动力学特别问题与方法\n动力学的几个特别问题及处理方法质点系的牛顿第二定律加速度相关关系力的加速度效果分配法则牛顿第二定律的瞬时性非惯性系与惯性力规律规律规律规律加速度与力是瞬时对应的,外力一旦改变,加速度也立即改变,力与加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度,关键在分析该瞬时质点的受力,对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.示例\n质点系m2m1m3mi…F31F13F1FiF2F3F21Fi1F12质点系各质点受系统以外力F1、F2、……对质点1对各质点F1i质点系的牛顿第二定律示例\n如图所示,跨过定滑轮的一根绳子,一端系着m=50kg的重物,一端握在质量M=60kg的人手中．如果人不把绳握死,而是相对地面以g/18的加速度下降,设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计,绳子长度不变,试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度．专题6-例1解:取人、绳、物组成的系统为研究对象xmgMgama在图所示坐标轴上建立运动方程为绳相对于人的加速度为a绳对人=am-a=\nmAgBAED如图所示,A、B滑块质量分别是mA和mB,斜面倾角为α,当A沿斜面体D下滑、B上升时,地板突出部分E对斜面体D的水平压力F为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？专题6-例2解:ax对A、B、D系统在水平方向有对A、B系统分析受力amBgαx返回ααF\n绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系,确定它们的大小关系的一般方法是：设想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间,则由可知,加速度与位移大小成正比,确定了相关物体在同一时间内的位移比,便确定了两者加速度大小关系．物系加速度相关关系x2x\n如图所示,质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上,斜面体的质量为M,斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ．现用水平拉力F向右拉斜面体,要使物体与斜面体间无相互作用力,水平拉力F至少要达到多大？专题6-例3解:mMθF当物体与斜面体间无作用力时,物体的加速度为g考虑临界状况,斜面体至少具有这样的加速度a：在物体自由下落了斜面体高度h的时间t内,斜面体恰右移了hcotθ,由在相同时间内对斜面体gaMgFNF\nm1m2PAQBα如图所示,A为固定斜面体,其倾角α=30°,B为固定在斜面下端与斜面垂直的木板,P为动滑轮,Q为定滑轮,两物体的质量分别为m1=0.4kg和m2=0.2kg,m1与斜面间无摩擦,斜面上的绳子与斜面平行,绳不可伸长,绳、滑轮的质量及摩擦不计,求m2的加速度及各段绳上的张力．专题6-例4解:m1沿斜面下降,m2竖直上升,若m1下降s,m2上升2s,故T1m1gsinαm2g建立如图坐标分析受力牛顿第二定律方程为对m1建立方程m1m1gsinαT1代入题给数据PT1T1T2返回\nMmFa(a)FmMa(b)MmFa(c)FmMa(d)Mm(e)aMmF(f)a力的加速度效果分配法则问题情景如果引起整体加速度的外力大小为F,则引起各部分同一加速度的力大小与各部分质量成正比,F这个力的加速度效果将依质量正比例地分配．\nΔmFmmMTbTa如图所示,质量为M、m、m的木块以线a、b相连,质量为Δm小木块置于中间木块上,施水平力F拉M而使系统一起沿水平面运动；若将小木块从中间木块移至质量为M的木块之上,两细绳上的张力Ta、Tb如何变化？Ta减小Tb不变力效分配法示例1解:对左木块对左与中两木块\n产生整体加速度的力是F,使BCD产生同样加速度的力是AB间静摩擦力,最大静摩擦力大小应为当F=3μmg/2时,绳上拉力最大BFDATCf力效分配法示例2如图所示,在光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块,其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是μmg.现有用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m的最大拉力是多少?解:=3μmg/2\n．BAF∵A、B刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动要使A、B仍不发生相对滑动,须满足由上二式得如图所示,木块A、B静止叠放在光滑水平面上,A的质量为m,B的质量2m．