1运动学……32动量与动量守恒……683机械能与机械能守恒……1044角动量守恒与刚体定轴转动……1545相对论……2186真空中的静电场……2877静电场中的电介质……3688恒定电场……40710磁场对电流的作用……431\n11磁场与介质的相互作用……47012电磁感应……49013电磁场的基本方程……52914气体分子热运动的统计规律……54215热力学第一定律……59616热力学第二定律……63418波动……66619光的干涉……75120光的衍射……80922量子力学的实验基础……86823量子力学初步……94724原子结构的量子理论……990\n运动学第一章chapter1kinematices\n本章内容本章内容Contentschapter1质点运动的描述质点运动的两类基本问题圆周运动及刚体转动的描述相对运动与伽利略变换descriptionofparticlemotiontwobasickindsofparticlemotionproblemdescriptionsofcircularmotionandrigidbodymotionrelativemotionandGalileotransformation\n第一节质点运动的描述1-1ssssDescriptionofparticlemotion质点运动的描述忽略物体的形状和大小,保留物体原质量的一个理想化的物理点模型.质点为确定物体的位置和描述物体运动而被选作参考的物体或物体群.参考系坐标系coordinatesystem固联在参考系上的正交数轴组成的系统,可定量描述物体的位置及运动.如直角坐标系、自然坐标系等.referencesystemmasspointorparticle质点参考系质点参考系\n坐标系参考系（地面）YOXz坐标系（直角坐标系）高空飞机（视为质点）rφθ参考系（地心）球坐标系卫星法线切线运动质点τn自然坐标系由运动曲线上任一点的法线和切线组成\n矢量知识质点运动的描述质点运动的描述descriptionofaparticlemotion矢量基本知识矢量(vector)有大小、有方向,且服从平行四边形运算法则的量.A线段长度（大小）；箭头（方向）.手书A印刷（附有箭头）A（用黑体字,不附箭头）\n矢量表示式X分别为X、Y轴的单位矢量（大小为1,方向Y0Ajixyij、分别沿X、Y轴正向）.在X-Y平面上的某矢量A该矢量A的坐标式手书A=xi+yj印刷=x+yAij在课本中惯用印刷形式.在本演示课件中,为了配合同学做手书作业,采用手书形式.\n矢量加法矢量的基本运算(fundamentaloperationsofvectors)矢量加法(vectorialaddition)A12Aa2A+A1A2A((2A2A反向为减法相当于将一矢量反向后再相加.+A1A2A服从平行四边形法则AA12A、为邻边为对角线若xijy1+A2x((+(1+y2(xijy1A2x((+(1y2(则\n矢量乘法(vectorialmultiplication)矢量乘法A12AaOA12AacosA12A两矢量点乘的结果是标量A12Ax12xy1+y2在直角坐标中等于对应坐标乘积的代数和例如(scalarmultiplication)点（标）乘两矢量的点乘=两量大小与它们夹角余弦的乘积\n叉乘(crossmultiplication)叉（矢）乘两矢量叉乘的结果是矢量大小asinA12AA12A角转向叉号后矢量的旋进方向.方向垂直于两矢量决定的平面,指向按右螺旋从叉号前的矢量沿小于pA12A的方向A12Aa两矢量所在平面用一个三阶行列式若的空间坐标式为2A、1A+A1x1y1ij+1z+A2x2y2ij+kk2zA12A(thirdorderdeterminant)表示A12Aijkx1y11zx2y22z\n位置矢量YXzOrzxyr的大小为2rxyz22++其单位是米（m)其三个方向余弦为abgcosrx,cosr,ycosrzabg（其单为矢量为）k（其单为矢量为）i（其单为矢量为）j描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量parametersfordescribingparticlemotion位置矢量r+rxiyjzk+1positionvectorP\n运动学方程zXYOzyxr运动学方程rrt()2kinematicequation随时间变化rxyz0f,,()t从参数方程中消去所得的空间曲线方程称为轨迹方程t()xxyt()yt()zz其投影式称为参数方程+rijk+t()xt()yt()z可表成即运动学方程\n位移zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsrrr12xi2)(x1+yjzk2)(12)(1+yzrrirx+ryj+rzk位移的大小实际路程rs(rrP21PP21P特殊：一般：rsrr,rt0时,rrrs视为相等.rrrs单向直线运动中在位移rrrrr2r13displacement\n平均速度zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr怎样描述质点位置变化的快慢程度及方向？vrrtrtrrsv当tr0时,平均速度v的极限值具有更重要的意义：速度平均速度vvrrtr方向与rr相同是矢量4velocitymeanvelocity平均速率vtrrsv是标量vv显然meanspeed\n瞬时速度rtzXYOrP当tr0时vrrvrrvrdrdtdvrrt0limrtdtdss而且当tr0时rrsr故瞬时速度v速度简称instantaneousvelocityvelocityrrvrt0limrtdrtdrr为极限方向（曲线上P点的切线方向）方向：在直角坐标中vdtddtddrtddtdxyz+ij+kxvi+yvj+zvkv2xv22+yv+zvv速率v的大小称为speed\n平均加速度质点速度的大小和方向随时都在改变.v怎样定量描述质点的速度随时间的变化？zXOYvvvvP12Pr12rv1v22t1tv2v2vr加速度5accelerationv1v22t1tarvtr方向与一致rva的当tr0时,平均加速度的极限值具有更重要的意义：a平均加速度ameanacceleation\n瞬时加速度vP2Pr2rv2ttzXY当tr0111tdt+dv2art0limvrrttddrtddv2方向：为rt0vr时极限方向.acceleration瞬时加速度a简称加速度accelerationinstantaneousOa2dtd2在直角坐标系中xtdtddtddydz+ij+kxvi+yvj+zvk2dtd22dtd2axi+ayj+azk的大小aaax2+ay2+az2\n自然坐标系自然坐标系自然坐标系动轨迹平面运质点的（+）路程s（-）T切向N法向t切向单位矢量n法向单位矢量M时刻位置t0M初始位置质点的运动学方程st()s,速率vdsdt\n速度加速度自然坐标系自然坐标系动轨迹平面运质点的（+）路程s（-）T切向N法向t切向单位矢量n法向单位矢量M时刻位置t0M初始位置质点的运动学方程st()s,速率vdsdt自然坐标中的速度和加速度速度质点的vvtstddt加速度质点的va()vttvtddtddtdd+tddvt\n切向加速度加速度质点的a()vtvtddtddvttdd+tddvt沿切向（）t的vtdd速率变化率））切向加速度称tatavttddttdds22物理意义？tddtt其中的意思是的时间变化率.t是切向单位矢量,其大小恒为1(即单位长度）.故是指tddt切线方向的时间变化率.切向变化率分析PrOrsPntntqrtrttqrrttr0rqtqrrt方向,的大小n则ndtqdsdrntdvdtvrsdtdnvrn2\n法向加速度加速度质点的a()vtvtddtddvttdd+tddvt物理意义？沿切向（）t的vtdd速率变化率））切向加速度称tatavttddttdds22tdvdtvrsdtdnvrn2称沿法向（）,n法向加速度nanatna+aaa+tanatnvr2+tddv大小ata2+na2tddv+vr2()()22\n物理量小结小结描述质点运动的物理量运动学方程rrt()+ijk+t()xt()yt()z运动状态运动状态的变化位移rrr2r1irx+ryj+rzka加速度tddvtdtddtddd+ij+kxvyvzvaxi+ayj+azk2drtd2,aax2+ay2+az2a+tanatnvr2+tddvata2+na2,位置矢量2rxyz22++速度v2xv22+yv+zvxvi+yvj+zvk,vdtddtddrtddtdxyz+ij+k+rxiyjzk+,\n随堂练习一解法提要由运动学方程投影式消去ttx2,-y1922x2((得轨迹方程-y192x2由运动学方程坐标式xt((+iyrrt((t((j((2ti-192t2+j位矢2tsr14((mi+1j((vdtrdxdtdi+ydtdj2i+-4tjt22i-8j((s1ai+yjdtrd22xdtd22dtd220i-4j-4j((s2mm随堂练习已知x2ty-192t2(SI(运动学方程投影式()sI表示国际单位制长度：米()m时间：秒s()求质点的轨迹方程；第2秒末的位矢；第2秒末的速度和加速度.\n随堂练习二r得v2anv2g9.820×(223(30.6(m)由法向加速度大小anr最高点处vvcos30ºang解法提要v0v2anv求已知v0=20m/s足球运动轨迹最高点处的曲率半径ρ30º随堂练习\n（备选例一）例已知质点运动学方程()sIr+ijtt2求：t10s时的位矢；()1()2()30~10间的位移；s轨迹方程及0~10s间通过的路程.()3xt2yt()轨迹方程xy2抛物线td微路程sd+xdyd()2()2()2td+()2td2t1+4t2s0~10s积分路程0~10sd010td1+4t2ln22t()t2+122+1214)(t+()t2+1222010()1011m()1()r10()sI+ij10100rr()2()r10()r0()sI+ij10100解法提要：\n（备选例二）例已知质点运动学方程r+ijtt3求：()1()2速度及加速度；切向加速度,法向加速度及曲率半径.解法提要：()12+ijt3vrtddavtdd6tj,()2vvvxy2v2+41+9t,aa6tatnartddv81t341+9tv2ra2at26t41+9t,,attatnannanav241+9t6t41+9t41+9t6t23()\n随堂小议随堂小议一质点作曲线运动,r表示位矢,s表示路程,v表示速度,aτ表示切向加速度,下列四种表达式中,正确的是（请点击你要选择的项目）（1）datrd,dvrtd,（2）,dtatdvdvrtd,（4）dvtdar,dtdv（3）Sdtd,vdvtdta,结束选择\n随堂小议一质点作曲线运动,r表示位矢,s表示路程,v表示速度,aτ表示切向加速度,下列四种表达式中,正确的是（请点击你要选择的项目）（链接1）（1）datrd,dvrtd,（2）,dtatdvdvrtd,（4）dvtdar,dtdv（3）Sdtd,vdvtdta,结束选择\n随堂小议一质点作曲线运动,r表示位矢,s表示路程,v表示速度,aτ表示切向加速度,下列四种表达式中,正确的是（请点击你要选择的项目）（链接2）（1）datrd,dvrtd,（2）,dtatdvdvrtd,（4）dvtdar,dtdv（3）Sdtd,vdvtdta,结束选择\n随堂小议一质点作曲线运动,r表示位矢,s表示路程,v表示速度,aτ表示切向加速度,下列四种表达式中,正确的是（请点击你要选择的项目）（链接3）（1）datrd,dvrtd,（2）,dtatdvdvrtd,（4）dvtdar,dtdv（3）Sdtd,vdvtdta,结束选择\n随堂小议一质点作曲线运动,r表示位矢,s表示路程,v表示速度,aτ表示切向加速度,下列四种表达式中,正确的是（请点击你要选择的项目）（链接4）（1）datrd,dvrtd,（2）,dtatdvdvrtd,（4）dvtdar,dtdv（3）Sdtd,vdvtdta,结束选择\n第二节两类问题两类基本问题twobasickindsofparticlemotionproblem质点运动学中的质点运动学中的两类基本问题1-2ssssrrt()运动学方程vt()速度任一时刻的at()加速度已知求第一类第二类vvt()rrt()运动学方程或速度方程或速度方程vvt)()0r)及加速度方程a()0vat))及求导vrdtda2dtd2r方法,积分方法-0vvdtat0r-r0dtt0v由初始条件定积分常量r00v,两类基本问题Twobasickindsofparticlemotionproblem质点运动学中的质点运动学中的两类基本问题\n随堂练习一xxXXOOlhhv0匀速拉绳求船速（）vx解法提要：已知质点位置是时间的隐函数,求速度的简例xl2h2段因拖动,随时间增长其中,l其变化率tddlv0而变短,v0v()xtddxll2h2tddl+2h2xxtddl船速v0+2h2xxv0+2hx()1沿轴反方向X作变速运动.随堂练习\n随堂练习二已知跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为-aAB((tv((t均为大于零的常量AB式中,求任一时刻运动员下落速度大小的表达式v((t及时t0v0解法提要adtvd对本题的一维情况有adtvd-ABv由分离变量求积分dtvd-ABv0vt0vd-ABv0v注意到(d-ABv0v-ABv(-B1得(t0-vB1ln(-ABvln-ABv-BtA1ABv-e-BtAB1-e-Bt((v((t随堂练习\n（备选例一）vtddtatdd+22vxvy注意：求切向加速度ta是对速率v求导本题vxvy,,1t2例r已知t（）t2sIji求ts2时的,rav,,tana和的大小addt2jva2m.s2)(vddtri2tjvt2+()2t2121+4t2m.1s241.)(avtddtatdd1+4t21+4t24tt2419.m.s2)(()na2ta2t222419.2490.m.s2)(rv2nat2241.2490.135.m解法提要：\n（备选例二）例Rm200Ot3s20.02t已知自然坐标系中st：：s()m()求s1t时的a解法提要：tddsvt20.026atddtvrn2+v2t+1.t2()020t20.026ntn+atan大小a32.srad2（（as1t21.t+81.8n2atan+22a与切向的夹角atgarcatan31223ataanav\n（备选例三）例用积分法求匀加速直线运动公式已知质点沿X轴以匀加速度作直线运动a时0t,v0vxx0解法提要：沿轴运动,直接用标量式沿轴运动,直接用标量式vatdd由分离变量avdtd两边积分vv0+at得vdatdvv00t由vtddxxdvtdtd0tx0xdx分离变量xdtdv0+at()两边积分v0+at()得xx0+v0t+at212联立消去还可得txv2v022(ax0)\n（备选例四）例OXYv0q0已知ajgt0求vv（（trr（（t,解法提要：ax0tddxv0xv常数cosv0q0aaxai+yjjggaytddvgytddvgydvy0gtdtyvsinv0q0,yvsinv0q0gtv+xvyvjicosv0q0i+()sinv0q0gtj\n（续选例四）例OXYv0q0已知ajgt0求vv（（trr（（t,解法提要：tddxvx,tdxvdxdxOxcosv0q0Ottdxv0cosq0txvcosv0q0()sinv0q0gtyvtddyyv,tddyyvydyO()sinv0q0gttdOtyv0sinq0tg21t2ijrx+yv0cosq0t+i(v0sinq0tg21t2)j若联立消去可得轨迹方程tyxtgq02v02cosq02gx2\n（备选例五）例0求v（（qv（（90解法提要：tatddvddvstddsvddvsvldvdqqgcosdvdqqcosvgldqqcosgl0qdvv0v12v2qsingl2qsinglv（（qv（（902gl最大寻找dqdv~已知q图中质点tagcost0q0,gtal常数：,gdslqdqlqs\n第三节圆周、刚体运动descriptionsofcircularmotion圆周运动及刚体运动的描述圆周运动及刚体运动的描述1-3ssssandrigidbodymotion圆周运动circularmotion圆周运动角参量angularparameters1角坐标qangularcoordinatesO半径tAqX参考轴约定：反时针为正随时间变化的方程qt（）q称圆周运动的运动学方程qq的单位：弧度()rad一质点A作圆周运动Descriptionsofcircularmotionandrigidbodymotion圆周运动及刚体运动的描述圆周运动及刚体运动的描述\n角坐标、角位移Descriptionsofcircularmotionandrigidbodymotion圆周运动及刚体运动的描述圆周运动及刚体运动的描述圆周运动circularmotion圆周运动角参量angularparameters1角坐标qangularcoordinates随时间变化的方程qt（）q称圆周运动的运动学方程qq的单位：弧度()radO半径tAqX参考轴约定：反时针为正角位移qrO半径tAqX参考轴约定：反时针为正2angulardisplacementDqD+ttO半径tAqX参考轴DqD+ttrq对应于质点在tr时间内走过的圆弧所对的圆心角.OXqdqttdqd大母指方向四指顺t方向qd的右手螺旋法则在极限情况中,td瞬间的运动方向为切向t（）,td瞬间对应的微角位移质点在qdqd可用右手螺旋法则,表成一空间矢量\n角速度limtr0qrtdwqd角速度的大小为wtr角速度的矢量式w矢量方向与qd相同角速度的单位为s弧度()rad秒113角速度wangularvelocity\n角加速度O的单位为s弧度()rad秒b22angularacceleration4角加速度b表示角速度瞬时变化的快慢角加速度的定义为其方向为角速度增量rw的极限方向btddwlimtr0trrwtddq22\n一般方法圆周运动角量方程角速度角加速度bwtddqtddwtddq22qq((t积分求导求解圆周运动问题的一般方法\n角线量关系sdqdORqdsdRtddvta2bwRsqnatddtddvRRtddwRtdd2qRRv2Rw2关系式线量大小角量大小常用的与线量角量的关系与relationbetweenangularandlinearmeasures\n证明题例t的大小恒为1,故实指tddt方向切线的时间变化率.证法提要：定性理解：用圆周运动概念证明tddvrnt相同不同在单位时间内,trtttv小v大v速率r半径OOv大者的方向变化大.t方向r相同不同在单位时间内,ttv者的方向变化大.tv速率r半径小rttv大rOO小r方向\n续证明理论证明：PrOrsPntntqrtrttqrrt用描述时间内的方向平均变化量rtttrtr0的瞬间dtrtdt它的qtq方向大小ndd则ndtqdsdrntddtrsdtdnvrn1例用圆周运动概念证明tddvrnt\n角线关系简例例OqR已知tq+3absI（（m10.Rsrad2b4a2rad求时的t2stana和解法提要：wqtddt3b284（（1sradsrad2（（bwt24tdd84tabR480.1srad2（（.naRw2srad2（（0.324248480.1\n刚体及其平动rigidbodyanditstranslation刚体及其平动刚体及其平动形状固定的质点系（含无数刚体质点、不形变、理想体.）平动刚体任意两点的连线保持方向不变.各点的相同,可当作质点处理.rrvarigidbodytranslation\n刚体定轴转动rigidbodyrotationwithafixedaxis刚体定轴转动刚体定轴转动刚体的定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动,且该转轴空间位置及方向不变.OO\n定轴转动参量刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时,它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向,常量是转动状态量.\n刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时,它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向,常量是转动状态量.续参量描述刚体转动状态改变4.角加速度b的快慢和改变的方向tddwbtddq22常量b匀角加速b0匀角速变角加速b()tb常量因刚体上任意两点的距离不变,故刚体上各点的相同.wb,OO定轴转动的只有wdq,同和反两个方向,故OOwdq,,b也可用标量wdq,,b中的正和负表方向代替矢量.\n随堂练习随堂练习已知一质点作圆周运动半径R=0.1m其运动学方程为θ=2+4t3(SI)求t=2s时,质点的切向加速度法向加速度τana解法提要关键是设法求线速率v((t若由,τavdtdnaR2v关键是设法求角速率((tw若由RaτwR2nadtdw,本题很易求wdtdqwdtd((+3t2412tt=248(rad·s-1)2bdtdwdtd(12t(224tt=248(rad·s-2)aRτdtdwbR4.8(m·s-2)nawR2230.4(m·s-2)\n第四节relativemotionandGalileotransformation相对运动与伽利略变换1-4ssss\n相对运动一、相对运动运动具有相对性球作曲线运动球垂直往返SS（动系）（动系）如何变换？SS（静系）（静系）相对运动与伽利略变换RelativemotionandGalileotransformation\n运动的合成二、运动的合成compositionofmotions动系（运动参考系S）的量.描述运动三参量合成的约定绝对量absolutequantity静系（不动参考系S）的量.相对量relativequantity牵连量quantityoffollowing动系对静系的量.\nO静系ZY(S)X位矢的合成位矢的合成compositionofpositionvectorsr绝r牵S相对S作平动对空间任一点Pabsolutepositionvector绝对位矢S:r绝relativepositionvector相对位矢S:r相r绝相r牵r+位矢合成定理positionvectoroffollowing牵连位矢r牵S相对S:(OO)r相PY动系(S)XOZv\n速度的合成速度的合成compositionofvelocitiesr绝相r牵r+将位矢合成公式对时间求一次导数+r绝dtd相rdtd牵rdtdv绝相v牵v+速度合成定理relativevelocityabsolutevelocityvelocityoffollowingv绝绝对速度在S观测到P点的速度:相对速度在S观测到P点的速度:牵连速度S相对S的速度:牵v相v\n加速度的合成加速度的合成compositionofaccelerationa绝relativeaccelerationabsoluteaccelerationaccelerationoffollowing绝对加速度在S观测到P点的加速度:相对加速度在S观测到P点的加速度:牵连加速度S相对S的速加度:牵a相a将位矢合成公式对时间求一次导数+dtddtddtdv绝相v牵v+v绝相v牵v加速度合成定理a绝相a牵a+\n伽利略变换三、伽利略变换GalileotransformationO静系ZY(S)XvtY动系(S)XOZvP(x,y,z)(x,y,z)伽利略变换是反映两个相对作S相对于S作匀速直线运动.