二项式(b+a)n的展开式中的第r+1项为arbn-r,而非ar+1bn-r-1,其中r∈N.综合篇【综合集训】考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数1.(2019豫南九校第三次模拟改编,7)的展开式中的常数项为( )
A.560 B.1120 C.2240 D.4480答案 B2.(2020福建毕业班质量检查测试)(2x-1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是( )A.200 B.120 C.80 D.40答案 B3.(2019江西红色七校第二次联考,5)(1+x2)·的展开式中,常数项为( )A.-15 B.16 C.15 D.-16答案 B4.(2019宁夏银川九中月考)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=( )A. B.- C.6 D.-6答案 D5.(2019江西上饶二模,7)的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系数是( )A.-184 B.-84 C.-40 D.320答案 A6.(2021届百校联盟普通高中教育教学质量监测)(3x-2)2(x-2)6的展开式中,x4的系数为( )A.0 B.4320 C.480 D.3840答案 B考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和7.(2021届广东深圳外国语学校第一次月考)的展开式中,不含x的各项系数之和为 . 答案 2568.(2020山东济宁一中一轮复习质量检测,14)已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为
27,则实数a= ,展开式中含x2的项的系数是 . 答案 2;23[教师专用题组]【综合集训】考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数问题1.(2020河南百校联盟9月联合检测,6)(1+x)5的展开式中x2的系数为( )A.-15 B.-5 C.10 D.15答案 A (1+x)5展开式的通项公式为Tr+1=×15-r·xr=xr,当r=2时,T3=x2=10x2,当r=4时,T5=x4=5x4,故(1+x)5的展开式中x2的系数为5+(-2)×10=-15.2.(2020重庆巴蜀中学高考适应月考一,13)二项式(2x+1)6的展开式中,第5项的系数为 . 答案 60解析 因为二项式(2x+1)6展开式的通项为Tr+1=·(2x)6-r·1r,所以T5=·(2x)2=60x2,所以(2x+1)6的展开式中第5项的系数为60.3.(2017安徽合肥二模,15)在的展开式中,常数项为 . 答案 -5解析 的展开式中的通项为Tr+1=(-1)4-r·(r=0,1,2,3,4).当r=0时,T1=1,当r≠0时,的通项为Tk+1=xr-k=(-1)k·xr-2k(k=0,…,r),令r-2k=0,即r=2k.∴r=2,k=1;r=4,k=2.
∴常数项为1-×+×1=-5.考法二 求二项式系数的和与展开式中各项系数和1.(2020吉林通化梅河口五中等校联考,8)若(2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a1+a2+a3+…+a6等于( )A.-4 B.4 C.-64 D.-63答案 D (2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=0,可得a0=64,再令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a6=1,∴a1+a2+a3+…+a6=-63,故选D.2.(2020安徽江淮十校第一次联考,14)已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x2项的系数是 . 答案 -30解析 本题考查了二项式中指定项的系数,解题时要充分利用展开式的通项求解,考查运算求解能力,属于中档题.由题意可知,(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为(1+1)·(2×1+a)5=2(2+a)5=2,解得a=-1,所以(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x-1)5=x(2x-1)5+(2x-1)5,所以展开式的通项为x·(2x)5-k·(-1)k+·(2x)5-r·(-1)r=·25-k·(-1)k·x6-k+·25-r·(-1)r·x5-r,令得因此,展开式中含x2项的系数为·21·(-1)4+·22·(-1)3=10-40=-30.