现施水平力F拉B,A、B刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动；若改用水平力拉A,要使A、B不发生相对滑动,求的最大值.专题5-例5解:返回\nmgFF2剪断l2瞬时,F2力消失,绳l1上微小形变力立即变化,适应此瞬时物体运动状态——线速度为零,向心加速度为零；则此瞬物体所受合力为l1θl2F1此瞬时物体加速度为故绳l1拉力大小等于物体重力的法向分力：如图所示,一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细绳上,l1与竖直成θ角,l2水平拉直,物体处于平衡状态．现将l2剪断,求剪断瞬时l1细绳上的拉力及物体的加速度．瞬时性示例1解:\nBAaF撤去F力前：撤去F力瞬时,A受力未及改变,故：撤去F力瞬时,B受力少了F,故：如图所示,质量分别为mA、mB的两个物体A和B,用弹簧连在一起,放在粗糙的水平面上,在水平拉力F(已知)作用下,两物体做加速度为a的匀加速直线运动,求在撤去外力F的时刻,A、B两物体的加速度大小分别为多少？瞬时性示例2解:\n如图所示,木块A、B的质量分别为mA＝0.2kg,mＢ＝0.4kg,盘C的质量mC＝0.6kg,现挂于天花板O处,整个装置处于静止．当用火烧断O处的细线的瞬间,木块A的加速度aA及木块B对盘C的压力FBC各是多少?OABC方向竖直向下！对C运用牛顿第二定律：FBC=1.2NmcgFBCO处细线断瞬间,A受弹簧力未及改变,重力不变,故B、C间弹力是微小形变力,其发生突变！以适应B、C在此瞬间的运动：专题5-例6解:返回\n非惯性系相对于惯性系以加速度a运动的参考系称非惯性参考系.牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用a小球不受外力而静止小球不受外力而向我加速惯性力为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式,我们可以引入一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为可适用于非惯性系．惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同,它是虚构的,没有施力物,不属于哪种性质的力．\n如图所示,在光滑水平桌面上有一质量为M的劈形物体,它的斜面倾角为α,在这斜面上放一质量为m的物体,物体与斜面间摩擦因数为μ．当用方向水平向右的力F推劈形物体时,μ等于多少时物体间才没有相对运动？专题5-例7解:mMα取劈形物体M为参考系,设M相对地面的加速度为a,方向向右,在这个参考系中分析m受力:aFmgmaF约αφmgmaF约αφ在劈参考系中m静止,合力为零!对整体在水平方向有\nMα一质量为M、斜面倾角为α的三棱柱体,放在粗糙的水平面上,它与水平面间的摩擦因数为μ,若将一质量为m的光滑质点轻轻地放在斜面上,M发生运动,试求M运动的加速度a．专题5-例8解:mμ设M运动的加速度为a,显然a的方向水平向右:a设m相对于M的加速度为a非,a非的方向与水平成α角向下,即,沿三棱柱体的斜面:a非设水平面对三棱柱体的摩擦力为Ff,支持力为FN:Ff研究M、m构成的系统,在水平方向有在竖直方向有由摩擦定律取m为研究对象xmgFnFNFi(M+m)g\n解:人两次从同一高度下落,有第一次,人、重物（绳）加速度相同,由系统牛顿第二定律某人质量M=60kg,一重物质量m=50kg,分别吊在一个定滑轮的两边．人握住绳子不动,则他落地的时间为t1,人若沿绳子向上攀爬,则他落地时间．若滑轮、绳子的质量及摩擦可不计,求此人往上爬时相对于绳子的加速度．专题5-例9前、后两次人下落加速度分别设为a1、a2,第二次,人、重物（绳）加速度各为a2、a′,由质点系“牛二律”方向竖直向下人相对绳以0.1g向上爬\n关于惯性力,下列说法中正确的是A.惯性力有反作用力B.惯性力是由非惯性系中物体施予的C.同一物体对不同参考系有不同惯性力D.惯性力与合外力一定平衡小试身手题1选项A惯性力是虚拟的力,没有施力物,也没有反作用力．选项B选项C惯性力Fi=-ma,a为参考系加速度,参考系不同,匀加速不同,惯性力Fi就不同！选项D在非惯性系中有加速度的运动物体,其所受惯性力与合外力不平衡\n如图,在与水平成角α的静止的劈面上放一根不可伸长的轻绳．绳的一端系在墙上A点,小物体系在绳子Ｂ点上．某一时刻劈开始以恒定加速度a1向右运动．求物体还在劈上时所具有的加速度a2？小试身手题2解:ABx1x21本题涉及相关加速度劈加速度a1、物体加速度a2、物体相对劈加速度a21间矢量关系是矢量图示a1a21a2矢量三角形是等腰三角形！