平衡问题探骊\n物体平衡的种类稳定平衡模型特征O稍微偏离原平衡位置后能回到原位置不稳定平衡模型特征稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置随机平衡模型特征能在随机位置保持平衡O平衡位置是位能最低的位置\n判断物体平衡种类的一般操作对由重力与支持力作用下的平衡设计一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稍偏离原平衡位置．或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化,根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡;为比较扰动前后物体的受力与态势,要作出直观明晰的图示;由于对微扰元过程作的是"低细节"的描述,故常需运用合理的近似这一数学处理手段．或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量,即重力对扰动后新支点的力臂,从而判断物体原来的平衡态属于哪一种．依问题的具体情况,择简而从．\n如图所示,一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b且长轴的长度为l,蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立,碗的半径r需满足的条件．专题3-问题1解:考察质心位置的高度变化蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足BAbaClR低细节描述蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足微扰情况下α、β为小量,整理得碗的半径续解\nMNOα-βCAβBα蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足续解续解\n考察质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支点N的力矩可使蛋返回原位,即满足低细节描述碗的半径\n如图所示,课桌面与水平面夹角成α,在桌面上放一支正六棱柱形铅笔,欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动．试求:⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置?专题3-问题3解:考虑不滑动铅笔在斜面上恰不滑动,有摩擦角恰为斜面倾角αφ若满足笔不会因滑动而破坏平衡!考虑不滚动低细节描述笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面!应满足放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角笔不会因滚动而破坏平衡!至问题4\nB1BOAαCa过笔质心的横截面临界状态下续解重力作用线\n127飞檐问题:如图所示,建造屋顶边缘时,用长度为L的长方形砖块,一块压着下面一块并伸出砖长的1/8,如果不用水泥粘紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样的几层砖最多可使屋檐"飞"出多长?专题3-问题4解:GL若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒C全nG123n最上1层砖恰不翻倒,最多伸出最上2层砖恰不翻倒,最多伸出2G3G最上3层砖恰不翻倒,最多伸出GG以此类推,7层砖的最大伸出\n如图所示,一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中,在磁场的作用下,线框开始转动,最后静止的平面位置是图中的小试身手题1AOBBBOCBODBO选项A不稳定平衡选项B稳定平衡选项C不稳定平衡选项D不稳定平衡\n图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来,问每一种情况各属哪种平衡?小试身手题2解:随机平衡稳定平衡不稳定平衡给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合力指向,从而判断平衡种类!\n如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆,一端靠在铅直的墙上,而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡,试写出这个表面的横截线的函数表达式Ｙ(x)（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）小试身手题4解:为满足题意即杆处于随遇平衡,应使杆的重心始终在x轴!OyxC(x,y)表面的横截线满足该表面为椭球面的一部分\n一根质量为m的均匀杆,长为L,处于竖直的位置,一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧,劲度系数相同,把杆的上端拴住,如图所示,问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡?小试身手题6解:为使杆处于稳定平衡,给杆一扰动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重力矩!mgFT即其中得FT\n如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上,板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的摩擦因数为μ．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．小试身手题7RC解:令板从原平衡位置偏转一小角度αα板处于稳定平衡条件是重心升高!以圆柱轴为参照,原板重心高度扰动后重心高度α应有考虑到且\nOOKDhRKDβαCKO如图所示,儿童玩具不倒翁高h＝21cm,质量m＝300g,相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R＝６cm的球面,如果不倒翁放在与水平面成角α＝30°的粗糙面上,当它的轴KD与竖直方向倾角β＝45°,则处于稳定平衡状态．为了使它在水平面上失去稳定平衡,试问最少需在头顶Ｋ加多少塑泥?小试身手题9解:C先求原重心位置:在三角形OCD中运用正弦定理:在水平面上:ODKC不倒翁失去稳定平衡条件是重心高于O!Δm\nab两个相同长方体处于图示位置．问当α角为多少时它们才可能平衡?长方体与水平面间摩擦因数为μ,长方体长b宽a．长方体间无摩擦．小试身手题11α解:分析受力:G系统可能平衡条件是在此条件下,对右物块由力矩平衡Gα在此条件下,对左物块由力矩平衡综上