（这里设S相对S沿X轴方向以v速率作匀速直线运动.）t=0时动(S)静(S)两系重合.匀速直线运动的参考系（惯性系）之间的坐标、速度、加速度变换.伽利略变换约定：\n坐标变换三、伽利略变换GalileotransformationO静系ZY(S)XvtY动系(S)XOZvP(x,y,z)(x,y,z)伽利略变换是反映两个相对作S相对于S作匀速直线运动.（这里设S相对S沿X轴方向以v速率作匀速直线运动.）t=0时动(S)静(S)两系重合.匀速直线运动的参考系（惯性系）之间的坐标、速度、加速度变换.伽利略变换约定：坐标变换zyyzxxvttt这就是经典力学的时空观,认为空间和时间是绝对的,互不相关的.时间与观测坐标系是否运动无关.\n加速度变换O静系ZY(S)XvtY动系(S)XOZvP(x,y,z)(x,y,z)速度变换vuxyuzuuxyuzu将坐标变换式对时间求一次导,得加速度变换yazaaxaxyaza或aa将速度变换式对时间求一次导,并注意到匀速求导为零,得v\n相对性原理伽利略的相对性原理Galileoprincipleofrelativity由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来,故力学规律在一切惯性系中具有相同的形式,因而是等价的.这一原理称为伽利略的相对性原理伽利略的加速度变换aa表明,在两个相互作匀速直线运动的参考系（惯性系）中,观测同一质点的力学运动,其加速度大小和方向,两系观测结果都是一样的.也就是说,做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是绝对静止还是在作绝对匀速直线运动.\n随堂练习+v绝牵v相v+风对地v风对人v人对地vv风v测s人v+三种等效表达应用时必须注意这是矢量关系式,并画出相应的矢量图.随堂练习已知v人v5人测得来自某人骑车向北风速m1s,vm1s10,西偏北540求实际风速风..风对人：v风（（v绝牵v相v风对地：（（v测s人对地：人v（（合理选参考系地：s系人：s系,解法提要\n续练习+v绝牵v相v+风对地v风对人v人对地vv风v测s人v+三种等效表达应用时必须注意这是矢量关系式,并画出相应的矢量图.随堂练习已知v人v5人测得来自某人骑车向北风速m1s,vm1s10,西偏北540求实际风速风..风对人：v风（（v绝牵v相v风对地：（（v测s人对地：人v（（合理选参考系地：s系人：s系,解法提要45°北Y0人vXv风v测s西（相）（牵）（绝）45°v风v测s人v++5ii1022j1022((i7.072.07j(ms)1v风+大小：7.072.0722(ms)17.37方向：7.07a2.07arctg016.32即来自西偏北（吹向东偏南）016.32α510-10221022-2.077.077.37\n第二章标题★中国航天CZ1F动量守恒动量与第二章chapter2conservationofmomentummomentumand\n本章目录本章内容Contentschapter2质量与动量massandmomentum牛顿运动定律及其应用Newton’slawofmotionanditsapplication动量定理与动量守恒定律theoremofmomentumandlawofconservationofmomentum\n第一节质量与动量质量与动量2-1ssssmassandmomentum一、惯性定律lawofinertial惯性任何物体所具有的保持其原有运动状态的特性.惯性定律若无外界作用,任何物体都将保持静止或匀速直线运动状态.massandmomentum质量与动量质量与动量\n质量、动量二、质量与动量massandmomentum动量是矢量,动量在经典和近代物理中都是一个重要而基本的物理概念.为什么用这样一个矢量来作为物质运动的一种量度,可通过下述的一个普遍规律作初步理解：质量越大,物体运动状态改变就质量物体惯性大小的量度,（用m表示）越困难.质量的单位是千克(kg).动量物质运动的一种量度（用p表示）,质点的动量p是质点的质量m与其运动速度的乘积vpm=v动量的单位是千克·米/秒(kg·m·s).-1\n动量概念理解v2v1v01v02v1v2碰撞后而且普遍满足：=m1v1（）m2v2（）即质量与速度增量的乘积总是大小相等方向相反.物理量.特将称为动量.可见,质量与速度的乘积的大小和方向及其变化,是反映物质运动和相互作用普遍规律的一个重要的vmp=m1v1（）（）m2v2经典力学中,物体质量保持恒定,上式可写成v1=v1v01v2=v2v02图中无外力作用下,两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞mmv0112v02碰撞前\n第二节动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律2-2sssstheoremofmomentumandlawofconservationofmomentum一、质点的动量定理theoremofmomentumofparticle力的概念conceptofforce牛顿将物体动量对时间的变化率定义为作用在该物体上的力ptddFF是作用在质点上的合外力,F与动量元增量dp同向.力的单位是牛顿(N)theoremofmomentumandlawofconservationofmomentum动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律\n质点动量定理质点的动量定理theoremofmomentumofparticle微分形式differentialformtdpdF由力的定义得Ftdpd将力与作用时间的乘积称为力的冲量impulse用I表示质点动量定理的微分形式为Ftdpd或FtdId质点动量的元增量等于它获得的元冲量.积分形式integralformIFtdt0tpp0Dpdp0pp质点动量的增量等于它获得的冲量.质点动量定理的积分形式为\n平均冲力t1F2t0tF冲击过程与平均冲力dt-2tt1F1t12tF或用F21vmvm-2tt1\n质点系二、质点系的动量定理theoremofmomentumofasystemofparticles+)Sdt+pdF外ii内FiSSF2内3内F内F1F1外F外2F外3第i个质点受系统内其它质点作用的合力：内Fi受系统外部作用的合力：外Fi第i个质点123dt+F1外内F1p1d......dt+F外内Fpdiii......对各质点应用质点的动量定理考虑到系统内质点之间的作用力是作用力与反作用力可对对相消,最终：内FiS0\n质点系动量定理二、质点系的动量定理theoremofmomentumofasystemofparticles+)Sdt+pdF外ii内FiSSF2内3内F内F1F1外F外2F外3第i个质点受系统内其它质点作用的合力：内Fi受系统外部作用的合力：外Fi第i个质点123dt+F1外内F1p1d......dt+F外内Fpdiii......对各质点应用质点的动量定理考虑到系统内质点之间的作用力是作用力与反作用力可对对相消,最终：内FiS0质点系的动量定理得或tdF外iSpiSd微分形式dpiStdF外iS0tttdF外iSpiSpiS0积分形式因果因果总动量时间变化率所受合外力系统系统所受合外力冲量总动量的增量系统系统\n动量守恒定律三、动量守恒定律lawofconservationofmomentumpiSpiS0常矢量动量守恒定律：一系统若在一段时间内不受外力或所受合外力为零,则系统在此时间内总动量不变（即为一常矢量）.即piSdtdF外iStdF外iSpiSd0tttdF外iSpiSpiS0由质点系的动量定理微分形式积分形式或F外i0系统不受外力作用F外iS0系统受合外力为零.或若dpiStd0则\n定律说明piSpiS0常矢量动量守恒定律：系统不受外力作用或系统受合外力为零时几点说明系统所受合力在某一坐标轴上投影值为零,总动量在该轴上投影值守恒.系统内力远大于外力时（如碰撞弹药爆炸等）,可借助动量守恒定律处理.系统总动量不变,但系统内各质点的动量可以改变和相互转移.定律给出了始末状态总动量关系,只要满足守恒条件,无需过问过程细节.动量守恒定律不仅适用于宏观物体,而且适用于微观粒子,是一条比牛顿定律更普遍更基本的自然规律.\n应用内容提要四、应用动量定理、动量守恒定律的应用简例1、实际应用例一、逆风行舟与动量定理动量定理简例逆风行舟动量分析例二、火箭飞行原理与动量守恒定律加速飞行中的火箭火箭飞行速度微分式多级火箭与质量比2、随堂练习练习一、用动量定理求跳伞某过程中的平均阻力练习二、动量守恒定律与相对运动概念综合应用练习三、动量守恒定律在原子系统衰变中的应用\n逆风行舟予备简例FItv12v2sm1st02mkg1质点质量作用时间m2vp2FItFXFcos60FF,p2p1I,v1mp1,5F10(N)FX(N)I2)(NsF10(N),,解法提要例本图为一光滑水平面的俯视图,坚壁坚壁竖立在水平上.mm032v03X（反弹）v1求I质点受F坚壁受FX,F,XI60Fp2p1FX动量定理简例1、实际应用例一、逆风行舟与动量定理\n逆风行舟动量分析帆帆FFIpp112p22p2航向分力pp11tIFX2p22p2I逆风逆风p1p1m空气团分子质点系总动量m空气团分子质点系总动量ababbFFcosXbb~~pp112p22p20812ab~~动量分析逆风行舟的动量分析逆风行舟的\n加速飞行中的火箭例宇航火箭在某航程中可忽略外力作用.假设t时刻M)(主体质量含燃料速度v(对某星)+时刻tdt喷燃气mdu(对主体)+vdv(对某星))(主体质量含燃料mdM试应用动量守恒定律证明dvMumd火箭主体速率微变\n火箭速度微分式Mvmdu+vdvmdM用动量守恒定律证明dvMumd+vu解法提要：质点系：参考系：宇航某航程中忽略外力,系统动量守恒.,主体燃气.某恒星统一各动量参考系：燃气对恒星速度气+vdvvM)(对前进方向列式,并认定燃气方向为反前进方向（非待求）：M+md)(+vdvmd(+vdvu)整理后得dvMumd这是研究火箭飞行速度的基本微分式\n多级火箭与质量比mdu+vdvmdM附：dvMumd从到多级火箭原理喷出燃气质量md,则主体质量减少Mdmd,MddvuMMd若u一定,则2v1vdvuMMM12Mdln1v2vuM2M1ulnM2M10,若起飞时1vM1M0,燃料喷尽时sM2M,2vvs,即使不考虑重力和阻力,vsulnMM0sh多级火箭在每级的燃料用完时该级箭体亦脱落,MM0s称火箭质量比.可提高火箭质量比,获得较大的终极速度.\n随堂练习一F?阻()假定的方向也待求F阻受合外力F阻mg+重力Gmgs1t5.12tv150m.s12v5m.s1mg890kg.82m.s解法提要例Ym(43N)F阻mg+()1t2tmv2mv1F阻mv2mv11t2tmg18()负值表示与反向.Y应用动量定理求解平均阻力2、随堂练习\n随堂练习二解法提要：质点系：地.,人车.参考系：系统受合外力为零,动量守恒.行进至某时刻系统总动量系统初态总动量,0m人M车+v人v车v人v车应对同一参考系)(地注意其中的例已知,m人M车L车,忽略车地间摩擦OXx全静开始,人走到了车的另一端.x车对地的位移求走！\n续练习二例已知MLOXx全静开始,x车对地的位移求解法提要：质点系：地.,人车.参考系：系统受合外力为零,动量守恒.0mM+v人v车,v人v车应对同一参考系)(地注意其中的m走到它端定律要求：对同一参考系计算系统总动量题目信息：人对车走了问车对地位移L；xh人对车的动量人对地的动量需将代回换算v人u+v车设人对车速度为则u0)(mM+xu车vx+车vx对轴X有车vxmm+Mxudt0车vxtmm+Mt0xutdxmm+ML沿轴负方向位移.XxL\n随堂练习三例已知v2？求262Ra88a衰变um262m14u2m22u2末态总动量初态总动量1mv1+m2v2m0v0v2v11mm2反向v1解法提要其它外力,原子系统动量守恒.衰变过程可忽略72.510()s.m1v222u24u5.171042HenR262820v01v5.1710s.m1\n随堂小议质量为m,速度为v的小球,水平地射向一墙壁,后被反向弹回,速度不变,则小球的动量变化随堂小议（请点击你要选择的项目）（2）为零,因为速度、质量均没变.（1）为-2mv,因为速度方向变了；结束选择\n选项1链接答案质量为m,速度为v的小球,水平地射向一墙壁,后被反向弹回,速度不变,则小球的动量变化随堂小议（请点击你要选择的项目）（2）为零,因为速度、质量均没变.（1）为-2mv,因为速度方向变了；结束选择\n选项2链接答案质量为m,速度为v的小球,水平地射向一墙壁,后被反向弹回,速度不变,则小球的动量变化随堂小议（请点击你要选择的项目）（2）为零,因为速度、质量均没变.（1）为-2mv,因为速度方向变了；结束选择\n第三节牛顿运动定律牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用2-3ssssNewton’slawofmotionanditsapplication牛顿第一运动定律Newton'sfirstlawofmotion若物体不受外力作用,其运动状态不变().a=0Newton'sthirdlawofmotion两物体间的相互作用力总是等值反向,且在同一直线上.牛顿第三运动定律F1–2F2–1Newton'ssecondlawofmotion物体所获得的加速度的大小与物体所受的a加速度的方向与合外力的方向相同.合外力的大小成正比,与物体的质量成反比,FiSFm牛顿第二运动定律Fmamdtdv定律表达式maF8Newton'slawofmotionanditsapplication牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用\n应用：牛顿运动定律的应用运用牛顿运动定律时应注意理解并掌握一些基本方法牛顿第二运动定律说明了力是产生加速度的原因一、（a=F/m),注意1.这个力是合外力,内力不能产生加速度；2.力与加速度是瞬时关系,某时刻有力,该时刻就一定有加速度.3.力与加速度是矢量关系,有对应的坐标投影式,,例如直角坐标投影式Fxmax自然坐标投影式FymayFzmazFτmaτFnman,,\n动力学两类问题v((r求已知或及0t时的r0和v0F((va((v例如二、牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来,属动力学问题.质点动力学中也有两类基本问题已知求质量为的质点运动学方程mr()tr所受合外力F()am第一类质量为的m质点受力情况及初始条件质点的运动规律v()r等()tr,v()t或第二类求导2addtr2一般方法积分按具体情况分离变量求积mdtdvF((vmF((vdvtd0tv0v求得v((tv((ttd0tr0rdr\n随堂练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsincostwABw为常数练习一在三、常用的分析方法与步骤定对象看运动查受力列方程四、随堂练习xa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2BcosmxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于质点的力F((r解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2r\n续练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsincostwABw为常数练习一在三、常用的分析方法与步骤定对象看运动查受力列方程四、随堂练习xa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2BcosmxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于质点的力F((r解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2rrFF恒与r反向匀角速椭圆运动XYOBAmwFFxi+结果图示yFj)(mw2A+twcosBjtwsinixmw2(i+yj)mw2r\n随堂练习二练习二mvX0已知停机时船速0,阻力kFrv问船还能走多远？xddtmvFrkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0x止x止v0v0Xxvmkv0xv停机后船沿X正向运动,阻力与船速方向相反.关键是要找到船速与位置的关系,vx即从vv00x从0时x止解法提要\n随堂练习三需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解d(0.5v)2dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+0.5v)2dx即()+v01255202d(2.5+0.5v)2dx()+v01255202d(2.5+0.5v)2dxx02510积分得x102×ln(2.5+0.5v2)2510179(m)解法提要mdvdtm设列车质量为FF总则总阻力dvdtFF单位质量受总阻力FF总()+v01255202mt0v=25m/s；关电门时x=0,00v=10m/s时x=？,行进中的电气列车,每千克受阻力与车速的关系为FFXXv已知FF()+v01255202N当车速达25m/s时运行多远,车速减至10m/s求关电门,F练习三\n随堂练习四xvddttdxvd0xdx0Fm2tt20tdtx0F6mtt3ddtF由mv有tt0Fmddtvdvtt0Fmdt0dvt0Fmdtv0ttv0Fm2tt2解法提要0F0tFttt0Fm2t0x6vtt0Fm2t0XX某电车启动过程某电车启动过程牵引力牵引力ttFFtt0F0Fm0Ft启动时间及均为常数t0时vx00求v()txt(),练习四\n随堂小议在惯性参考系中,若物体受到的合外力为零,则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态,因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态,因为加速度为零只说明其速度不变.\n选项1链接答案在惯性参考系中,若物体受到的合外力为零,则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态,因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态,因为加速度为零只说明其速度不变.\n选项2链接答案在惯性参考系中,若物体受到的合外力为零,则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态,因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态,因为加速度为零只说明其速度不变.\n本章题头chapter3mechanicalenergyconservationofmechanicalenergy第三章机械能机械能机械能机械能机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒\n内容提要本章内容Contentschapter3功与动能workandkineticenergy保守力与势能conservativeforceandpotentialenergy机械能守恒定律principleofconservationofmechanicalenergy碰撞collision\n第一节3-1ssss功与动能workandkineticenergy一、变力的功theworkofchangeableforces力的元功在力作用下,F质点运动路程为位移矢量为r21XYOrrqrFsPrdFcosqAdhFrd作用于P点的F力的元功为且dsrd考虑无限靠近P点时dssrrd功是标量q2p为负q2p为正q2p为零,.提到功须指明是某力的功.功可叠加.（如积分、变力、多力的功）功与动能workandkineticenergy\n质点系动能定理二、动能定理theoremofkineticenergy质点的动能定理theoremofkineticenergyofparticle对单个质点力对质点所做的功质点动能的增量.动能定理的表述：AkEkE0DkE下面作一简要证明\n证明证明1m2mm3v1v2v3内力做功外力做功外力做功外力做功+1m122v1A12A01m122v102mv21222mv2122..................SiASm122v0m122viiiiSAkE0kEA内A外系统终态总动能系统初态总动能系统动能的增量,等于作用在系统中各质点的力所做的功的代数和.AA内+A外kE0kEDkE\n随堂练习一三、随堂练习practiceontheclasshA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25107xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m启动牵引力从0到10秒,xFtk若不计阻力.v0t00力的功.xF练习一=2吨(=6×103N/s)kX功的概念与特点力（功）与状态（动能）及系统（质点系）的分析注意：\n练习二阿特伍德机求重力加速度轻滑轮1m2m22m0kgh01m1kgh细绳xXO0m3hsv11h0m3h4从静态释放测得解法提要：系统：2m1m,,,滑轮细绳h轻滑轮及细绳的质量均忽略；不计阻力.该系统内力做功代数和为零.外力做功2m1mxgxg12mv212mv212+0系统的动能增量g12mv212mv212+x()1m2ms()m22489..练习二\n练习三已知解法提要：m0215.1kg()X0X0阻力与深度成正比阻力与深度成正比xFbxFbb5.01051mN.b5.01051mN.dd终止深度终止深度v0m2()00.1s求dx质点在方向仅受阻力,其余方向合力为零.运用质点动能定理b0阻力做的功质点动能的增量0ddxx12mv2012bd212mv20dmbv0505.15.20101)m(20035.201练习三\n第二节保守力与势能保守力与势能3-2ssssconservativeforceandpotentialenergy保守力做功的大小,只与运动物体的始末位置有关,与路径无关.特点：如重力万有引力弹性力非保守力做功的大小,不仅与物体的始末位置有关,而且还与物体的运动路径有关.