由矢量图得方向与竖直成\n如图,三角凸轮沿水平运动,其斜边与水平线成α角．杆AB的A端依靠在凸轮上,另一端的活塞B在竖直筒内滑动．如凸轮以匀加速度a0向右运动,求活塞B的加速度aB．小试身手题3解:设三角形高h、底边长b本题属相关加速度问题a0ABaBhb由加速度相关关系方向竖直向上\nm1m2如图所示,质量为m2的立方块放在光滑的地面上,质量为m1的劈（劈角为α）,直角边靠在光滑的竖直墙上,斜边压在立方体上,试求劈和立方块的加速度．小试身手题4解:a2a1劈和立方块的加速度设为a1、a2：a1、a2的关系是设m1、m2间压力为FNFNyFNFN则对m1对m2\nMθ如图所示,已知方木块的质量为m,楔形体的质量为M,斜面倾角为θ,滑轮及绳子的质量可忽略,各接触面之间光滑,求楔形体M的加速度．小试身手题5解:MθmamMxMxmM情景模拟楔形体和方木块的加速度设为aM、am,方木块相对楔形体的加速度amM：amM和aM的关系由位移关系amM和aM、am的矢量关系是矢量图示aMamMam对方块,以M为参考系的运动方程为系统的“牛二律”方程为aM\n如图所示,在倾角为α的光滑斜面上,放有一个质量为m2的斜块,斜块上表面水平,在它的上面放有质量为m1的物块．摩擦不计,求两个物块的加速度．小试身手题6解:xy0设斜面对m2支持力为F2,m2对m1支持力为F1,m1、m2整体受力分析如示：m1m2a2(M+m)gF2在竖直方向由质点系“牛二律”m2g情景模拟分离前两者在竖直方向有相同加速度对m2,在水平方向有\n如图所示,绳子不可伸长,绳和滑轮的质量不计,摩擦不计．重物A和B的质量分别为m1和m2,求当左边绳的上端剪断后,两重物的加速度．小试身手题7解:左边上端绳断瞬时,其余绳上力尚未及改变,A、B受力如图ABm1gT1T1m2gT2B受力如图A、B加速度关系是a1a2\n如图所示,A为定滑轮,B为动滑轮,摩擦不计,滑轮及线的质量不计,三物块的质量分别为m1、m2、m3,求：⑴物块m1的加速度；⑵两根绳的张力T1和T2小试身手题8解:m1m2m3BA设定坐标方向及线上拉力,对m1、m2、m3建立运动方程xm1gT1m2gT1m3gT2T3设三者位移各为s1、s2、s3,m2与m3相对滑轮B的位移设为x对m2有x=s2+s1对m3有x=s3-s12s1=s3-s2由上列五式可得\n如图所示,一根绳跨过装在天花板上的滑轮,一端接质量为M的物体,另一端吊一载人的梯子而平衡．人的质量为m,若滑轮与绳子的质量均不计,绳绝对柔软,不可伸长．问为使滑轮对天花板的反作用力为零,人相对于梯子应按什么规律运动？小试身手题9解:由“滑轮对天花板的反作用力为零”知绳上张力为零M对人与梯由质点系“牛二律”则人相对梯的加速度为\n如图所示,离桌边左方l处放一石块,一根长度为２l的不可伸长的轻绳将它与另一个相同质量的石块连接起来,搭在轻滑轮上,两石块维持在同一高度,绳既不拉伸也不下垂,然后放下右边石块．问：左边石块先到达桌边碰到滑轮,还是右边石块先碰到桌子？（不计摩擦）小试身手题10解:ll情景模拟各时刻,绳上张力大小T总处处相等!左石块加速度右石块水平加速度TT同样时间内左边石块位移大于右边石块,故左边石块先到达桌边\n如图所示,质量为m的两个相同的重物,分别固定在轻杆的两端,杆用铰链与轴相连,轴将杆长分为2∶1,维持杆的水平,试求释放时两个物体的加速度及杆对轴的压力．小试身手题11解:分析释放瞬时杆与两重物系统受力mgmgFNa右a左由质点系“牛二律”由两球位移关系知2FN/3FN/3对左球对右球由四式可得\n如图所示,一根长度为3l的轻杆上固定质量分别为m1和m2的两个重物,它们之间的距离以及它们分别到杆两端的距离相等．用两根竖直的绳子系在杆的两端,使杆水平放置且保持平衡状态．试求当右边绳子被剪断时刻左边绳子的拉力FT．小试身手题12解:分析释放瞬时杆与两重物系统受力m2m1m1gm2gFT2FTFT对左球对右球由两球位移关系知a2a1\n如图所示,在以加速度a行驶的车厢内,有一长为L,质量为m的棒AB靠在光滑的后壁上,棒与车厢底面间的摩擦因数为μ．为了使棒不滑动,棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？．小试身手题13解:棒不向右滑,受力如图aABmgFNF2Ffma水平方向竖直方向以车为参考系以A端为支点,应满足由上可得棒不向左滑,受力如图Ff以A端为支点,应满足θ范围为A\n两块与水平成角α的光滑斜面构成轻架,架上有如图所示那样放置的两个小球,架可以沿水平面做无摩擦滑动,释放质量为m1的上球,试问在什么条件下,质量为m2的下球将沿架子滚上？小试身手题14解:临界时m2已不再压右边斜架!两球受力如图m2m1m1gFN1FN2因为是轻架,即无加速度,所以两球对架压力的水平分力应相等,有m1、m2在右斜面法线上的加速度应满足m2g可得
