平衡问题探骊\n物体平衡的种类稳定平衡模型特征O稍微偏离原平衡位置后能回到原位置不稳定平衡模型特征稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置随机平衡模型特征能在随机位置保持平衡O平衡位置是位能最低的位置\n判断物体平衡种类的一般操作对由重力与支持力作用下的平衡设计一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稍偏离原平衡位置．或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化,根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；为比较扰动前后物体的受力与态势,要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述,故常需运用合理的近似这一数学处理手段．或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量,即重力对扰动后新支点的力臂,从而判断物体原来的平衡态属于哪一种．依问题的具体情况,择简而从．\n如图所示,一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b且长轴的长度为l,蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立,碗的半径r需满足的条件．专题3-问题1解:考察质心位置的高度变化蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足BAbaClR低细节描述蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足微扰情况下α、β为小量,整理得碗的半径续解\nMNOα-βCAβBα蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足续解续解\n考察质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支点N的力矩可使蛋返回原位,即满足低细节描述碗的半径\n如图所示,杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位置时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之.专题3-问题2析:先研究三力杆平衡时的几何位置特点:ABabφ0αCO在△BOC中由正弦定理:α证明FAFBG\n证法一:考察质心位置的高度变化ABφαCy扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位时已有结论质心C的高度有最大值受扰动后杆质心降低,属不稳定平衡续解\n证法二:考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量φ0αABCO原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′此时,重力对O的力矩为0此时,重力对的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!不稳定平衡abαα\n如图所示,课桌面与水平面夹角成α,在桌面上放一支正六棱柱形铅笔,欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动．试求：⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？专题3-问题3解:考虑不滑动铅笔在斜面上恰不滑动,有摩擦角恰为斜面倾角αφ若满足笔不会因滑动而破坏平衡!考虑不滚动低细节描述笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面!应满足放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角笔不会因滚动而破坏平衡!\nB1BOAαCa过笔质心的横截面临界状态下续解重力作用线\n127飞檐问题：如图所示,建造屋顶边缘时,用长度为L的长方形砖块,一块压着下面一块并伸出砖长的1/8,如果不用水泥粘紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长？专题3-问题4解:GL若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒C全nG123n最上1层砖恰不翻倒,最多伸出最上2层砖恰不翻倒,最多伸出2G3G最上3层砖恰不翻倒,最多伸出GG以此类推,7层砖的最大伸出\n如图所示,一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中,在磁场的作用下,线框开始转动,最后静止的平面位置是图中的小试身手题1AOBBBOCBODBO选项A不稳定平衡选项B稳定平衡选项C不稳定平衡选项D不稳定平衡\n图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来,问每一种情况各属哪种平衡？小试身手题2解:随机平衡稳定平衡不稳定平衡给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合力指向,从而判断平衡种类!\nllmLαm如图所示装置,它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆,以及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而组成．木钉及木杆的质量可忽略,木杆与木钉间夹角为α,此装置放在硬质木柱上,则l、L、α间应当满足______________关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后,此装置只能以O点为支点摆动而不致倾倒．