特点：如摩擦力粘滞力流体阻力保守力保守力conservativeforce非保守力非保守力non-conservativeforce保守力与势能保守力与势能conservativeforceandpotentialenergy\n保守力的功：一、保守力的功theworkofconservativeforce及其做功的共同特点下面将进一步讨论几种常见的保守力重力的功theworkofgravity万有引力的功theworkofuniversalgravitationalforce弹力的功theworkofelasticforce\n重力的功brmgF重krabaYXOZkkjjiihAd质点在重力作用下发生元位移,重力的元功mrdgmkrdgmzdab)在任一弧段,重力所做的功AAdab)azbzgmzd()gmazbzgm给定,重力的功只与质点的始末位置有关.azbz重力的功重力的功theworkofgravity\n引力的功MMF引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMhAdF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrdgravitationalforcetheworkofuniversal万有引力的功万有引力的功\n续引力功r万有引力的元功Ad2rmGMrd为两质点的距离负号表示若距离变大rd()0万有引力做负功；反之做正功.在万有引力作用下,质点沿任一弧段运动,mab)万有引力所做的功AAd2rmGMrdab)rbar1()mGMar1()mGMrbmGM给定,万有引力的功只与两质点间的始末距离有关.rbarMMF引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMAdhF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrdbrbaragravitationalforcetheworkofuniversal万有引力的功万有引力的功\n弹力的功水平光滑表面弹簧劲度k质点XO弹簧无形变位置x弹FFdxbxbxaa质点位于时所受的弹性力x弹FFikx为X轴正向单位矢量,负号表示时受力沿X负向；反之沿X正向.ix0质点位置变化,弹性力所做的元功xdAhd弹FF()xdiikx()h()xdikxxdxabx从运动到弹性力所做的功abAAdabkxxd得A12kxa212kbx2给定,只与始末位置有关.kxabx弹性力的功弹性力的功theworkofelasticforce\n保守力功小结保守力的功只取决于受力质点的始、末位置,而与路径无关..0drF保亦即沿任意闭合路径,保守力对质点所做的功为零亦即非保守力沿闭合路径作功不为零.0drF保非保守力的功小结AFbadrh重力的功重力的功万有引力的功万有引力的功弹性力的功弹性力的功AgmazbzgmAmGM(1ar)rbmGM()12kxa2bx2A12k1\n势能概念保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能保守力做正功,物体系的势能减少；保守力做负功,物体系的势能增加.通常写成保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能Ep系统势能增量的负值二、势能potentialenergy若物体间的相互作用力为保守力,保守力由物体间相对位置决定的能量,称为物体系的势能（或位能）.相对位置物体系的势能的概念\n势能性质Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于处于点位置时系统所具有的势能,a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点,保守力所做的功.势能的性质势能是物体系中物体间相对位置配置状态参量的单值函数.势能属物体系所共有；势能是相对量,与势能零点选择有关.保守性只有在保守力场中才有；系统性相对性若选点为零势能点EpaadrhF零势能点Epb0则,badrhFb\n势能曲线为势能零点重力势能重力势能选地面0bzEpb0dzEpgmaz0gmazgmh：离地面高度hEphEpgmhO万有引力势能万有引力势能8为势能零点Epb0选rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr弹性势能弹性势能为势能零点Epb00选无形变处bxEpkxdxx012kx2EpxOEp12kx2几种常见保守力的势能与势能曲线势能\n力势关系势能是标量,保守力是矢量.两者之间是否存在某种普遍的空间关系？势能曲线的斜率对应任一位置处xxd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0()dEpxd0(FxdEpxd(0()dEpxd0(FxdEpxd(0沿X正向沿X反向XOxxFxFxEpdEpxdFx)(FxdEpxd先看一维弹性势能保守力与势能的关系\n普遍关系三维空间中某质点在保守力作用下势能发生微变rhFdEp()xyz,,FdEp()xyz,,d)Fxdx+zFyF+dydz(eeEpxdx+eeEpydy+eeEpzdz对比,,FxeeEpxyFeeEpyzFeeEpzFiFx+jyF+kzFeeEpxieeEpyjeeEpzkEp其中为梯度算符eexiyjzk+eeee+Ep称为势能梯度结论：保守力等于势能梯度的负值.保守力与势能的普遍关系\n随堂小议随堂小议卫星在A,B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中,AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1结束选择（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2\n选项1链接答案结束选择随堂小议卫星在A,B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中,AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2\n选项2链接答案结束选择随堂小议卫星在A,B两点处（请点击你要选择的项目）的势能差为上图中,AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2a（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2\n选项3链接答案结束选择随堂小议卫星在A,B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中,AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2\n选项4链接答案结束选择随堂小议卫星在A,B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中,AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2\n第三节机械能机械能守恒定律机械能守恒定律3-3ssssprincipleofconservationofmechanicalenergy一、机械能mechanicalenergy某一力学系统的机械能是该系统的动能与势能之和Ek+pEE系统的机械能系统的动能系统的势能即在一般情况下,系统的机械能并不保持恒定.系统机械能发生变化的外因：系统外各种形式的力对系统做功,简称A外内因：系统内存在非保守力做功（如摩擦消耗）,简称A非保内只有在一定条件下,系统的机械能才能保持恒定.principleofconservationofmechanicalenergy机械能守恒定律机械能守恒定律\n守恒条件与结果二、机械能守恒定律principleofconservationofmechanicalenergy守恒条件与结果提要若+A外A非保内0即外力和非保守内力不做功,或其总功为零时,条件：E结果：系统的机械能保持恒定,若用表示此过程中系统机的械能用表过程中某时刻系统的机械能E0E则EE0或EDEE00即系统机械能不变此结果既是大量观测的总结和归纳,还可从动能定理和势能概念推演出来：\n守恒定律推演各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内A外+A非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E0机械能守恒定律（推演及文字表述）动能定理Ek0Ek：势能概念()pE0Ep：\n续推演各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内A外+A非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E0机械能守恒定律（推演及文字表述）动能定理Ek0Ek：势能概念()pE0Ep：若某一过程中外力和非保守内力都不对系统做功,或这两种力对系统做功的代数和为零,则系统的机械能在该过程中保持不变.机械能守恒定律若A外A非保内+0及0或A外A非保内0Ek+pE0Ek+0Ep则常量即EE00或EDEE0各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内动能定理()Ek0EkpE势能概念0EpA外+A非保内EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末态机械能E初态机械能E0\n随堂练习一：三、随堂练习机械能守恒定律的应用用守恒定律求运动参量（x,v,a）和力（F）,一般较简便,注意掌握.用守恒定律求解有条件+A外A非保内0基本方法和步骤：分析条件选系统；根据过程状态算功能；应用定律列、解方程.\n第二宇宙速度用机械能守恒定律求第二宇宙速度机械能守恒21mv21GRMm0v2GMR2R2GM()Rg2R2hms31110h1MRv8mm脱离地球引力地面附近rEk021mv2pE0GMm1R0EkpE0E0E练习一系统：()RM地球,,质点m条件：不考虑空气阻力及系统外力解法提要\n光滑半球面O练习二hQhQ球面任意点P处由静止开始释放证明：hPhPhQhQ-13-hPhP练习二Q滚至Q点处开始切向脱离球面hPhPPm\n续练习二光滑半球面OhQhQ球面任意点P处由静止开始释放证明：hPhPhQhQ-13-hPhP练习二Q滚至Q点处开始切向脱离球面hPhPPmRvθ练习二光半滑球面mhPhPhQhQP球面任意点P处由静止开始释放Q滚至Q点处开始切向脱离球面证明：hPQhQ-13-hPO解法提要取系统：地球,质点.内力：重力.外力：支撑力,但不做功.故在P—Q过程中机械能守恒QhQmhPgmg+12mv2···(1)在Q点处脱离球面时,质点动力学方程为···(2)mv2cosmgqR···(4)···(3)由(1)得QhQhPg2v2由(2)得gv2RcosqQhQ···(5)由(3)(4)得12QhQhPQhQ、即QhQ2hP3···(6)由(5)、(6)得1QhQhP12.2hP3hP3\n第三宇宙速度从地球发送脱离太阳引力所需最小初动能mm212vm21v2+m21vse2vv2+vse2第三宇宙速度1hms7360h11附一：第三宇宙速度从地球发射质点脱离太阳引力所需最小速度m21v2v(第二宇宙速度)脱离地球引力需初动能从仅脱离太阳引力需初动能rsem21v2se(vseG2Msrse)利用地球公转速度ve同向发射,vsevevseG2MeRe受益后的系统：()RM地球,,质点m条件：不考虑空气阻力及系统外力太阳,eMserse地球公转轨道公转速度ve日地距earthsunsunm\n经典黑洞附二：“黑洞”的牛顿力学浅释某恒星质量为半径为.欲摆脱该恒星的引力,质点的逃逸速度应满足mvRMG21mv2MmR得v22GMR若此恒星的密度很大,以至于vcR2GM2c为光速则逃逸速度c这意味着连光也逃不脱如此高密度的天体的引力,成为“黑洞”\n黑洞新证据据美联社2004年2月19日报道,欧洲和美国天文学家宣布,他们借助X射线太空望远镜,在一个距地球大约7亿光年的星系中观测到了耀眼的X射线爆发.这一强大的X射线爆发是黑洞撕裂恒星的确凿证据.黑洞撕裂恒星恒星被“四分五裂”恒星被“四分五裂”天文学家首次观测到据天文学家的描述,他们在代号为“RX-J1242-11”的星系中央地带观测到了这场“生死决斗”.黑洞的质量约为太阳质量的一亿倍,而该恒星与太阳的质量差不多.摘自《人民日报》\n和平号有控坠落“和平号”空间站的有控坠落“和平号”空间站的有控坠落v2MrGerGMe空间站椭圆轨道的扁率,与运行间站在近地点时到地心的距离为r速度有关.设地球质量为空vMe的取值范围是v逐步减小,并在预设位置达下限v开始坠落、烧毁、余烬落入安全区.,附三：附三：\n续和平号第一次逆向点火制动二第次逆向点火制动三第次逆向点火制动空间站在椭圆轨道上运行,若近地点至地心的距离为,在该点的运动速率为,椭圆轨道的扁率与的大小有关.的取值范围是在运行中,若间歇向前喷发燃气（逆向点火制动）减小运行速度,可逐步改变椭圆轨道扁率,进入预期的低轨道,然后更精确地控制最后一次逆向点火制动时间和姿态,使,令其按预定地点落入稠密大气层坠毁.rvv2GMerGMervGMervv\n第四节碰撞collision碰撞3-4ssss特点：两个或多个物体相互作用且作用时间极短.形变后能完全复原并弹开.形变后不能完全复原,但能弹开.形变后完全无恢复阶段,不能弹开.完全弹性碰撞perfectelasticcollision完全非弹性碰撞perfectinelasticcollision非弹性碰撞inelasticcollision碰撞问题的基本物理模型两孤立球体正碰（即对心碰撞,碰撞前后两球速度共线）2mu12u2m2m碰前碰（形变-恢复）碰后v2v1m1m1m1碰撞碰撞collision\n碰撞系统的动量判断碰撞过程系统的动量或机械能是否守恒的依据仍为SF0+A外或F内F外系统动量守恒若若S外A内非保0系统机械能守恒机械能是否守恒则要根据具体条件进行分析.完全弹性碰撞,因孤立系统不考虑外力,动量守恒.其内力为弹性力（保守力）做功.对心正碰,碰后系统弹性势能完全恢复到无形变的初态,系统机械能守恒,且动能守恒.对于两孤立球体正碰,不论完全弹性、完全非弹性或非弹性碰撞,在对心连线方向,系统动量均守恒.对心连线上投影式m2u2m1u1+m1v1m2v2+\n完全弹性碰撞一、完全弹性碰撞perfectelasticcollision2m碰后m1u12u碰前v1v2碰撞前后系统总动量守恒连心方向透影式m2u2m1u1+m1v1m2v2+m2u2m1u1+m1v1m2v2+\n续全弹碰一、完全弹性碰撞perfectelasticcollision2m碰后m1u12u碰前碰撞前后系统总动量守恒连心方向透影式v1v2m2u2m1u1+m1v1m2v2+m2u2m1u1+m1v1m2v2+对心正碰时,系统动能守恒++m11222m1222m2u122m1u1122v1v2\n全弹碰速度公式m2u2m1u1+m1v1m2v2+(1)…212m1v1++212m2v2212m1u1212m2u2(2)…m2(1)由得u1m1v1v2u2()(3)…u1m1m2v1v2u2()(2)由得2222(4)…(3)(4)得u1v1v2u2++即v1v2u2u1(5)…(3)由得(5)和v1u2)(m2m1u1+2m2m2m(1)+u1)(m1m2u2+2m1m2m(1)+v2\n公式讨论碰后两球分离速度碰前两球接近速度v1u2)(m2m1u1+2m2m2m(1)+u1)(m1m2u2+2m1m2m(1)+v2v2u2u1v1归纳上述推导结果2mm1若速度交换讨论：1212u11212u12uv1v2v221u1212mm12121u12mm1若2mm1且2u0()m12mu1m12m+,v1m1m12m+u12v2v1v2v1\n完全非弹性碰撞二、完全非弹性碰撞perfectinelasticcollision对孤立系统不考虑外力,动量守恒.碰撞只形变不恢复,已远超弹性限度,含非保守内力做功,机械能不守恒,动能有损失.碰后连体同速v12vv由动量守恒u1v12v2um12m+m1+2m()得vm1u1+2m2u(m1+2m)碰撞前后能量变化Ek-0EkEk21(m1+2m)v2-21(m1u12+212m2u2)0()-m12m(u1-2u)22(m1+2m)损失\n随堂练习一三、随堂练习快速粒子1与静止粒子2发生弹性正碰已知初态21m12u0欲使碰撞后1m11uv211u求m2？欲使碰撞后v121u1m1求m2？练习一m1m2且2u0由弹性正碰)(+v11um2m1m2m1,若2v11u解得3m2m1若v121u解得,3m2m1v1u2)(m2m1u1+2m2m2m(1)+解法提要的速度公式现得\n随堂练习二求1vv2b：,,1v1uabv212静30°400m/s碰前碰后m12m2u已知1ua,2u,XY1,2,为同类粒子,m相同,在一水平面X-Y上练习二发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向上无外力作用,其碰撞过程如下图所示：\n续练习二求1vv2b：,,1v1uabv212静30°400m/s碰前碰后m12m2u已知1ua,2u,XY1,2,为同类粒子,m相同,在一水平面X-Y上练习二发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向上无外力作用,其碰撞过程如下图所示：1v1uabv2静30°400m/s碰前碰后mm2u已知1ua,2u,1212,求1vv2b：,1,2,为同类粒子,m相同,发生弹性碰撞.XYX-Y为水平面u1v2v1ab解法提要u1mv1v2+0m+m+212m+u102v112m2v212m由题意知,系统在水平面上动量守恒,且动能守恒.u1v1v2+u1v1v2222+判知三矢量构成直角三角形2abp90º30º60º2a+bp,得u1v1cosa400×23346(m·s-1)u1v2sina400×21200(m·s-1)由三角关系可算得\n附一：非弹碰非弹性碰撞对孤立系统不考虑外力,动量守恒.一般的非弹性碰撞介乎于弹性碰撞与完全非弹性碰撞之间,既有动能和弹性势能的相互转换,又有非保守力做功而耗散一部份动能.机械能亦不守恒.附一：非弹性碰撞inelasticcollision碰撞过程动能损失与形变后的恢复程度有关.定义恢复系数e2vv1u12u碰后两球分离速度碰前两球接近速度弹性碰撞2vv1u12ue1()完全非弹性碰撞0e(2vv1)非弹性碰撞e01e与碰撞物体的材料性质有关,可由实验测得.附二：恢复系数coefficientofrestitution\n附二：恢复系数含参数的动能损失量值表达式eEk+2m动量守恒u1v12v2um12m+m1+2m2u2vm1,e2vv1u12u(u1)()恢复系数得v1)(1+e2uu1m12m+()())(1+em12m+2uu1()()221u1m1212+v1m1212v2m21222m2uEk2m12m+m12m21)(1e22uu1()此式可用于计算非弹性碰撞（）、完全非弹性碰撞（）e010e和弹性碰撞（）过程的动能损失绝对值.e1\n本章题头LwIw与刚体的与刚体的定轴转动定轴转动角动量守恒定律角动量守恒定律第四章rigidbodyrotationwithafixedaxislawofconservationofangularmomentumchapter4\n内容提要本章内容Contentschapter4刚体的定轴转动rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体作定轴转动时的功能关系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角动量与角动量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum刚体的角动量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body\n第一节角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律4-1ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角动量angularmomentumrqOmv速度位矢质量角夹rv大量天文观测表明rqmvsin常量大小：Lrqmvsin方向：rmv()rvLq定义：rpLrmv运动质点mO对点的角动量为角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum\n问题的提出二、质点的角动量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变.靠什么判断？L变变变Lvrmsin大小Lmvrq质点对的角动量mO问题的提出\n质点角动量定理导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关？+()由Lvrm则ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF得ddtLrF角动量的时间变化率质点对参考点的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘质点的角动量定理\n微分形式ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所决定的平面,由右螺旋法则定指向.Fdqq得质点对给定参考点的mOddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理的微分形式如果各分力与O点共面,力矩只含正、反两种方向.可设顺时针为正向,用代数法求合力矩.\n积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0称为冲量矩角动量的增量这就是质点的角动量定理的积分形式例如,单摆的角动量大小为L=mvr,v为变量.在t=0时从水平位置静止释放,初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t下摆至铅垂位置,角动量大小为L⊥=mv⊥r.则此过程单摆所受的冲量矩大小等于L-L0=mv⊥r=mr2gr.\n归纳归纳质点的角动量定理ddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0冲量矩角动量的增量微分形式积分形式特例：当M0时,有LL00即LL0物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时,质点的角动量前后不改变.（后面再以定律的形式表述这一重要结论）\n质点角动量守恒质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的角动量定理rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时,质点对该点的角动量的时间变化率为ddtLL零,即质点对该点的角动量守恒.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为若质点所受的合外力的方向始终通过参考点,其角动量守恒.如行星绕太阳运动,以及微观粒子中与此类似的运动模型,服从角动量守恒定律.