小试身手题3解:为满足题意即系统处于稳定平衡,给系统一扰动,两小球重力对O的力矩应能使系统回到原位!原平衡位置时受一微扰后ααO2mg不能回到原位原平衡位置时2mg受一微扰后能回到原位\n如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆,一端靠在铅直的墙上,而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡,试写出这个表面的横截线的函数表达式Ｙ(x)（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）小试身手题4解:为满足题意即杆处于随遇平衡,应使杆的重心始终在x轴!OyxC(0,)(x,y)表面的横截线满足该表面为椭球面的一部分\n如图所示,两个质量分别为m1和m2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动．绳的两端固定于直杆的两端,杆与水平线成角度θ．在此杆上又套一轻小环,绳穿过轻环并使m1、m2在其两边．设环与直杆的接触是光滑的,当系统平衡时,直杆与轻环两边的绳夹角为φ．试证：小试身手题5m2θm1解:同一光滑绳上张力处处相同设为FT,m1gφφFT两小环平衡,分析受力如图:m2gFT由力矢量三角形:\n一根质量为m的均匀杆,长为L,处于竖直的位置,一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧,劲度系数相同,把杆的上端拴住,如图所示,问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？小试身手题6解:为使杆处于稳定平衡,给杆一扰动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重力矩!mgFT即其中得FT\n如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上,板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的一根摩擦因数为μ．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．小试身手题7RC解:令板从原平衡位置偏转一小角度αα板处于稳定平衡条件是重心升高!以圆柱轴为参照,原板重心高度扰动后重心高度α应有考虑到且\n如图所示,用均匀材料制成的浮子,具有两个半径均为R的球冠围成的外形,像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R,质量为m1．沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条,穿过整个厚度．辐条长l＞h,质量为m2．当将浮子辐条向上地浸于水中时,浮子只有少部分没于水中．浮子的状态是稳定的吗？小试身手题8解:先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点－重心位置：Cm1gm2g浮子偏转小角度低细节描述浮子为不稳定平衡!浮子为随遇平衡!浮子为稳定平衡!至题9\nCC续解CCC\nOOKDhRKDβαCKO如图所示,儿童玩具不倒翁高h＝21cm,质量m＝300g,相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R＝６cm的球面,如果不倒翁放在与水平面成角α＝30°的粗糙面上,当它的轴KD与竖直方向倾角β＝45°,则处于稳定平衡状态．为了使它在水平面上失去稳定平衡,试问最少需在头顶Ｋ加多少塑泥？小试身手题9解:C先求原重心位置：在三角形OCD中运用正弦定理：在水平面上：ODKC不倒翁失去稳定平衡条件是重心高于O!Δm\n有一长为0.2m、截面积为2cm2的均匀细棒,密度为5×102kg/m3．⑴在细棒下端钉上一小铁片（不计体积）,让细棒竖立在水面,若细棒露出水面部分的长为0.02m,则小铁片质量为多少？⑵不拿去浸在水中的小铁片,在上端要截去多少长度,恰好使上端面与水面齐平？⑶要使细棒竖在水面是稳定平衡,下端小铁片至少要多重?小试身手题10解:⑴分析此时受力：CM⑵此时态势为：C1⑶低细节描述系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心!C总至题11\nC总C总C总不稳定平衡随机平衡稳定平衡续解\nab两个相同长方体处于图示位置．问当α角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为μ,长方体长b宽a．长方体间无摩擦．小试身手题11α解:分析受力：G系统可能平衡条件是在此条件下,对右物块由力矩平衡Gα在此条件下,对左物块由力矩平衡综上\n在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB,设各接触面的摩擦角均为φ（μ＝tgφ）,求平衡时杆AB与斜面AO交角θ的范围．已知斜面BO与水平面交角为α．小试身手题12解:αABOθ三力杆平衡时的几何位置特点:不稳定平衡杆两端约束力与重力三力汇交当θ=α时αGABOθfA=0fB=0续解结论:平衡时杆AB与斜面AO交角θ的范围为α\n当θ＜α时αGOABθGφφ-δαfA=fmfA=fmfA=fmfB＜fmfB=fmfA＜fmφ杆平衡位置与左斜面的夹角θ续解\n当θ＞α时αGOGABθφfA=fmfA=fmfA=fmfB＜fmφfB=fmfA＜fmα杆平衡位置与左斜面的夹角返回θφ-δ\n4个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内．该4球球心恰在同一个水平面上,现将相同的第5个球放在前述4球之上,而此系统仍能维持平衡,求碗的半径为多少？小试身手题13解:几何描述上球对下各球压力由对称性得CAE各球三力构成闭合三角形θ由力三角形与几何三角形相似求碗半径!碗半径r由几何三角形动态分析结论:使系统平衡碗半径\nDCBAE俯视图PPABCDE剖面图球心与切点空间位置CAEPGTN续解θ\nCAE碗半径增大,平衡破坏!\n碗半径减小,平衡可维持至此!续解CAEP