\n开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积\n定律证明证：时刻m对O的角动量大小为tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力总指向是太阳,角动量守恒.hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积L则LAddt2m常量（称为掠面速率）故,位矢在相同时间内扫过的面积相等\n质点系角动量三、质点系的角动量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem质点系的角动量质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点m12m3mr13r2r3v2vv1O\n质点系角动量定理质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式\n微、积分形式质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式若各质点的速度或所受外力与参考点共面,则其角动量或力矩只含正反两种方向,可设顺时针为正向,用代数和代替矢量和.\n质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时,其角动量守恒.\n随堂小议结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对.（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略\n小议链接1（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对.\n小议链接2（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对.\n小议链接3（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对.\n小议链接4（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对.\n小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零,角动量守恒.系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱,两人等速上升.若m12m系统受合外力矩不为零,角动量不守恒.可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论.\n第二节刚体运动的分类rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2ssss刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体.）平动刚体任意两点的连线保持方向不变.各点的相同,可当作质点处理.rrva定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动,且转轴空间位置及方向不变.平面运动刚体质心限制在一平面内,转轴可平动,但始终垂直于该平面且通过质心定点运动刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动.一般运动复杂的运动与平动的混合.rotationofrigidbodywithafixedaxis刚体的定轴转动刚体的定轴转动\n定轴转动参量刚体转轴1.角位置q转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp参考方向Xpp刚体中任一点p刚体定轴转动的运动方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度btddwb变角加速b()tb常量b匀角加速b0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时,它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量\n转动方程求导例题单位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(50p51p52p53pw1rads0213tsqrad100p150p03st50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,匀变角速定轴转动\n积分求转动方程例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且t=0时w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程\n线量与角量的关系例bw定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为,瞬时角加速度为,已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P的大小rPPrOOw瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr\n公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt\n刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F=ma惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动,服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量\n合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M=r×F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM=r×F222M=rFsinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM=rFsinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向\n转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴,不产生转动力矩.t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律\n转动惯量某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴,不产生转动力矩.t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律Mbrrmirmii∑2()=与刚体性质及质量分布有关的物理量,用表示称为转动惯量IbIM刚体的转动定律即bMIMI刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的b合外力矩的大小成正比,与刚体的转动惯量成反比.\n转动惯量的计算二、转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑rmiriri2与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求Ir为体积元dV处的密度rVdVrmdIr2m2I的单位为m2kg\n分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略,则Irmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)\n直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L平行移轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得I端31mL2\n圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m\n球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()\n常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=mR123I=mL1转轴通过端点与棒垂直\n其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I=(a+b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I=mR2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I=2mR匀质厚圆筒转轴沿几何轴I=(R1+R2)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI=R+22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I=2mR3\n转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成.合外力矩与合角加速度方向一致.bM在定轴转动中,可先设一个正轴向（或绕向）,若分力矩与此向相同则为正,反之为复.MMb与时刻对应,何时何时b则何时,M00b则何时M恒定恒定.例匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0\n转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1g=m1am2g–T2=m2a(T2–T1)R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩Mr,则转动式为(T2–T1)R–Mr=Ib再联立求解.\n转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g\n转动定律例题四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1g–T1=m1aT2–m2g=m2a(T1–T2)R=Ib及a=RbI=mR221得b=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222(rad)gt求()tqq物体从静止开始运动时,滑轮的转动方程\n转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关\n第三节刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系4-3ssssrelationofworkwithenergyinrotationofrigid-bodywOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量IEk21Iw2得刚体转动动能公式一、转动动能刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body\n力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下,刚体由转到,q12qMM作的总功为dAAq12qMqd力矩的瞬时功率NAddtwMqddtM\n力矩的功算例求拨动圆盘转一周,摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要总摩擦力矩是Mrr各微环带摩擦元力矩的积分Mrd环带面积dsdr环带质量dmpr2dmdsd环带受摩擦力gmmdmfdr环带受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圆盘受总摩擦力矩MrMrd转一周摩擦力矩的总功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘\n刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mA21v21mv202刚体转动的动能定理？由力矩的元功dAqdM转动定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd则AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为\n动能定理例题一例R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴求圆盘下摆时质点的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要对1m2m系统外力矩的功系统转动动能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由转动定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R则atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2\n动能定理例题二解法提要外力矩作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴\n动能定理例题三解法提要Lgm392段,外力矩作正功aA2qdcos02paqa段,外力矩作负功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI转轴对质心轴的位移L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求摆至垂直位置时杆的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置静止释放\n含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动+rE机械A外力A非保守内力矩力力矩(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守内力矩力0E平动E转动E势,,,E0平动E0转动E势0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00势ghhv00vawbOm1m1mR\n第四节刚体的角动量守恒定律4-4sssslawofconservationofangularmomentumofrigid-body刚体的角动量刚体的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()dLwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量\n刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM\n刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩∑MiLtdd∑i系统的总角动量的变化率1dt2ttM系统的总冲量矩系统的总角动量增量∑()1LLii2系统：轻绳mm1（忽略质量）总合外力矩对O的角动量mm1对O的角动量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR静止释放b求角加速度\n主要公式归纳刚体MLtdd（微分形式）（积分形式）刚体系统角动量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2刚体的归纳：IwL角动量关键式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd与质点平动对比mvpFtddp\n刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量当刚体所受的合外力矩等于零时,MIw刚体的角动量保持不变.刚体的角动量守恒定律\n回转仪定向原理LwI万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小.角动量守恒LwI恒矢量回转仪定向原理wI其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基座回转体（转动惯量）Iw\n角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大,乘积保持不变,Iw变大则Iw变小.收臂大小Iw用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w\n花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大,乘积保持不变,Iw变大则Iw变小.收臂大小Iw用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw\n共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动\n直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)165用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）\n守恒例题一wA静已知例AIBIA、B两轮共轴A以wA作惯性转动解法提要以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系统受合外力矩为零,角动量守恒.初态角动量wAAI+0()AI+BIwAB末态角动量得wABwAAI()AI+BI求两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wABwAB\n守恒例题二解法提要以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间,系统在铅直位置,受合外力矩为零,角动量守恒.wv0+m1v0lm1l+I该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒已知例弹嵌于棒Olm2v0m1子弹03上摆最大转角求v0木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆,非保守内力的功为零,由系统动能定理m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上摆末动能()m2121v+21wI2上摆初动能31vwlIm2l2,其中联立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1\n守恒例题三求满足什么条件时,小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止.直棒起摆角速度lw？匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放例mOllm静悬弹碰忽略摩擦联立解得l3l,gw23l()120.577l~~~~1.861gl解法提要对摆球、直棒系统mgl21mv2小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始,由动能定理得I31ml2其中球、棒相碰瞬间在铅垂位置,系统受合外力矩为零,角动量守恒.+刚要碰时系统角动量0刚碰过后系统角动量0mvlwI+球棒球棒弹碰阶段21Iw221mv2弹碰过程能量守恒\n相对论相对论第五章ofrelativitytheorychapter5\n本章内容本章内容Contentschapter5狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换principleofspecialrelativityandLorentztransformation狭义相对论的时空观viewpointofspecialrelativityspace-time狭义相对论中的质量、动量和能量mass,momentumandenergyofspecialrelativity广义相对论简介abriefintroductionofgeneralrelativity\n引言相对论的创建是二十世纪物理学最伟大的成就之一.1905年爱因斯坦建立了基于惯性参考系的时间、空间、运动及其相互关系的物理新理论狭义相对论.1915年爱因斯坦又将狭义相对论原理向非惯性系进行推广,建立了广义相对论,进一步揭示了时间、空间、物质、运动和引力之间的统一性质.本章重点介绍狭义相对论的基本原理,对广义相对论仅作一简略介绍.\n狭义相对论狭义相对论ofrelativityspecialtheory\n历史背景历史背景历史背景伽利略（1564-1642）牛顿（1642-1722）麦克斯韦（1831-1879）………物理学关键概念的发展1600190018001700力学热力学电磁学2000相对论量子力学爱因斯坦（1879-1955）……以牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论为代表的经典物理学,到20世纪初,已经取得了空前的成就.人类对物质世界的认识,已从宏观低速物体的运动规律逐渐扩展到高速传播的电磁波（包括光波）的场物质运动规律.随着对物质运动多样性的认识范围逐步扩大和深入的同时,也引起了对物质运动统一性问题的思考.1900年,著名物理学家开尔文在元旦献词中的名言：“在物理学的天空,一切都已明朗洁净了,只剩下两朵乌云,一朵与麦克耳孙-莫雷实验（寻找“以太”）有关,另一朵与黑体辐射有关.”但他却没有料到,这两朵小小的乌云正孕育着一场暴风雨,并促成了近代物理学的两大理论支柱相对论和量子力学的诞生.\n谁是谁非伽利略变换ssvprrrrtvttu2ddtruvaddtr2a如：牛顿定律力学规律fma在惯性系观察s在惯性系观察sfmama在一切惯性系中,力学规律相同.称为伽利略相对性原理电磁学规律若处有两个电荷p对惯性系,电荷间的相互作用为静电力.s对惯性系,是两个运动电荷,还有磁力作用.s规律不相同若处有一光源,迎着发射光波（电磁波）pv对s,光速uc对s,cucv光速+无实验根据自洽不自洽？？？谁是谁非难以判断\n两种哲学观念“以太”论的观点：假设整个宇宙都充满着一种绝对静止的特殊媒质“以太”（ether,又称能媒）.它是优于其它参考系的绝对参考系.物理定律在“以太”参考系中具有最简单的形式,而对别的参考系,有可能要改变形式.电磁学定律在不同惯性系有不同的形式是正常现象.在物理学史上企图发现“以太”曾作过许多努力（如：斐索实验、光行差测量、双星周期测量以及麦克耳孙-莫雷精密的光干涉实验等）,但没有成功,最精密的实验所测到的也是“零结果”.爱因斯坦的观点：相信自然界有其内在的和谐规律.（必定存在和谐的力学和电磁学规律.）相信自然界存在普遍性的相对性原理.（必定存在更普遍的相对性原理,对和谐的力学和电磁学规律都适用.）相信复杂多变的自然界,存在某种重要的不变性.\n双星观测B双星观测两颗绕共同重心旋转的恒星OA、B光速与光源运动状态无关的实例这里着重讨论B（伴星）的运动BEu光速沿u光可追上BEBE光,并同时到达,因此,伴星的像E不是一个亮点,而是一个亮弧.用伽利略的速度合成将会出现下述问题BE光速cu+v沿BEcuv光速沿1.E天文台vvBAOvB2.若用两种方法测量伴星的运动周期：u路程BEBEu但光速一是测量伴星相继两次通过B点所经历的时间；二是测量伴星由B运动到B所经历的时间（半周期）乘二.两种方法测所得结果并不相等,这是因为在第二种方法中,信号传送所需时间不同.,宇宙中存在大量这种物理双星,有些甚至肉眼也能分辨.精密的天文观测表明,双星的像是很清晰的两个光点,没有发现亮弧现象.而且两种方法测周期的结果一样.这只能用光速与光源运动状态无关的观点,才能得到圆满的解释.\n迈-莫实验以太光对地球u光对以太c地球对以太vc+v2cv2cv2cv2cs若能用实验证明光波对地球的相对运动符合上述规律,则地球对以太的绝对运动将被证实,“以太”观点成立.u迈克耳孙设计了一种检验方法：根据“以太”观点,充满宇宙的“以太”是一切运动的绝对参考系.光波靠“以太”传播,光对“以太”的绝对速度为.c若在地球上固定一光源,s按伽利略的速度合成法则,地球对以太的绝对运动必满足：cu+v或ucv迈克耳孙莫雷实验寻找“以太”失败实例\n续上以太光对地球u光对以太c地球对以太vc+v2cv2cv2cv2cs若能用实验证明光波对地球的相对运动符合上述规律,则地球对以太的绝对运动将被证实,“以太”观点成立.u迈克耳孙设计了一种检验方法：根据“以太”观点,充满宇宙的“以太”是一切运动的绝对参考系.光波靠“以太”传播,光对“以太”的绝对速度为.c若在地球上固定一光源,s按伽利略的速度合成法则,地球对以太的绝对运动必满足：cu+v或ucv迈克耳孙莫雷实验寻找“以太”失败实例v地球c光对以太v地球对以太光对地球us底盘1镜2镜玻片O11m臂长l=590nm迈克耳孙干涉仪cv+cv2cv22cv2观察记录干涉条纹迈克耳孙莫雷实验假如存在“以太”,的u大小必与传播方向有关.绕中心O转动干涉仪,两臂光程差必改变,干涉条纹必有移动.干涉仪转过90°,两臂位置取向互换,光程差改变达极大,条纹移动量亦达极大.相对速率若“以太”观点成立,预期有0.4根条纹移动量.（仪器的灵敏度,可判断0.01根条纹的移动量）.30km/s地球绝对速度属假设.在估算干涉条纹移动量时用地球的公转速度.这并不影响实验原理.实测结果经过不同季节、不同时间的反复仔细观测记录,没有发现预期的条纹移动.在历史上曾被称为有关寻找“以太”著名的“零结果”.寻找“以太”失败实例地球s底盘1镜2镜玻片O迈克耳孙干涉仪cv+cv2cv22cv2观察记录干涉条纹相对速率地球s底盘1镜2镜玻片O11m臂长l=590nm迈克耳孙干涉仪cv+cv2cv22cv2观察记录干涉条纹相对速率\n第一节两个基本假设狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换5-1ssssprincipleofspecialrelativityandLorentztransformation1、相对性原理2、光速不变原理1905《论动体的电动力学》对所有惯性系,物理规律都是相同的.光在真空中的速率在任何惯性系中,都等于同一量值c.爱因斯坦爱因斯坦AlberEinsteinAlberEinstein1879-19551879-1955两个基本假设狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换\n洛仑兹变换序洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换是狭义相对论中联系任意两个惯性参考系之间时空坐标的变换.对高、低速物质运动兼容.洛仑兹在研究速度小于光速运动系统中的电磁现象时,曾提出解决时空变换问题的法则及数学形式,但仍受“以太”观念束缚.爱因斯坦以狭义相对论的两个基本假设为前提,重新导出这个变换,并赋予明确的物理意义,仍称为洛仑兹变换.来由含义条件变换式必须满足狭义相对论的两个基本假设.时间和空间具有均匀性,变换性质应为线性变换.对时间和空间不作绝对定义,允许其存在相互依赖的可能性.\n约定惯性系模型在约定惯性系中进行某一事件的时空坐标变换sXYZPOsXYZOvss()txyz,,,()txyz,,,相对沿方向以匀速运动svXsyyzzyz方向均无相对运动,现推导有相对运动的X方向的时空坐标变换式：OO重合开始计时tt0\n变换式推导求待定系数gcttvx()gctv()xgt+)ttc2g2(c2v2tt得gc2c2v211()vc2则txcgtvx()cg(tcv2x)及tg(tcv2)+x推导线性变换相对性原理xtvx()gxv()xgt+OO重合开始计时vsXs相对沿方向以匀速运动sYZOXsXYZOvPss()txyz,,,()txyz,,,yzyz对任一事件,变换式均应满足ssOO若在重合时原点处沿OX方向发分别观察此光信号光速不变原理xctxct出一光信号,传播到达的X坐标和时间关系应满足：tt0\n洛沦兹变换式结果xtvx()gxv()xgt+yyzztg(tcv2x)tg(tcv2)+xyyzzg11()vc2或写成其中g11vc2bb,洛仑兹变换vcg12vc0则变为虚数,时空变换式无实际意义.vcg时空不可分割高低速兼容物体不能超光速变换式揭示了时、空是相互依赖的.当时,,且,回到伽利略变换式.\n例题例在约定惯性系中系相对系的速率v=0.6c,在系中观察一事件发生的时空坐标为t=2×10-4s,x=5×103m,则该事件发生在系中的时空坐标为ssssxts,m.解法提要tg(tcv2x)tcv2x1((cv22.38×10-4(s)xtvx()g1((cv2tvx3.88×104(m)\n第二节5-2ssss狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观viewpointofspecialrelativityspace-time一、"同时"的相对性sOABsvOXcc(中点）X因光速不变（不论对或）ss看到：闪光先到达B壁,后到达A壁.故s看到：闪光同时到达A、B壁.s设：光到达A为事件1光到达B为事件2,对：两事件同时发生,对：两事件非同时发生.ss即“同时”是相对的.（与惯性系有关）狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观\n两事件的变换用洛仑兹变换式判断两事件在不同惯性系中的时空关系相对论的时空关系,难有生活直接体验,要借助洛仑兹变换式谨慎分析.svOOXXs（事件1）1P（事件2）2Ps对：s对：1x(,(t12xt2(,(1xt1(,(2xt2(,(若已知1x(,(t12xt2(,(求1xt1(,(2xt2(,(根据洛仑兹变换式可求出g1xv(1xt1(2xgv((2xt2,,t12cg(t1v1x(t22cg(v(t22x下面讨论几种可能遇到的情况：\n典型分析g1xv(1xt1(2xgv((2xt2t12cg(t1v1x(t2g(2cv(t22x1g1(vc(2vc1g两事件的空间间隔1x2x((g(2x1x(v(t2t1(xrg(rxvrt(两事件的时间间隔((g((t2t1t2t12x1xv((2ctrg(rxvrt(2css同时tr0同时tr0异时tr0异时xr0同地xr0异地xr0异地rt0rt0同时rt0异时rt0异时rx0同地rx0异地rx0同地rx0异地要看具体条件而定对于有因果关系的关联事件（如：发送与接收,出生与死亡,栽种与收获等）必有t因果t((0及t因果t((0这是物质运动速度及信号传播速度不能大于光速的必然结果\n例一例在约定系统中发生的两个事件,若S系测得其时间间隔为4秒,在同一地点发生；S系测得其时间间隔为6秒,则S相对于S的运动速度大小为米/秒.解法提要((g((t2t1t2t12x1x((v2c06411(vc(2解得v2.24×108(m/s)\n例二例svXX“爱因斯坦列车”车头车尾雷电雷电sss看到：雷电同时击中车头和车尾.s若则看到：雷电先击中.设：击中车头为事件1；击中车尾为事件2.s：s：(1xt1(,,2xt2(,(1x(,t1(,2x(,t2(解法提要t1t21x2xv0正向行驶车头在前同时击中由g((((t2t1t2t12x1x((v2c00得1((t2t10即t2t1先击中车头\n例三例ssXs收发cvs0.5cO1x2x6×103m103mA站B站系在A站发一信号在B站接收所需时间为系上观察此过程则认为所需时间为秒.秒.解法提要t1t21x2x由g((((t2t1t2t12x1x((v2c解得((t2t1设：在A发出信号为事件1；在B收到信号为事件2.s系：此过程需时((c10()535s10()s6.89s系：\n收缩例一例在约定坐标系中系的轴上,放置着固有长度为一米的直尺.假设沿方向相对于系运动速度=0.6c,则sXsXsvs在系看系上的尺长为(m).s21()vcl0lg0l16.0c21()c80.(m)解法提要值及值随比值的变化趋势gg1vcg1vc21()vc00.20.40.60.81.01.00.80.20.40.6gvc21()1vc00.20.40.60.81.01.010.08.02.04.06.0若vc0.2可取近似式：gvc21()1~~+12vc()21g1vc21()~~12vc()21,\n收缩例二例一火箭长10m,以v=3km.s-1的速度飞行,在运动方向上,火箭缩短_______m.欲使火箭收缩到原长的一半,应以v=_______km.s-1的速度飞行.解法提要g2vc1()1l0lgrll0l此值约为5个氢原子的直径.因此对的低速情况,可不考虑相对论效应.vc0l10mv=3km.s-1解得rl5×1010(m)5(A)l0lg若l0l2则g22vc1()1即2得v23c2.6×105(km.s-1)\n长度收缩效应长度收缩效应长度收缩效应1x2x固有长度0l在任一惯性系中,测得相对于该系静止的物体的长度OsvXXOs1x2xsvOXXOs0l2x1x0l2x1x相对论结果：l0lgvc21()0l0l非固有长度l在任一惯性系中,测得相对于该系运动的物体的长度((l2x1xt1t2两端同时读数ss在系上测得相对于系运动的系上的静物长度例如：sst1t2((l2x1x两端同时读数或在系上测得相对于系运动的系上的静物长度ss\n收缩公式推导l0lg的推导0lg1xv(1xt1(2xgv((2xt2)t1t2两端同时读数g(2x1x(glsvOXXOs1x2x0l2x1xl2x1x两端同时读数0lg1xv(1xt1(2xgv((2xt2)t1t2两端同时读数g(2x1x(glsvOXXOs0l2x1xl2x1x两端同时读数1x2xss上看在是向的X负方向运动vc21()1两种情况均得0lgl即l0lg,g因故l0l结论：对观测惯性系作相对运动的物体,在运动方向上,其长度比相对静止时的长度要短.这种相对论效应有时又简述为：运动的尺子变短了.\n收缩例三问：车过桥时s是否认为桥长可容纳全车长？s看来又如何？例假设:ss.05vc固有长度0l车200m0l桥175m解法提要vc21().05vcg11.1547,s在看来：桥静车动.桥长是固有长度0l桥175m车长是相对论长度l车0l车g173.2(m)175m认为,桥长可容纳全车长.s在看来：车静桥动.车长是固有长度0l车桥长是相对论长度l桥0l桥g151.6(m)认为,桥长不能容纳全车长.s200m200ms\n收缩例四例OXsvOXs=0.6cY0a？Y0a20as系中一等腰直角三角形边长的固有长度如图所示问：观察到的是怎样的图形？ss解法提要沿运动方向的边长相对论长度为ga0a0avc21()6.0c21()c0a80.0a而垂直运动方向的边长无缩短观察到的图形是0a0a1.640a0.8由此还可进一步算出角度和面积的变改.\n收缩例五例Xs23cv天线0l451msX？天线长度、姿态YYq0解法提要天线在系的sXY轴向的投影x0l0lcosq0y0lsin0lq0在系观察：s运动方向上有长度收缩效应xlcosqlx0lg0lcosq0g垂直运动方向上长度无收缩lysinqly0lsin0lq0l2vc1()1g2xl+ly2qarctan()lyxl将已知数据代入解得l0.791(m),q6326\n固有时间时间膨胀效应时间膨胀效应用静止于某惯性系的时钟,测得发生在该系同一地点的两个事件所经历的时间间隔.固有时间0tsvOXXOs例如：在系的原点上,发生了某种物理过程,用系上静置的时钟计时,sOstr1t2t过程开始（事件1）时刻0t1t2t过程结束（事件2）时刻固有时间间隔固有时间又称为固有时间间隔、原时间隔或本征时间间隔非固有时间t用静止于某惯性系的时钟,测得相对于该系运动的惯性系上同一地点的两个事件所经历的时间间隔.例如：在上图中用系上的时钟测量系上同一地点的两个事件所经历的时间间隔.又称非原时间隔.ss\n时间膨胀效应svOXXOs过程开始xt00xt00时间膨胀效应为简明起见,假设某一过程发生在约定坐标系的系原点,而且,当两坐标系原点重合时过程开始.tt0sttrrxvtrXOsrxxsvOXtr0t0rx过程结束s到过程结束时,系测得所经历的时间为系观察此过程在处结束,sx所经历的时间为非固有时间ttr位移rxvtrtr固有时间0t原地结束0rx,由洛仑兹变换得tr()g+2vctrrxgtr即t0tg2vc1()1g1其中t0t故\n续上svOXXOs过程开始xt00xt00时间膨胀效应为简明起见,假设某一过程发生在约定坐标系的系原点,而且,当两坐标系原点重合时过程开始.tt0sttrrxvtrXOsrxxsvOXtr0t0rx过程结束s到过程结束时,系测得所经历的时间为系观察此过程在处结束,sx所经历的时间为非固有时间ttr位移rxvtrtr固有时间0t原地结束0rx,由洛仑兹变换得tr()g+2vctrrxgtr即t0tg2vc1()1g1其中t0t故由洛仑兹变换得tr()g+2vctrrxgtr即t0tg2vc1()1g1其中t0t故结论：非固有时间大于固有时间.即,非固有时间相对于固有时间“膨胀”了.从时钟走时的快慢来说,即,运动的时钟走慢了.称为时间膨胀效应或运动的钟缓效应\n双生子佯谬sss是一对双生子.乘高速飞船到太空ss和遨游一段s比自己老了,根据运动的相对性,和ss运动的时钟变慢了,但运动是相对的,都认为对方的钟在运动,这将会导致双方都认为对方的钟变慢了的矛盾结论.这就是时钟佯谬.若时间后返回地球,发现对方将会得出s也发现对方比自己老了的矛盾结论.称为双生子佯谬.爱因斯坦曾经预言,两个校准好的钟,当一个沿闭合路线运动返回原地时,它记录的时间比原地不动的钟会慢一些.这已被高精度的铯原子钟超音速环球飞行实验所证实.相对论预言慢(184±23)×10-9s实测慢(203±10)×10-9ss实际上这种谬误是不会发生的,由于两个时钟或两个双生子的运动状态并不对称（例如,飞离、返回要经历加、减速运动过程）,其结果一定是的时钟变慢了,ss双生子一定比年轻.s附：时钟佯谬双生子佯谬时钟佯谬双生子佯谬与\n膨胀例一tg0t2vc1()10tltv解法提要0tv2vc1()若按经典时空观计算l经0tv例某种不稳定性粒子其固有寿命以高速飞向地面0tvs能飞多长距离在地面观测t它的寿命有多长按此寿命l？地面已知问vs一种不稳定粒子m子,宇宙射线可使大气层产生已知子的m0t2.2×106sv0.995ct2.2×105sl6600m代入得l经而660m实验证明,来自高空的子,还能先后通过高差约2000m的山顶和地面检测实验室.若用经典时空观计算,子早就衰变完了.mm0t10\n膨胀例二例某高能物理实验室测得一种不稳定性粒子p±介子的结果如下：固有寿命0t(2.603±0.002)×10–8s粒子沿实验室坐标的X轴方向作高速运动速率v0.9100c从产生到衰亡走过的距离17.135m实验值与相对论预言值的符合程度如何？问：rx从长度收缩效应评估rxv0t7.101(m)rxrx理论值g7.104(m)rxrx理论值0.003(m)百分误差E0.04%从时间膨胀效应评估tv6.281×10-8(s)tg0t理论值t2vc1()2.604×10-8(s)0t0t理论值-0.001×10-8(s)百分误差E0.04%rx解法提要\n速度变换sYZOXsXYZOvP沿X方向运动P的运动速度ssxuxu变换式？由xtvx()gtg(tcv2x)其微分式xtvx()gdddtg(tcv2x)dddxutvx()gddg(tcv2x)ddxdtd()tdxdv1()vc2()tdxd得xuxuv1cv2xu或xuxuv1cv2++xu洛仑兹速度变换洛仑兹速度变换（爱因斯坦速度关系）或（爱因斯坦速度关系）或速度变换\n速度例一1.7c解法提要由洛仑兹速度变换0.357xuvc2xuv10.9cc0.81c2c0.80.9ccxuBBBvc2xuv10.9cc0.81c2c0.80.9ccCxuCxuC()0.988（反向）X不能用伽利略速度合成xuvxuBBc0.1xuvxuCC例vc0.8（A对地）BC求（A测B）Xxu？Bxu？CAXc0.9xuBCc0.9xu（反向）X（A测C）（地测B）（地测C）速度例一\n速度例二已知例ABC（B对A）（C对A）c0.7c0.7求若站在B上观测,测得A和C的速度大小？（即A对B）：B测A与（B对A）大小相等方向相反即c0.7v即B测C：xuxu+v2vc1+xuc0.7+c0.71+2cc0.7c0.7c0.94ABCc0.7ssPc0.7vxu在B上观察时对应的洛仑兹速度变换参量xu？解法提要\n随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同地点的两事件,在其它惯性系看来是（1）同时事件；（2）不同时事件.\n结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同地点的两事件,在其它惯性系看来是（1）同时事件；（2）不同时事件.小议链接1\n小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同地点的两事件,在其它惯性系看来是（1）同时事件；（2）不同时事件.\n牛顿力学的困难mass,momentumandenergyofspecialrelativity相对论中的质量、动量与能量相对论中的质量、动量与能量5-3ssss牛顿力学的困难牛顿第二定律mFa经典力学认为,物体的质量是恒定的,与运动速度无关.m若在恒力的作用下,物体的加速度亦恒定.aFmt0v+va,若作用时间足够长,物体的运动速度,可以超过真空中的光速.这一结论,与伽利略的速度合成法则可能导致超光速的结论一样,都没有任何实验依据.并且,被越来越多的实验事实所否定.经典力学在高速领域遇到了不可克服的困难.第三节相对论中的质量、动量与能量相对论中的质量、动量与能量\n质速关系式质量速度关系式相对论的vc00.20.40.60.81.01108246m0m相对论认为,物体的质量不等与物体的运动速度大小有关,mv0m物体的静止质量m运动物体的质量v物体的运动速度大小v增大则增大m接近光速则趋于无穷大vm因此,物体不可能被加速到超光速这一个重要的自然定律,已被大量现代物理实验所证实.质速gvc21()m0m0m关系式\n质速关系推导质速关系式的推导的静止质量均为AB0m设动量守恒质量守恒洛仑兹速度变换As（对）ssvB（对）s（对）svXXvvvv对指定坐标系的大小相等不考虑重力而且两球发生完全非弹性碰撞（碰后粘合成一体）推导基本思想\n续上质速关系式的推导的静止质量均为AB0m设动量守恒质量守恒洛仑兹速度变换As（对）ssvB（对）s（对）svXXvvvv对指定坐标系的大小相等不考虑重力而且两球发生完全非弹性碰撞（碰后粘合成一体）推导基本思想对系对系的大小、方向待求,暂设为正向的大小、方向待求,暂设为正向AB动静v0msmB动A静vm0msABM粘合动uuAB粘合Muu动质量守恒动量守恒MuM0mm+Mumv0mm+Mmv洛仑兹速度变换uuv1()vu2c上述五个方程联立解得()m0m21(vc)2即m0m2vc1()g0m（对）ss（对）ssv（对）sAvXXBv\n相对论动力方程狭义相对论的动力学基本方程gvc21()m0m0m由于质量与速度有关狭义相对论的动量定义为2vc1()0mmpvv狭义相对论的动力学方程为Fddtpddtm()v0m()2vc1()ddtvmFa当cv时,便过渡到经典力学的的形式.\n质速例一真空ee+用静电直线加速器可将电子的速度加速到接近光速.全长约三公里多的斯坦福直线加速器曾将电子加速到例vc0.9999999997问：此时电子的质量是其静止质量的几倍？解法提要m2vc1()1g0mm0mg10.999999999721由110.99999999944.0825×1046×10-101\n质速例二例已知细棒固有长度静止质量0lm0质量线密度r0m00lvv若以速度作下述运动,vr求（A）（B）解法提要（A）rlmgm00lg2vc1()1g22vc1()1r0c2c2v2r0（B）rlmgm00lgr0r0r0\n动能公式推导0v0sOm0rmvsddrF物体的动能等于物体从静止开始到以速度运动时合外力所做的功.v0rtFddt()mv相对论的动能公式Ek动能0rrFdr0rrtFsdddt0rr()mvsddt0rr()mvsdd0vvd()mvv0vd()vm02vc1()用分部积分法容易得出Ek2vc1()m0v2m00v2vc1()vdv2vc1()m0v2+m0c22vc1()0v2vc1()m0c20mc2mc20mc2相对论动能公式Ekmc20mc2相对论的动能质能关系式及相对论的动能质能关系式及\n另法推导备选2vc1()m0由可得mdmm0vc22vc1()223dv相对论的动能质能关系式及相对论的动能质能关系式及得相对论动能公式Ekmc20mc2代入、约简后得vdEkc22vc1()dm+2dmc2dmm0mc20mc2EkdEkc2dmmc22vc1()223dmdvm0v相对论的动能公式dEkdAFdxdtdpdxdxdtdpmvd()v用一个质点沿X轴受力并作直线运动的简明例子,从动能定理出发,导出相对论动能公式XvmdxF动质量dt瞬间2mv()dv+vdmmvdv+vdm（,都是变量）mv另法推导备选\n质能关系式质能关系式由物体的动能Ekmc20mc2静止能量物体的+即总能量mc20mc2Ek0E0mc2爱因斯坦：Emc2并将Emc2称为普遍的质能关系0E0mc2静止能量首次揭示质量与能量不可分割,并建立了物质的质量和能量两个属性在量值上的关系,是近代物理的重要理论支柱.简称静能,宏观静止物体的静能包括热能、化学能、以及各种微观粒子相互作用所具有的势能等.物体的总能量Emc2若发生变化,必将伴随相应的质量变化,反之亦然,即Emc2ss\n质能例一例经典力学的动能c2m0mc2210mv2证明：已知：m0mg12vc()1g,可见,相对论动能值Ekc2m0mc2经典力学动能值,210mv2本例还可帮助理解Ekc2m0mc2与之间的密切联系.m0mg解法提要12vc()1g4.81+212vc()+3vc()+..cv时,所取的近似值g1+212vc()故m0mg0m1+212vc()等式两边乘得c2mc20mc2+212v0m即212v0m0mc2mc2\n质能例二例一高速运动电子,当它的动能在数值上等于它的静止能量时,其速度v解法提要Ekc2m0mc2c2m题设：在数值上,若Ek0mc2根据则c20m2即0mg0m2m得212vc()1gv23c0.866c错误解法21mv2g210mv20mc2得0.910cv210mv20mc2或得1.414cv\n质能例三例电子的静止质量0m9.1×10-31kg,若将其速率由0.8c加速到0.9c,需对它做功eV.(1J=6.25×1018eV)1Ekc2m0mc2()0mc212vc()1v10.8cEk12v0.9cEk20.6670mc21.2940mc2EkArEk2Ek10.6270mc2(3×108)20.6279.1×10-315.14×10–14(J)=3.21×105(eV)解法提要\n质能例四（待求）例较轻的原子核在一定条件下聚合成较重的原子核称为核聚变反应.发生核聚变反应时会释放出巨大的能量.已知由氢的同位素氘核和氚核聚合成氦核的核聚变反应式为12H+3H14He2+0n1+释放的能量值质量数质子数12Hnp1m02.0141022u,0n1n1.0086652u,2m0nnp3H12m03.0160497u,反应前Sm0i5.0301519u反应后5.0112685uSm0i4He21m04.0026033u,nnpp解法提要1u=1.660552×10-27kgn1.0086652u,p1.00727647u,mr0Sm0iSm0i0.0188834u释放出与此相应的能量值mr0Er0c20.0188834uc2代入数字后算得Er02.814×10–12(J)=1.759×107(eV)相当于煤燃烧时,一个碳原子氧化反应释放热量的4.4×106倍.\n能量动量关系式能量与动量的关系能量与动量的关系Emc212vc()0mc2vpm0mv12vc()能量动量消去v得0mc2222Ep+c4()pc2+0E2相对论能量动量关系式：Epc0EEkE0Epc222E0E2再由()0E+Ek20E2Ek2+2Ek0Epc1Ek2+2Ek0E2Ek2+2Ek0m(c)得相对论的动量动能关系式：\n能量动量例题已知求例三个运动粒子动能值均为Ek=100eV静止质量分别为1m023m0m01.68×10-27kg9.11×10-31kg0各粒子的动量大小各粒子的运动速率1eV=1.60×10-19J解法提要p2Ek2+2Ek0m(c)由得p12.32×10-22kg.m.s-1p5.33×10-26kg.m.s-1p5.40×10-24kg.m.s-123这些都是实际存在的运动粒子,例如,本题中的(1)中子或质子；(2)电子；(3)光子.光子的静止质量为零,但它的动质量、能量和动量都不为零,光子能量与动量的比值,等于真空中的光速.cc由解得mpv0mv2vc1()v3v20.01975v10.00046cc()vc2pc2p0m+22\n基本公式归纳Epc0EEkp2Ek2+2Ek0m(c)2E()pc2+20E静止能量0E0mc2能量Emc22vc1()1g相对论因子动能Ek0EE质量mg0m动量pvm静止质量0m力ddtFp狭义相对论动力学基本公式归纳\n广义相对论简介···························广义相对论广义相对论简介简介generalrelativity·intrudutionofabrief\n引言1905年,爱因斯坦建立了基于惯性系的狭义相对论.1915年,爱因斯坦提出了包括引力场和非惯性系在内的相对论,即广义相对论.引言广义相对论是关于时空性质与物质分布及运动的相互依赖关系的学说,是研究物质在时空中如何进行引力相互作用的理论.广义相对论是近代宇宙论的理论基础,也是宏观物质运动现代研究领域的重要理论基础.本章主要介绍广义相对论的两个基本原理.\n等效原理等效原理等效原理有关引力效应与加速度效应不可区分的一个理想实验匀加速参考系密封仓在没有引力作用条件下作匀加速直线运动ag小球对密封仓都以加速度下落,仓内的观测者不能测出密封仓是处于引力场中,还是处于无引力作用的匀加速运动状态.g地球均匀引力场均匀的引力场中密封仓停放于gg\n对于一个均匀引力场而言,引力场与一匀加速参考系等效.换句话说,对于一均匀引力场而言,引力与惯性力在物理效果上等效.等效原理实际的引力场通常是不均匀的,只在局域小的时空范围内可看成均匀,等效原理在此范围内成立,即局部等效.在局域小范围内,一个没有引力场存在的非惯性系（匀加速参考系）中的物理定律,与在一个有引力场存在的惯性系中的物理定律是不可区分的.局域惯性系中一切物理定律均服从狭义相对论原理.从物体质量的角度来看,等效原理解释了物体的引力质量与它的惯性质量相等的经验事实.续上\n时空弯曲广义相对性原理与时空弯曲广义相对性原理与时空弯曲基于等效原理,在非惯性系中引入引力场的概念,就有可能将狭义相对性原理推广到任意参考系.为解决这个问题,爱因斯坦将空间和时间合为一体,建立四维空间,并提出了著名的广义相对性原理.该原理的文字表述如下：广义相对性原理任何参考系对于描述物理现象来说都是等效的.换句话说,在任何参考系中,物理定律的形式不变.\n光的引力偏移广义相对论预言,引力场中的光线不再沿直线进行,而是偏向于引力场源的一側.这一效应,还可检验光子具有动质量m=e/c2的事实.1919年的日全蚀期间,科学家们分别在非洲和南美洲,对掠过太阳表面的恒星光线受太阳引力作用而发生偏移的效应进行测量,实测结果分别为1.61″±0.40″和1.98″±0.16″,与广义相对论预言相一致（若按牛顿引力理论推算,太阳引力对动质量为m的光子所造成偏移量只有0.87″).此类测量后来还进行过多次,结果都与广义相对论预言.日全蚀光线引力偏移q广义相对论预言q==1.75″多次实测结果与预言相一致RM4GMc2R\n无线电波偏移无线电波也可看成是能量较低（质量较小）的光子.采用射电天文望远镜,接收处于太阳后方的射电天体发射的无线电波或宇宙飞船发射的无线电信号,也能测出太阳引力对无线电波所产生的偏移效应.近年来,采用射电天文学的定位技术测得的偏移角度为1.761″±0.016″,与广义相对论的预言很符合.“海盗”号无线电波偏移太阳火星探测飞船采用射电天文学的定位技术测得的偏移角度为1.761″±0.016″,与广义相对论的预言符合得很好\n谱线引力红移光谱线引力红移天狼星实测天狼星的一个伴星光谱线的引力红移是太阳光谱线引力红移的30倍,与广义相对论预言相符.广义相对论预言,振荡器的固有频率依赖于它所在处的引力场的强弱.引力场越强,则振荡器的固有频率越低.这种因引力场的作用而使光源的发光频率向光谱低端（红端）移动的现象称为光谱线的引力红移.若不考虑引力作用时某种原子光谱中某一谱线的频率为n,在某一半径为R质量M很大的恒星表面上同种原子光谱中同一谱线的频率要低一些,其相对频移的理论值为△n／n=－GM／(c2R).太阳的光谱线引力红移△n／n=－2.12×10–6.用鈷57放射性衰变发出的g射线在不同高度上做实验也可测引力红移效应,广义相对论预期的引力红移为2.46×10-15,实测结果为(2.57±0.26)×10-15,两者符合得很好.\n水星近日进动水星太阳金星地球椭圆轨道近日点水星近日点的进动（旋进）位矢天文观测早已发现,水星相继两次通过近日点时,其位矢扫过的角度大于2p,总观测值为每百年前移5600.73″.按牛顿力学关于行星的摄动理论及岁差等因素,可以算出引起该项进动的理论值应为每百年5557.62″,这比观测值少了43.11″.由于此差值之大已是观测精度的数百倍,故引起学术界的高度重视.爱因斯坦指出,对此问题必须考虑太阳近旁的时空弯曲效应,从而算出水星的进动每百年还应再加上43.03″,这与实测结果每百年差43.11″±0.45″符合得很好.\n黑洞黑洞黑洞恒星天鹅座X-1双星系X射线源（其中的黑洞约为太阳质量的九倍）X射线广义相对论预言,质量极大的天体,其引力可使时空发生极度弯曲,甚至在天体周围形成一个光波既不能发射又不能反射的区域,称为“黑洞”.天体物理学研究表明,质量大于3.2倍太阳质量的天体,其引力大到连光子（光子具有动质量）也不能逃脱,可以形成黑洞.黑洞强力吸引相邻恒星的表面物质,可形成高速质量流和带电粒子流,从而激发出X射线.最早被推断为包含有一个黑洞的双星系是X射线源天鹅座X-1.目前,通过地面和卫星观测,已发现了大量可认为含有黑洞的双星系及多星系X射线源.\n黑洞新证据据美联社2004年2月19日报道,欧洲和美国天文学家宣布,他们借助X射线太空望远镜,在一个距地球大约7亿光年的星系中观测到了耀眼的X射线爆发.这一强大的X射线爆发是黑洞撕裂恒星的确凿证据.黑洞撕裂恒星恒星被“四分五裂”恒星被“四分五裂”天文学家首次观测到据天文学家的描述,他们在代号为“RX-J1242-11”的星系中央地带观测到了这场“生死决斗”.黑洞的质量约为太阳质量的一亿倍,而该恒星与太阳的质量差不多.摘自《人民日报》\n真空中的静电场+-真空中的静电场第六章electrostaticfieldinvacuumchapter6\n本章内容本章内容Contentschapter6Coulomb'slaw库仑定律电场 电场强度electricfieldelectricfieldstrength高斯定理Gauss'stheorem电势能electricpotential电势electricpotentialenergy\n第一节Coulomb'slaw库仑定律6-1ssss一、电荷电荷---组成实物的某些基本粒子（电子、质子等）的固有属性之一.自然界存在正、负两种电荷,同性电荷相斥,异性相吸.电荷的量子性自然界中任何带电体的电量（电荷的定量量度）总是以某一基本单元（）的整数倍（）出现.QenQne为电子或质子带电量的绝对值.ee271369.0173101库仑（）C库仑定律库仑定律\n电荷守恒定律电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内,任一时刻存在于系统中的正、负电荷的代数和始终保持不变.该定律的要点：电荷的代数和不变性孤立系统中正、负电荷各自的量可能发生变化,但其代数和恒保持不变.例如,正、负电子相遇转化为两个光子.高能光子经过另一粒子附近时可能转换为正、负电子对.电荷的相对论不变性孤立系统的电量,与其运动状态无关.在不同参考系内进行观察,系统总电量保持不变.电荷守恒定律对宏观过程和微观过程均适用.\n真空库仑定律二、真空中的库仑定律点电荷相对于要研究的问题,其大小和形状可以忽略的带电体.q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数\n续库仑定律这种矢量表达式不论为同号q12q或异号电荷,也不论谁是受q12q力者均可适用.例如,带负电2q2q()0,q1带正电()0,q1若考虑2q受力F,所得结果F0,即与反向,Fr与定性判断一致.真空中的库仑定律又可写成Frq12qr20e4p13rq12qr0e4p1q1rr2q施力点电荷受力点电荷施受单位矢量距离真空中两静止点电荷的的相互作用力（静电力或库仑力）kFq12qr2r其中k0e4p10e24815.0812mCN.21.2称真空电容率0e或真空介电系数\n第二节6-2ssss电场 电场强度electricfieldelectricfieldstrength一、电场电场给电荷以作用力的物理场.静电场相对于参考系或观测者静止的电荷在其周围空间所产生的电场.又称库仑场.静止电荷之间的相互作用力是通过静电场来传递的.电荷电场电荷电场是物质存在的一种形态,也具有能量、动量和质量.电场 电场强度电场 电场强度\n电场强度二、电场强度带电体试验电荷（带正电的点电荷）FEFq0sICNh1mVh1E的单位为或空间某点的电场强度PEq0（受的电场力）q0EF与同向q0的大小与无关E\n随堂小议(1)E与q成反比,因为公式中q0出现在分母上.电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)E与q无关,因为分子F中含有q因子.00结束选择\n(1)E与q成反比,因为公式中q0出现在分母上.电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)E与q无关,因为分子F中含有q因子.00结束选择小议链接1\n小议链接2(1)E与q成反比,因为公式中q0出现在分母上.电场强度0q的物理意义表明EF0请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议(2)E与q无关,因为分子F中含有q因子.00结束选择\n点电荷的场强q0rFEFq00rqqr20e4p1q01rqr20e4p1点电荷的场强qq\n点电荷系场强场强叠加原理及其应用一、分立点电荷系的场强++q13q2qP3E2E1EE合场强ESin1EiE？\n电偶极子场强偶极电荷连线的延长线上某点B处的场强偶极电荷连线的中垂线上某点A处的场强例电偶极子的场强+EAEA+EA()+EAEA+EAcosq2q0e4pl2r2l2()2+r2l2()2+q0e4pl32r2l2()2+EB++EBEBEBq0e4p1rl2()2+rl2()21lq0e4p2rr2l2()22q+EAqEAEAqqlq++qB+EBEBEBrOrArl若则q10e4p3rlEA远rl若则10e4p2ql3rEB远定义偶极矩为l+方向由指向并规定10e4p3r2EB远则EA远10e4p3r,qlp电矩或pp\n带电体的场强二、连续分布电荷的场强VV带电体qdqdxyzE？PEdxEyEzEVEdxVVEdyEdzkjiEdEdxEdyEdz++E2xE++yE2zE2ExE++iyEjzEk\n带电直线场强例均匀带电直线的场强ydysinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得E？YXOa1q2q电荷线密度lABLdEydExdErqpqP\n续16YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsin\n续17YXO例均匀带电直线的场强rAB1qLyadExdEydE2qdyqpqPsinqcosdEr20e4p1ldyxdEydEdEdEqqld线元带电dydy在点产生元场强为P电荷线密度l换元dydqctg2tgaraysin()pqsinq()pqtgqrya2sinq2a2cscq2aq,dyacscq2dqdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得sinxdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()cosydE0e4pal1q2qqdqyEcos0e4pal1q2q()sinsinxEcos0e4pal1q2q()cosyE0e4pal1q2q()sinsinjixE+EyEE2xE+yE2若L为无限长01q2qpExE0epal2\nE？带电平面场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosq\n续19E？带电平的场强例无限大均匀带电平面的场强sq电荷面密度sYOzXbrEdyEdxEdydy带电线元场强的积分P带电平面的场强线元的电荷线密度ldys对应于本题Eddysr2pe0运用无限长直电荷场强公式Ela2pe0各线元的对称相消EdyExEdEdcosqdysEdr2pe0ExEdEdcosqdysr2pe0cosq2+by2rb得Edysr2pe02bdys2pe0b2+by288s2pe0()ybarctg88s2pe0(2p2p)s2e0\n两个常用公式注意前述两个推导结果*“无限长”均匀带电直线的场强El0epa2电荷线密度laPE为负时lE反向*EEs电荷面密度s“无限大”均匀带电平面的场强s2e0E为负时E反向s\n带电圆环场强XqaOXxE？例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdP\n续22XqaOXxE？带电圆环场强例均匀带电圆环轴上点的场强圆环轴上点的场强P各线元的成对相消Ed线元的电量为dldq2paqdl对应的元场强为Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圆周上各线元在点的元场强的矢量和PE则xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPXqaOxrEPE0e4pqx()xa2+232结果：又因()xa2+221r故又可表成3E0e4pqxr若xa（远场）x()xa2+232xx312x则0e4pq远E(2x)相当于点电荷的场强\n带电圆盘场强E？ss例均匀带电薄圆盘轴上点的场强圆盘在点的场强P各同心环带元在点的元场强的矢量和PRROOXxrEdadadaaP电荷面密度sada某圆环半径,环带宽dq该环带电为2psaadEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式Edx()423pe0+2ax2dq对应于本题为4pe0()23+2ax2x2psaadE则Ed2e0sxR0a()23+2ax2ad2e0sx1()2+2ax210R2e0s(1x)+2x2R若x（超近场）则相当于无穷大带电平面的场强Rx+2x2R以至0超近E2e0s\n带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqx总电量q4p2Rs环带带电量sdqdss2sinqdq2pR21qsinqdq2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23dqRldqqOaaxEdP\n续25带电球面场强E？R电荷面密度sOr例均匀带电球面的场强球面在点的场强P球面上各环带元在点的元场强的矢量和PEx()423pe0q+2ax2运用带电圆环轴上场强公式a某环带半径sinq环带宽dq环带面积为2pdsaadq2sinqdq2pRRRR环带带电量sdqds对应于本题为Ed()234pe0+2ax2dqxqdqOaaxEdP总电量q4p2Rss2sinqdq2pR21qsinqdqldqR2pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR232pe08cosq()rRqsinqdqsinq2R2+cosq()rR23Ed为积分方便换元dqldQ2R+2r2cosq()rRpe08cosq()rRqsinqdq23由POQl2R+2r2cosq()rR12ld得2R+2r2cosq()rRrRsinqdqEdE22()pe08qRrrR++rr1rR2l2lrRl2dl16pe0Rr2qRrrR++2rR2l2l2dl16pe0Rr2ql2rR2lRrrR+qpe0r24P点在球面外：若P点在球面内积分限为RrrR+到,结果得0E\n电场线6-3ssss高斯定理Gauss'stheorem约定：某点处电场线的方向是该点处NddsE的方向.电场线的密度定为E特点：源于正、汇于负的非封闭连续曲线.非源、汇处线不相交.E+-Nd条通过垂直的面元dsEEP一、电场线（电力线或线）E静电场的虚拟形象描述电场线真空中静电场的高斯定理\n电通量二、电通量（通量）E电通量电通量：通过电场中某一个面的电场线数.ef匀强电场中通过某一平面的通量sEEEsnnsefEsEEsnnsqqqqqcossqcossefEsqcos\n续28sqEnds非匀强电场中通过任一曲面的通量sEE通过面元的元通量dsefdefdqcosdsE定义面元矢量dsndsefd则的定义式为efdqcosdsEEds通过曲面的通量为sEefdefsqcosdsEEdsss若为封闭曲面,应规定n各个面元的均指向曲面外,sefEds并作封闭面积分\n凡例例EEnnRqqqq圆面非封闭半球面ef2pREef2pREef2pRE匀强efqcosdsEsEdss封闭半球面封闭球面任意封闭曲面nnnnnEnnnn匀强E非匀强sefEds0ef0ef0即进、出同一封闭面的线数目相等,总通量均为零.E\n特例引入下节例封闭球面中心有点电荷E+qqrrnqe04pr24pr2he0qefEdssEef-qqrrn同理可得qe0e0qq用负值带入+qqs12sss12ss对球面对球面对包围的任意封闭曲面q：：必有efqe0efqe0efqe0\n高斯定理e0qefef0+qsEef通过任意封闭曲面的通量sE回顾前例内q在sq在外s+Eqs高斯定理将给出更普遍的表述三、高斯定理\n续32外sEds0efsEds0qs在2ef112内efsEdsefsEefsEe0dse0dse0qs在i13ii2i1i23iqi1qi2qi3efsEEdse0sEdse0()+()E1+)总E2+Ei1+i2+3iqi1+qi2+qi31qiS通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01+-++-s任意封闭曲面（简称高斯面）q1q1iq3iq2iq2在真空中通过任一封闭曲面的电通量该曲面内电荷电量的代数和除以e0注意EqiS及在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处s内的电荷电量的代数和三、高斯定理\n续33续28++-+-q1q1iq3iq2iq2s任意封闭曲面通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01s内的电荷电量的代数和在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处（简称高斯面）三、高斯定理Q任意带电体s内的电荷电量的代数和dqQ积分\n随堂小议（1）为零,也可能不为零；（2）处处为零.请在放映状态下点击你认为是对的答案若通过一闭合曲面的通量为零,则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择\n小议链接1（1）为零,也可能不为零；（2）处处为零.请在放映状态下点击你认为是对的答案若通过一闭合曲面的通量为零,则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择\n小议链接2（1）为零,也可能不为零；（2）处处为零.请在放映状态下点击你认为是对的答案若通过一闭合曲面的通量为零,则此闭合曲面上的一定是EE随堂小议结束选择\n应用：直线四、应用高斯定理求场强例“无限长”均匀带电直线的场强某些带电体的电场具有某种特殊的对称性分布,应用高斯定理,恰当选取高斯面,能方便地求出场强.sefEdsqiSe01sqcosdsEsE呈轴对称分布s同轴封闭圆柱面选取为ah线电荷密度ls内的qiSlh,s上、下底面的通量均为零EE圆柱侧面各点E等值与ds法线同向,且qcosdsEssEcos0dsE2pah由高斯定理得E2pahlhe0El2pae0\n应用：平面例“无限大”均匀带电平面的场强EE均匀,垂直于带电平面指向呈平面对称状态电荷面密度sssEEss选封闭s母线与两侧圆平面面积均为s圆柱面,平行E通过圆柱曲面通量为零,E垂直通过E由高斯定理E1qiSdsse0efsssE+2sEsE本题s2e0E得2sEe01ss\n34推广sssssssssss2e0s2e0Ex:s2e0s2e0Ex:s2e0s2e0+s2e0s2e000se0X\n应用：球面例均匀带电球面的场强ORrsEs电荷面密度PrR带电球面外大小必相等sE面上各点的合场强方向与正交s（与面元法线同向）作同心封闭球面sef由高斯定理EqiSdss1e0p4s2RE2p4rQ球面总电量得E2p4r1e0p4s2R1e0QOeE2rs2RQp4Oe2r\n续41ORrsEs电荷面密度PrR带电球面外大小必相等sE面上各点的合场强方向与正交s（与面元法线同向）作同心封闭球面sef由高斯定理EqiSdss1e0p4s2RE2p4rQ球面总电量得E2p4r1e0p4s2R1e0QOeE2rs2RQp4Oe2r例均匀带电球面的场强rR带电球面内s面上某点的合场强EE1+E2I的合场II的合场ROrssE1E2III将球面分割为III两部分P过POPE1E2与反向OP且与共线E1E2是否可相互抵消另作别论,E但其合场强的大小在面上各点必相同,s其方向必与该点的面元法线共线.由高斯定理EqiSdss1e0E2p4ref0E2p4r00Oe这与电荷元场强积分法结果是一致的\n应用：球体例均匀带电球体的场强由高斯定理EqiSdss1e0efrREp42rQ1e0p43R3r球体总电荷Ee032rR3rp42re0QrREp42r1e0p433rrEe03rR3rp4e0QrsE基于球体均匀带电同一半径的高斯面上rE的法线同向.等值,方向与各面元（均以带正电为例）POOrrRR电荷体密度r电荷体密度rr\n比较结果比较均匀带电球面与球体的场强结果OOrrRR电荷体密度r电荷体密度r总电量总电量QQORrs电荷面密度总电量总电量QQEORrQp4Oe2rOe2rs2ROERrEe03rR3rp4e0Qre032rR3rp42re0Q球面球体E0r()Rr()Rr()Rr()R\n静电保守力6-4ssss电势能electricpotentialenergy+qq0qcFEdlr+rdrrdbrb一、静电场力是保守力一、静电场力是保守力AdhFdlq0Ehdlq0Eqcosdlq0qr20e4p1qcosdlqr20e4p1q0rdA)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1试验电荷点电荷的电场qaradl无穷小静电场的环路定理电势能\n续45+qq0qcFEdlr+rdrrdbrb一、静电场力是保守力一、静电场力是保守力静电场的环路定理AdhFdlq0Ehdlq0Eqcosdlq0qr20e4p1qcosdlqr20e4p1q0rdA)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1试验电荷点电荷的电场qaraA)abcdAq0e4pq0()1rabr1此结果表明qq0、一旦给定,电场力所作的功取决于移动试验电荷的始、末位置,而与移动路径无关.若沿任意闭合则电场力所做的功为零.即路线绕行一周,LA00qhLEdl闭\n点电荷系点电荷系的电场q12q++3qEq0试验电荷1E2E3Edlabc()abc(2E1E+EN+hhh+0qhdlabc(0q1Ehdl+abc(0q2Ehdl+hhh+abc(0qhdlEN1A+2A+hhh+AN因1A2AhhhAN,,,均与始、末位置有关,而与做功路径无关,故也有相同性质.AEE2E1E+N+hhh+合场强A0qabc(hEdl合电场力的功\n续47点电荷系的电场q12q++3qEq0试验电荷1E2E3Edlabc()abc(2E1E+EN+hhh+0qhdlabc(0q1Ehdl+abc(0q2Ehdl+hhh+abc(0qhdlEN1A+2A+hhh+AN因1A2AhhhAN,,,均与始、末位置有关,而与做功路径无关,故也有相同性质.AEE2E1E+N+hhh+合场强A0qabc(hEdl合电场力的功L0hdlLhdlLE1E+N+hhh++0+hhh+000q0qhdlL2E0qA闭EhdlL0q在点电荷系的电场中,试验电荷沿任意闭合路线绕行一周,合电场力所做的功为零.连续带电体的静电场也有相同的性质.\n保守力小结A00qhLEdl闭可见对任何形式分布的电荷所产生的静电场均成立.由于沿任一闭合回路做功为零的力称为保守力,故静电场力是保守力,静电场是保守力场.\n环路定理二、静电场的环路定理其中0q0故L0hEdlLhEdl积分称场强的环流.E静电场的环路定理在静电场中,场强沿任一闭合回路的线积分恒等于零.A00qhLEdl闭由,\n电势能三、电势能E任意路径ab0q静电场矢量场保守力场是又是可引入概念势能具有保守力场性质的矢量场称为势场试验电荷位于0qab点点静电系统具有电势能WaWb0q沿任意路径从到ab静电场力做的功Aab设其功能关系为()WaWbAabWbWa电场力做正功,系统的电势能减小.电势能是空间坐标的函数,其量值具有相对性.电势能零点的选择具有任意性.\n续51E静电场矢量场保守力场是又是可引入概念势能具有保守力场性质的矢量场称为势场三、电势能任意路径ab0q试验电荷位于0qab点点静电系统具有电势能WaWb0q沿任意路径从到ab静电场力做的功Aab设其功能关系为()WaWbAabWbWa电场力做正功,系统的电势能减小.P()0试验电荷位于0qa点点静电系统具有电势能WaW0q沿任意路径从到a静电场力做的功Aa设P()0P0P()0PAaPE0qdlhaP()0Wa0即WaE0qdlhaP()0电势能是空间坐标的函数,其量值具有相对性.电势能零点的选择具有任意性.试验电荷在电场某点的电势能,在量值上等于将试验电荷0qa沿任意路径移至电势能为零处的过程中,电场力所做的功.\n点电荷例0q+qaraErqr20e4p1r8P(0(任意路径例试验电荷处在0q点电荷qa的电场中电势能为点处的若选择无限远处为电势能零点P(0(,WaE0qdlhaP()0r8ra0qqr20e4p1dq0e4p10qra\n电势electricpotential电势6-4ssssWa0qaP()0Edlh联想电势能与试验电荷有关0q不能描述电场自身性质若用比值Wa0q,则与无关.0q一、电势定义：电场中任意点的电势aVa单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中电场力所做的功VaWa0qaP()0dlhE电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关.无限远或地表,常被选为理论或实验问题的电势零点.电势差电势\n电势差二、电势差定义电场中任意两点、的电势差abUVUaVbaP()0dlhEP()0dlhEbadlhEb与电势零电的选择无关,静电场中任意两点的电势差其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,电场力所做的功.单位正电荷UVaVbAab0q亦即或Aab()0qVaVb0qU\n叠加原理电势叠加原理0q+qaraErqr20e4p1r8P(0(任意路径Waq0e4p10q回顾ra可知点电荷的电场中某点处aq的电势为VaWa0qq0e4p1ra点电荷的电势公式是计算电势具有标量叠加性.其它带电体系电势的基础.\n续56点电荷系电场中点处的电势aq12q++3qa1arr2a3raE1E2E3E合场强+E1NEE2++...V8电势aaEhdl...8adlE1h++8adlhNE8adlEh2+Va1+...VaVa++2N0e4p1q1ar+0e4p1qar+...+0e4p1qar2N12N即VaS0e4p1qarii总电势各点电荷电势代数和\n简例求例已知+a2ddq+-q点处的电势解法提要：Va-q0e4p1d3q0e4p1d-6q0epd至于具有连续点荷分布的带电体,其电场中某点的电势可用点电荷电势积分法求解.\n随堂小议（1）场强为零的地方,电势必定为零；（2）场强相等的地方,电势必定相等；（3）带正电的物体其电一定是正的；（4）以上结论都不对.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案关于电势的概念下列说法中正确的是随堂小议\n小议链接1（1）场强为零的地方,电势必定为零；（2）场强相等的地方,电势必定相等；（3）带正电的物体其电一定是正的；（4）以上结论都不对.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案关于电势的概念下列说法中正确的是随堂小议\n小议链接2（1）场强为零的地方,电势必定为零；（2）场强相等的地方,电势必定相等；（3）带正电的物体其电一定是正的；（4）以上结论都不对.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案关于电势的概念下列说法中正确的是随堂小议\n小议链接3（1）场强为零的地方,电势必定为零；（2）场强相等的地方,电势必定相等；（3）带正电的物体其电一定是正的；（4）以上结论都不对.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案关于电势的概念下列说法中正确的是随堂小议\n小议链接4（1）场强为零的地方,电势必定为零；（2）场强相等的地方,电势必定相等；（3）带正电的物体其电一定是正的；（4）以上结论都不对.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案关于电势的概念下列说法中正确的是随堂小议\n电势计算法电势的两种常用计算方法电势叠加法VaS0e4p1qarii应用或Va0e4pqrdQ电势定义法应用VaaP()0dlhE\n带电环双例例计算电荷线密度为的带电细圆环垂轴上点的电势aVal+电势叠加法Va()hdlq0Rl+dqxaaX单位长度带电量dqdlRldql0e4pdVa1qd+R22xadVa0p2dq+R22xa0e4plRlR0e2+R22xa或+R22xa0e4pq,qlp2R电势定义法0Rl+haXxa8hEdla88xEdxVaxxa8xadx+R22x)(230e2lRx0e4pq+R22x)(23xE0e2lR8xa+R22x)(23xdxlR0e2+R22xa+R22xa0e4pq结果一致\n带电薄圆盘例用电势叠加法求均匀带电薄圆盘垂轴上某点的电势rsRxaaXhVa0hdr面电荷密度所取环带上含电量dqp2rsdrr+22xar利用上例结果在本题则为VR0dVaa0e4p+22xarp2rsdrqddVa0e4p+22xar()+R22xa+22xarr0e2sR0dr0e2sxa\n带电薄球壳例用电势定义法求均匀带电薄球壳内、外空间的电势分布+RQ薄球壳880r内r外外E内0外EV内E内hdr+8外Ehdrr20e4pQ08R+r20e4pQdr0e4pQR不变量Vr内RRr外8hdr外Er外8r20e4pQdr0e4pQr外与成反比r外Vr0R\n带电平行线例用电势定义法求一对均匀带等量异号电荷无限长直线外某点的电势P0()PaXYxy-l+l（电荷线密度）a,rr+ZP0选轴为零势线Z+EEhVPEP0drP0hh+drdr得VPr+a2p0erldr+ra2p0erdr-lln2p0elar+lnar2p0ellnr+r2p0elln22(x+a)+y22(xa)+y4p0el22(x+a)+y22(xa)+yln\n带电平行板X0EEE0se0ss+-0d电荷面密度例如图示两“无限大”均匀带电平行平面若选正电平面为零势面求、、区电势分布V()ixhd0Ex0x0V()hx0idxEx0se0ihidxse0xxd0dV()xEhidx+d0Ehidxse0dxd0VXd\n同轴带电柱例ABRABR同轴圆柱面A、B均匀带电单位高度A柱面带电B柱面带电ll求A、B柱面电势差由电势差定义EVABVAB.dlRABR.Erdr应用高斯定理可求得Er,带入后得lnVABVRABRdr2pe0rl2pe0lBRRA\n同轴带电环例用电势定义法求一对均匀带等量异号电荷等半径共轴圆环圆心间的电势差x+0RXR0qqaIIIx0e4pq+R22x)(23xEIxEIIx0e4pq+R2232x)(axEIxEII+xEhEdU00xa0xdxa0xEI+a0xEIIdxx0e4pq+R22x)(23a0dx+a0x0e4pq+R2232x)(adx0e4pqR2+x21+R2+2x)(a10a20epqR)(1R2+21a\n等势面等势面等势面（亦称等位面）在电场中电势相同的点所构成的曲面.性质电场强度（或电场线）与等势面处处正交.较密集；电场强度小的地方电场强度大的地方等势面等势面较稀疏.带电体带电体+++++++E电电场场线线等等势势面面\n点电荷势场等势面等势面场电线电场线+\n电偶极势场+-电场线电场线等势面等势面\n电容器势场++++++++++++++++++电场线等势面\n电导块势场等势面等势面电场线电场线++++++++++++++++++++++++++++++++++\n综合势场图+等势面等势面场电线电场线++++++++++++++++++电场线等势面+-电场线电场线等势面等势面++++++++++++++++++++++++++++++等势面等势面电场线电场线++++\n场势微分式场强与电势的微分关系E电场力的功电势能的减小0qV12V+lq0qEl()2VV1cosElqVlElVVlEl0q得EdlqV+VdVdl0q同理,在非均匀场的微区域中0qEdVcosEqdllEdldVdV得lEdVdl0q+\n续78场强与电势的微分关系E电场力的功电势能的减小0qV12V+lq0qEl()2VV1cosElqVlElVVlEl0q得EdlqV+VdVdl0q同理,在非均匀场的微区域中0qEdVcosEqdllEdldVdV得lEdVdl0q+lEdVdl电场中某点的场强在任一方向上的投影等于电势沿该方向的导数的负值.在直角坐标中ElzEyExEdlxddydzxEyEzEVeexVeeyVee,,z场强在各坐标轴上的投影等于电势对各坐标的偏导数的负值.\n电势梯度场强与电势的微分关系E电场力的功电势能的减小0qV12V+lq0qEl()2VV1cosElqVlElVVlEl0q得EdlqV+VdVdl0q同理,在非均匀场的微区域中0qEdVcosEqdllEdldVdV得lEdVdl0q+lEdVdl电场中某点的场强在任一方向上的投影等于电势沿该方向的导数的负值.在直角坐标中ElzEyExEdlxddydzxEyEzEVeexVeeyVee,,z场强在各坐标轴上的投影等于电势对各坐标的导数的负值.电场中某点的场强在任一方向上的投影等于电势沿该方向的导数的负值.在直角坐标中ElzEyExEdlxddydzxEyEzEVeexVeeyVee,,z场强在各坐标轴上的投影等于电势对各坐标的偏导数的负值.lEdVdlzEyExE+Ekji+gradVVVVeexVeeyVeez()i+j+k,grad梯度梯度算符VeexVeeyVeez()i+j+kgradV称直角坐标中的电势梯度（矢量）eexeeyeez()i+j+k电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值.V0处E0V0处E未必为零E0处V未必为零注意\n由V求E例题已知分布,应用场强与电势的微分关系求分布EV解法提要：EIVdrdIeIIEIIVdrdIIIEVdrdIIIdrddrddrd()+1Qpe0412QR2R10()R1r()+1Qpe0412QR2rpe04r21Q()rR1R2pe04rQ1+2Q2Q1Qpe04r2+()rR2例E1QVr()IIIIII2QR1OR2两均匀带电同心球面已知求r()VVIVIIIIIV()+1Qpe0412QR2R1()+1Qpe0412QR2rpe04rQ1+2Q()R1r()rR1R2()rR2r\n导体与电介质静电场中的电介质与导体第七章conductoranddieletricinelectrostaticfieldchapter7\n本章内容本章内容Contentschapter7interactionofelectrostaticfieldwithconductor电容capacity静电场与介质的相互作用interactionofelectrostaticfieldwithdielectric介质中的高斯定理Gausstheoremindielectric电场的能量energyofelectricfield电场与导体的相互作用\n导体静电感应静电场与导体的相互作用静电场与导体的相互作用ssss7-1interactionofelectrostaticfieldwithconductor++++++一、导体的静电平衡导体内有大量自由电子.自由电子在导体内作不停的热运动若导体无外加电荷或受外电场作用自由电子分布均匀导体整体不显电性若施以外电场E0自由电子定向漂移电荷重新分布导体两端出现等量异号电荷称为静电感应静电感应所产生的感生电荷产生一个附加电场EE导体内合电场为+EE0EE++++++++++E0EE静电场与导体的相互作用静电场与导体的相互作用\n导体静电平衡静电场与导体的相互作用静电场与导体的相互作用导体内有大量自由电子.一、导体的静电平衡若施以外电场E0自由电子定向漂移电荷重新分布导体两端出现等量异号电荷称为静电感应静电感应所产生的感生电荷产生一个附加电场EE导体内合电场为+EE0EE导体内合电场为+EE0EE静电平衡+EE0EE0导体达到导体内合电场当E0EE时自由电子停止定向漂移自由电子不断漂移附加电场不断增大++++++++++E0EE++++++E0\n静电平衡条件导体达到静电平衡的条件是导体内部的场强处处为零导体表面的场强处处垂直于导体表面导体内E0不论导体的内部或表面,均无电子作定向运动此时导体的整体成为等势体表面等势面成为\n实心导体二、静电平衡时导体上的电荷分布实心导体s因静电平衡时E0导体内处处在导体内任意区域作高斯面sefEdss0则qiS故0导体内部处处无凈电荷凈电荷只能分布于其外表面根据导体的静电平衡条件及静电场的高斯定理E0导体内efEdsqiSe01s讨论三类典型情况和等势性质\n空腔无荷导体腔内无电荷的空腔导体s面表内面表外efEdss0则qiS0因静电平衡时E0导体内处处故作高斯面s在导体内包围空腔s面上处处E0得可能可能内表面无电荷内表面有等量异号电荷腔内无电荷的空腔导体其电荷只能分布在导体的外表面成立()s+++与静电平衡时导体为等势体相矛盾排除此可能性()\n空腔有荷导体腔内有电荷的空腔导体Q设导体原已带有电量q空腔内电荷的电量efEdss0则因静电平衡时E0导体内处处作高斯面s在导体内包围空腔故s面上处处E0qiS0得空腔内电荷电量q导体内表面分布的电量q加因本系统的导体中电荷守恒导体外表面分布的电量为+Qq+qsqq++++++++++++++++++QqQ\n静电屏蔽三、静电屏蔽利用封闭导体壳隔离静电场的影响封闭导体壳不论是否接地,内部电场不受壳外电荷影响接地封闭导体壳外部电场,不受壳内电荷的影响++++++q腔内位置变化无影响q腔内电量变化有影响若不接地++++\n平衡导体近场四、静电平衡状态下导体表面附进的场强不论自身是否带电不论外部电荷的电场如何复杂一旦静电平衡E内在导体内处处为零一切电荷的合场强在导体外E于表面附近处处与表面垂直++某导体++++++++++++++必有e0Es0E内E若此时导体表面某处的电荷面密度为贴近该处表面的外部场强大小为EsEs\n近场公式证明四、静电平衡状态下导体表面附进的场强不论自身是否带电不论外部电荷的电场如何复杂一旦静电平衡E内在导体内处处为零一切电荷的合场强在导体外E于表面附近处处与表面垂直某导体0E内E若此时导体表面某处的电荷面密度为贴近该处表面的外部场强大小为Es必有e0Es证明作一圆柱形微薄高斯面ssE母线平行于表面电场E两底面分别处在导体内、外设两底面积均为s由高斯定理E1qiSdsse0efEss+s0+01e0側面电通量导体内的底面电通量e0Es得ssss\n凡例例已知求金属球带电qA同心金属球壳带电QBABO1R1R2R2R3R3RB的内外表面电量AB间的电势差A与接触静电平衡后又如何B++++++++++++++++++++++++++++++++qqqQ+Erq2e0p4AABB解法提要：1R1R2R2RrdABUrq2e0p4EABld()qe0p41R1R2R2R11AB接触静电平衡后成等势体ABU0只在外表面有电荷,电量仍为BqQ+\n电容ssss7-2capacity电容一、孤立导体的电容某导体若离其它导体及带电体足够远孤立导体称之为某孤立导体球R0孤立导体的电容定义：CVq即导体为单位电势时所带的电量只与导体的形状和大小有关若使其带电量为q则其电势为qVpe04R但比值qVpe04R1只与球的大小有关任何孤立导体都有类似的电学性质以无穷远为电势零点,,电容\n孤立导体电容电容一、孤立导体的电容某导体若离其它导体及带电体足够远孤立导体称之为某孤立导体球R0孤立导体的电容定义：CVq即导体为单位电势时所带的电量只与导体的形状和大小有关若使其带电量为q则其电势为qVpe04R但比值qVpe04R1只与球的大小有关任何孤立导体都有类似的电学性质以无穷远为电势零点,,孤立导体的电容定义：CVq即导体为单位电势时所带的电量只与导体的形状和大小有关电容的单位法拉（F）1法拉（F）=1库仑（C）/1伏特（V）,m1微法（F）=10法拉（F）6m1皮法（F）=10微法（F）6P,若将地球看作半径R=6.3710m的孤立导体球6地球的电容=7.0810（F）4C地球=708（F）m\n电容器电容二、电容器的电容电容器的电容定义：CqAVBV两导体面积很大相距很近,电荷集中分布于两导体相对的表面,电场线集中在两导体间的狭窄区域,电势差受外界AVBV影响很小,有利于保持电容值的稳定.C通常,两个相距很近的导体构成的组合都可称为电容器.设当电容器中两导体A、B分别带等值异号电量和时,两导体间的电势差为qqAVBV\n平行板电容器例平行板电容器的电容各极板带电量qss两极板间场强大小Ee0s在真空中,两极板间电势差VAVBElABde0sd真空中平行板电容器的电容qAVBVC0e0sd正比于反比于sddsABssEVAVB各极板电荷面密度各极板电荷分布面积d2s()导体极板\n圆柱形电容器例圆柱形电容器的电容ARBRABVBL0VALBRrq共轴导体薄圆筒AB分别带电量q单位长度上各圆筒带电量大小lqL间的电势差VAVBElABdABdARBR2pe0lrr2pe0llnBRAR真空中圆柱形电容器的电容qAVBVC02pe0LlnBRAR()正比于反比于LlnBRAR()间离轴处的场强大小rE2pe0lr应用高斯定理心算易知：AB\n电介质ssss7-3静电场与电介质的相互作用interactionofelectrostaticfieldwithdielectric电介质（电绝缘体）一、即使在外电场作用电介质中的电子受所属原子的原子核很强的束缚,无自由电荷的宏观运动.沿电场方向相对于原子核作一微观位移,下也只能无外场作用条件下,从分子的线度看电介质的电结构,可将电介质分成两类无极分子电介质有极分子电介质分子的正、负电荷中心重合分子的正、负电荷中心不重合++如氢、聚丙乙烯、石蜡如水、环氧树脂、陶瓷静电场与电介质的相互作用\n位移极化二、电介质的极化E无外电场时,无极分子介质宏观上不呈电性介质中各无极分子的正、负电荷中心发生相对位移,导致介质与外场垂直的两端面出现正、负束缚电荷,称为电介质的位移极化.位移极化外场使正、负电荷中心发生E等效于一个电偶极子相对位移,+El无极分子设电介质各向同性且均匀qqlp电矩ql电介质的位移极化位移极化l\n转向极化有极分子电介质的转向极化转向极化外场对有极分子的电矩产生E力矩,使有极分子转向.E+qql电矩qlqqEFqEF转向力矩MlFEM有极分子等效于llqq电矩ql+一个电偶极子pppE使得无极分子介质宏观上不呈电性介质中各有极分子受转动力矩作用,其电矩端面出现正、负束缚电荷,称为电介质的转向极化.无外电场时,分子热运动趋向方向,导致介质与外场垂直的两E转向极化位移极化Mp\n附加场强无限均匀电介质三、极化后电介质内的场强电介质极化的两端面上出现束缚电荷无论位移极化或转向极化,其宏观效果同样导致OE真空真空EOEEE束缚电荷产生的附加场强E（与反向）OE介质内的合场强EOEE比真空时弱,但不为零.与导体静电平衡截然不同.\n相对电容率为保持不变qqq真空qq将它充满某种电介质后实验电容器两极板间所加的电压分别为OUUOUU和且OUUer1er比值与电介质性质有关,称为相对电容率或相对介电常数由电容器电容qCUqOUererOUqerOC的普遍定义得C（充满均匀介质）er是OC（真空）时的倍.er具有普遍性.结论：四、电介质对电容器电容的影响\n束缚电荷密度例已知充满均匀ds0s0erss导体极板上的自由电荷面密度s0不变电介质求电介质的束缚面电荷密度s解法提要其中E0自由电荷的场强大小束缚电荷的场强大小Es0e0se0反向()E合场强大小E0E()s0se0U两极板电势差真空时充满后,erOUE0dEd由于均匀介质出现束缚电荷的两个端面,分别与导体电极的等势面一致,则OUUer由得E0dEder即EerE0()s0se0s0e0ers(1)1ers0得\n例题求场强、电势分布解法提要：0E()r2pe04Qerr2pe04QrR()rR2r(R2)r(R)场强分布例已知QO2R2RRR球体导带电壳球质介心同rerrP电势分布以无穷远为电势零点V()r8er()R2R8dr2pe04Qerr2pe04Qrdr2Rpe0QR11r(R)2rr2R8dr2pe04Qerr2pe04Qrdr2R4pe0Q(er1erR)12R1R()rR2rr82pe04Qrdr4pe0Qr(R2)\n电介质的击穿五、电介质的击穿若电介质所处的电场非常强,介质中的电子有可能脱离原子核的束缚,并碰击分子,使其电离,引起自由电子倍增效应,介质失去极化特性,变成导电体,称为电介质的击穿.电介质的击穿电介质击穿的场强,称为击穿场强.击穿场强电介质相对电容率击穿场强1Vkmm()er1.00053.54.55.76.83.77.55.07.65.010316146208020010201015空气（标准状态）纸变压器油陶瓷云母电木玻璃\n介质高斯定理ssss7-4Gausstheoremindielectric电介质中的静电场高斯定理高斯定理运用真空中qSisEds1e0结合本题s内电荷代数和()ss0s由前例知s(11)ers0带入后得：sEds1e0s0ser1e0erSq0i表示面所包围的s自由电荷电量的带数和一、电位移矢量D或sdsEe0erSq0i令DEe0ereE自由电荷面密度s0s0s0ssssser充满均匀束缚面电荷密度s高斯面导体内0E介质内合场E电介质中的静电场高斯定理\n电位移矢量D介质高斯定理电介质中的高斯定理高斯定理运用真空中qSisEds1e0结合本题s内电荷代数和()ss0s由前例知s(11)ers0带入后得：sEds1e0s0ser1e0erSq0i表示面所包围的s自由电荷电量的带数和一、电位移矢量D或sdsEe0erSq0i令DEe0ereE自由电荷面密度s0s0s0ssssser充满均匀束缚面电荷密度s高斯面导体内0E介质内合场EsdsEe0erSq0i令DEe0ereE称为电位移矢量简称电位移其中e0ere称为介质的电容率电介质中的高斯定理写成sSq0iDfdsD穿过任一高斯面s的电位移通量Dfs面内自由电荷的代数和是一个辅助量,可避开计算束缚电荷.DD的单位为库仑米()C2m2\n介质高斯例一OU求空隙中0E,D0介质中ED,两极板间U例已知真空时充电电压OUberer插入介质板后切断电源d极板面积sssssD0D0s高斯面ssssDs高斯面解法提要极板带自由电荷电量00qCU0s()e0dU0自由电荷面密度Os0qse0U0desSq0iDfdsDEDee0er空隙中sD0OssD0Ose0U0d0Ee0erD0eD0er空隙1U0derU0E()dbEbU0d()dberU0dbU0d(1b11(介质中sDOssDOse0U0dEe0erDeDerU0der介质1\n介质高斯例二例sSq0iDfdsDe0ereEDe应用介质中的高斯定理高斯面s高斯面sQO球体导带电壳球质介心同RR2R2Rre1121rerr11P1P1解法提要P1P1高斯面s高斯面sp42r1D1Q：p4QD12r1由D1Ee11e0e1er1e0p4Q得D1e1E1er12r1高斯面s高斯面s22P22Prr2222P：高斯面s高斯面s22p422rDQ2p4QD2r22由DEe222e0eer22得eE222De0p4Q2rer22求P1P1P22P点的ED和1U2E2E1rdrd2R1U2r12R2rQp4e0er112()r112R1er1(12r2R1)\n介质环路定理电介质中的静电场环路定理无论自由电荷还是束缚电荷所产生的静电场都是保守场,若电介质中分布的场强是自由电荷和束缚电荷的合场强ELE0ld在电介质中沿任一闭合回路,电场强度的环流为零.\n电场能量ssss7-5电场的能量energyofelectricfield电容器充电过程qqUq某时刻极板带电q两板电势差Uqdqdq此时要充入外力（电源）需作功dqAdUqdqCq充电过程结束极板带电Q两板电势差U充电全过程外力所作的功0AAdQCqdq2Q2C电容器的电容愈大、充电电压愈高,电容器储存的能量就愈多.等于电容器充电后储存的能量We2Q2CU2C2QCU2QUQQU电场的能量\n电场能量密度QQU电容器充电后储存的能量We2Q2CU2C2QCU2QU可用场量表达We21(ree0E2)sdVsd电场分布体积忽略边沿效应0CreCree0()sdUEd21(ree0E2)VWe电场能量电场能量密度wWeeV21ree0E2电场中存在于e0erED21DE21D2e0erds极板面积Ere有电场的地方必有电场能量.非匀强电场中某点的电场能量密度,用该点的和代入上式计算.Ere\n推广reEVdV若在各向同性均匀电介质中非匀强电场的空间变化规律已知reE电场能量密度we21ree0E2则的空间分布为dV某点处的体积元含电场能量为WedwedVV体积内含电场能量为VWedwedVWeVdV21ree0E2\n电场能量例题例已知Q球体导带电壳球心同导体带电不rrrrddRRbaer1Oer1求该带电系统的电场能量解法提要：用高斯定理易求出场强沿径向分布E()r0Q2pe04rbr(R)a；rbr(R)a；r薄球壳的体积Vdp42rdr储能WedwedV21ree0E2()p42rdr()代入整理得E()rWed0br(R)a；rbr(R)a；rQ2dr2pe0r8系统的电场能量WeWedRaQ2dr2pe0r8b8Q2dr2pe0r8Q2pe08(Rab)111\n随堂小议请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图金属球A与同心球壳B组成电容器,球A带电荷q球壳B带电荷Q,测得球与球壳的电势差为,则电容器的电容值为OABQq结束选择q+QVABQVABqVABq+Q2VAB（1）（3）（2）（4）\n小议链接1请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图金属球A与同心球壳B组成电容器,球A带电荷q球壳B带电荷Q,测得球与球壳的电势差为,则电容器的电容值为OABQq结束选择8+QVABQVAB8VAB8+Q2VAB（1）（3）（2）（4）\n请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图金属球A与同心球壳B组成电容器,球A带电荷q球壳B带电荷Q,测得球与球壳的电势差为,则电容器的电容值为OABQq结束选择8+QVABQVAB8VAB8+Q2VAB（1）（3）（2）（4）小议链接2\n小议链接3请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图金属球A与同心球壳B组成电容器,球A带电荷q球壳B带电荷Q,测得球与球壳的电势差为,则电容器的电容值为OABQq结束选择8+QVABQVAB8VAB8+Q2VAB（1）（3）（2）（4）\n小议链接4请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图金属球A与同心球壳B组成电容器,球A带电荷q球壳B带电荷Q,测得球与球壳的电势差为,则电容器的电容值为OABQq结束选择8+QVABQVAB8VAB8+Q2VAB（1）（3）（2）（4）\n恒定电场恒定电场恒定电场第八章steadyelectricfieldchapter8\n本章内容本章内容Contentschapter8恒定电流与电动势电流密度currentdensitysteadycurrentandelectromotiveforce\n引言引言导体静电平衡OE内等势体AB+AB自由电子定向漂移直流电路中的金属导体ABVV非等势体习惯上用正电荷从高电势向低电势移动的方向定为电流的流向sI时间通过截面tsq的电量为电流强度Iqt若导体不均匀,怎样描述其中的电流分布情况？在电流恒定的导体中,存在什么样的电场？导体的电势差是靠什么力产生和维持的？\n第一节电流密度电流密度ssss8.1currentdensityqIIdIdPOjOj运动方向的运动方向的单位矢量单位矢量nn单位矢量单位矢量法线的dsds法线的0ds0dsIdId垂直通过的面元垂直通过的面元dsds任意面元任意面元定义点处的电流密度矢量Pj0dsIdOj大小：j0dsIdqcosdsId方向：Oj方向通过某面积的电流强度sdsIsIdsjqcossjdsIdqcosdsjjds电流密度\n例题例已知I均匀铜线.end2mm76A电子电量绝对值1.61019C单位体积中含自由电子个数8.41028m3求j电流密度大小；自由电子定向漂移速率平均值v解法提要d241sjIIp()224210A.m2vIsnejneIvens因则qt1.8104ms以后将会知道,电源一旦接通,作用于自由电荷的电场是以光速传播的,但自由电子的定向漂移速率是非常小的.甚至比其热运动平均速率（约10）小得多.5ms\n微分式欧姆定律微分形式的欧姆定律jj0dsIdId0ds0dsjjdldl0ds0dsVVdVE电流密度分布电流密度分布任取一段微流管任取一段微流管微流管中导体的电阻率为r微流管中导体的电阻率为r对微流管中的导体应用欧姆定律（I=U/R）V0dsdIlr()VdV()ddI0dsr1()dVldj称电导率r1gEEjg得Ejg矢量式称微分形式的欧姆定律与使自由电子作j定向漂移的有何关系？电场E\n定律浅释Ejg的微观机理浅释载流金属导体中的自由电子同时参与两种运动无规热运动E引起的定向漂移vi热各向大小概率均等,矢量统计平均值为零ia漂FmemE设与晶格某两次碰撞相隔的时间为ti该段时间中平均速度vi漂ia漂ti2emE2ti晶格（原子核与各内层电子组成的振动原子实）Evi热ia漂em,第个自由电子i\n续6Ejg的微观机理浅释载流金属导体中的自由电子同时参与两种运动无规热运动E引起的定向漂移vi热各向大小概率均等,矢量统计平均值为零ia漂FmemE设与晶格某两次碰撞相隔的时间为ti该段时间中平均速度vi漂ia漂ti2emE2ti晶格（原子核与各内层电子组成的振动原子实）Evi热ia漂em,第个自由电子i该电子的合速度vivi热vi漂vi热emE2ti0每单位体积中有个,产生电流密度njvieSn()1vi热E2em2tiSne1Sn1nntiSn1))平均时间t得jEem2t2n()gEjg的单位：西门子（S）欧姆米（）或m1W1111\n第二节恒定电流恒定电流与电动势ssss8.2steadycurrentandelectromotiveforce一、电流的连续性方程n任意封闭曲面s法线一致向外jjjj每秒从内向外流出的电荷量sdQtdjIssds内的电荷每秒减少量dQtdi电流的连续性方程：jssddQtdi电荷守恒dQtddQtdi恒定电流与电动势\n恒定电流二、恒定电流电路中各点电流密度的方向和大小都不随时间变化的电流,称为恒定电流（又称稳恒电流）j不随时间变化ssdj0即任意时刻,流进任意封闭面的电量,与流出该封闭面的电量相等这是恒定电流的条件若导体载的是恒定电流,导体内各处的电荷分布,不随时间变化,任意封闭面内的电量不随时间变化,dQtdi0（动平衡）\n恒定电场三、恒定电场恒定电场是存在于恒定电流通过的导体内部和导体外部的电场.恒定电场的的空间分布不随时间变化dOEllssjdOgEj导体内部的恒定电场与电流密度分布j存在下述主要性质及相互关系E\n性质比较恒定电场与静电场的异同同dEllO宏观电荷空间分布电场分布E不随时间变化ssdEe0iSq满足满足可引入电势概念恒定电场静电场异jOjOOE导体内V常量OE导体内V常量维持电场需耗能维持电场不需耗能\n随堂练习一铜棒长2m,两端电压50mv,设铜棒电阻率随堂练习电流密度j已知求r1.6×10–8Ωm欲求j,宜先用欧姆定律求电阻.设棒横截面积为S,解法提要lrRSIU电流RrlSU电阻j电流密度ISrlU1.6×10–8×250×10–31.56×106A·m-2\n例d++例已知导电橡胶电阻率rU外加电压求解法提要：导电橡胶总电阻drRdRR12Rrr2pdr2pdln2RR1总电流IURr处的电流密度jIr2pdUrrln()2RR1rR12R处的电流密度大小恒定场强大小处的恒定场强rgEjjrUrln()2RR1rrrdrd2R2R1R1R++\n电动势四、电动势1、只靠静电力不能维持恒定电流Oit电流时间独立的带电电容器只在静电力作用下通过外路放电放电电流不能维持恒定\n非静电力AB电源2、要有外来非静电力才能维持恒定电流eF静电力eFFKq电源中：单位正电荷受的非静电力单位正电荷受的静电力qFKEKeqFEe电源与外路接通,处于正常工作状态时EK为常数EeEK且,A、B间保持恒定的电势差,电路中的电流保持稳定.外来非静电力FK（如电解液与极板物质的化学作用）\n电源的电动势3、电源的电动势电动势描述电源中非静电力做功的本领（反映电源将其它形式的能转变成电能的本领）.+AB+qEKFKFKq电源化学电池（化学作用）光电池（光电效应）发电机（磁场对运动电荷的作用）等定义：电源的电动势B()A()内路EKdl非静电力将单位正电荷从负极经电源内部移到正极所做的功\n续153、电源的电动势电动势描述电源中非静电力做功的本领（反映电源将其它形式的能转变成电能的本领）.+AB+qEKFKFKq电源化学电池（化学作用）光电池（光电效应）发电机（磁场对运动电荷的作用）等定义：电源的电动势B()A()内路EKdl非静电力将单位正电荷从负极经电源内部移到正极所做的功电动势是标量.习惯规定经电源内由负极指向正极为正.电源电动势大小由电源本身性质决定,与外电路无关.几种化学电池的电动势名称电动势（伏）铁镍蓄电池1.11.4~1.2镍氢化物可充干电池蓄电池锌银1.5干电池锌锰蓄电池铅锂锰电池3.03.65锂亚硫酰氯电池镍镉蓄电池1.21.51.6~1.92.0~\n续16描述电源中非静电力做功的本领（反映电源将其它形式的能转变成电能的本领）.+AB+qEKFKFKq电源化学电池（化学作用）光电池（光电效应）发电机（磁场对运动电荷的作用）等定义：电源的电动势B()A()内路EKdl非静电力将单位正电荷从负极经电源内部移到正极所做的功电动势是标量.习惯规定经电源内由负极指向正极为正.电源电动势大小由电源本身性质决定,与外电路无关.几种化学电池的电动势名称电动势（伏）铁镍蓄电池1.11.4~1.2镍氢化物可充干电池蓄电池锌银1.5干电池锌锰蓄电池铅锂锰电池3.03.65锂亚硫酰氯电池镍镉蓄电池1.21.51.6~1.92.0~3、电源的电动势电动势若在一闭合回路上到处连续分布着某种形式的电源的非静电力作用（无法区分内路或外路）,则电源电动势用闭合回路积分概念定义.sNvll绕闭合回路移动一周\n随堂小议（2）将单位正电荷从电源内部的正极移动到负极时静电场力做的功（3）将单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电场力做的功（4）以上说法都不是（1）电源两端的电势差；关于电动势的概念,下列说法正确的是请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议结束选择\n小议链接1（2）将单位正电荷从电源内部的正极移动到负极时静电场力做的功（3）将单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电场力做的功（4）以上说法都不是（1）电源两端的电势差；关于电动势的概念,下列说法正确的是请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议结束选择\n链接2（2）将单位正电荷从电源内部的正极移动到负极时静电场力做的功（3）将单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电场力做的功（4）以上说法都不是（1）电源两端的电势差；关于电动势的概念,下列说法正确的是请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议结束选择\n链接3（2）将单位正电荷从电源内部的正极移动到负极时静电场力做的功（3）将单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电场力做的功（4）以上说法都不是（1）电源两端的电势差；关于电动势的概念,下列说法正确的是请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议结束选择\n链接4（2）将单位正电荷从电源内部的正极移动到负极时静电场力做的功（3）将单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电场力做的功（4）以上说法都不是（1）电源两端的电势差；关于电动势的概念,下列说法正确的是请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议结束选择\n磁场对电流的作用NSIIactionofmagneticfieldonthecurrentChapter10磁场对电流的作用第十章\n本章内容本章内容Contentschapter10磁场对电流元的作用actionofmagneticfieldonthecurrentelement磁场对截流线圈的作用actionofmagneticfieldwithcurrentloop洛伦兹力与霍耳效应LorenzforceandHalleffect带电粒子在电场和磁场中的运动movementofchargedparticleinelectricandmagneticfield\n第一节ssss10.1磁场对电流元的作用actionofmagneticfieldonthecurrentelement\n安培定律磁场对电流元的作用安培定律电流元Ild在磁场中B（安培力）受的作用力Fd大小sinqBIldFd矢量式FdIldB长度为的载流导线在磁场中受的安培力ldFlFlIldB若载流导线各电流元受力同向,合力大小Fl0sinqBIldBqldIFd\n例一例求下图载流直导线所受的安培力lBIq均匀磁场F解法提要dFlFl0sinqBIldl0sinqBIldsinqlBI方向当或时,q0p当时,2pqF0F极大,FmaxlBI\n例二RBI匀强IO例求下图半圆电流所受的安培力YXadaldXFdFdyFd解法提要dFsinqBIld任一电流元均与正交Bqp2dFBIldXFddFcosasinadFFdyldRdaXFlXFddFcosaBIldcosa0RdaBIcosa0p0FyldFBIld0daRBI0pFdysinasinasina2RBIF方向沿Y轴正向2RBI故,合力Fy\n载流导线间的作用载流导线间的相互作用\n续5（动）II载流导线间的相互作用\n续6（动）II载流导线间的相互作用\n两无限长直电流作用IBFdFdaldldBIB=pmO2IaFd=IldB无限长载流直导线Fdld=pmO2Ia21m1A1A令4mO=107pA2可导出mONNm1072=Fdld1\n第二节ssss10.2磁场对截流线圈的作用actionofmagneticfieldwithcurrentloop\n磁场对载流线圈作用磁场对载流线圈的作用nBnInInInI\n续9abFcdFIl1BFadFbcI2lBsinp2IB2lsinp2Il1B载流线圈受磁力矩MFbcl1BsinqIB2ll1sinqIssinqMPmB或其中载流线圈的磁矩PmIsn侧视图nabcdabFcdFFbcFadBIaqIIIl12l俯视图cdFadFbcBaqaqnd载流线圈的单位法线\n稳定、非稳定平衡M外2q01M外M磁nBcd非稳定平衡nB与反向M磁nB与同向Bncd稳定平衡\n例三例求下图载流线圈所受的安培力及对Y轴的磁力矩解法提要dFBIldsinaFdFIRBsinada0p2ldRdaIRB0p2sinada0BIXRaxodaFdBYdlIa匀强MIBssinq载流线圈法线与正交nBqp2,线圈面积spR2得载流线圈所受磁力矩MIBpR2\n磁力的功BFIabcdIIl磁力的功磁力的功FA=FaaIaalBIBrs===rFIabIF\n磁力矩的功rF-末B通量初B通量FabcdFabcd)IabcdabcdnnMBIIIIn磁力矩的功MA=IrF产生一角位移M载流线圈受磁力矩作用\n第三节ssss10.3洛伦兹力与霍耳效应LorenzforceandHalleffect\n洛仑兹力洛仑兹力=FBvqqsinBvF=q大小+qqFvBvFBFvBBFvFvBFBvBvBvFvqBFvBq\n电场中的载流子正负载流子在电场作用下的运动方向+-IIv+v\n霍耳效应霍耳效应+-II+vF0+霍耳电压++++++------B\n续17+-II0+霍耳电压++++++------B+-IIFB0+霍耳电压++++++------v霍耳效应------+Fv\n霍耳效应测磁场利用霍耳效应测恒定磁场BV霍耳元件探头保护罩\n测载流子密度霍耳电压RHIB1V2VdRH霍耳系数nq1p型半导体(空穴导电)型半导体(电子导电)n0RHRH0载流子数密度n+-IB++++++霍耳效应I0+霍耳电压+-IIBF0+霍耳电压v++++++------++++++------+Fvddnnqq1V2V011221V2V0\n周期BFFvv+qqmmBvF=q洛仑兹力Rmv2=向心力2pB=qm周期T=2pRvB=qRmv半径半径与周期\n质谱仪B质谱仪原理++++++++++++++++++++++++离子源v+++++质谱仪原理B=qRmv半径Bvq若为常量Rm8++\n偏转++运动带电粒子在磁场中的偏转++++v偏转B\n螺线BBv+v\n续24+vvvBqBvvqv带电粒子在磁场中的螺旋运动\n螺距+vvvBqh螺距hB=mcosq2pvT=vqRqmvRsin半径=v=mmBqqBq\n例四BqlL1yYX2yq=RqmvB+vqy=?tgq=lR22l++y=1y2y=RR22lLtgq+\n磁约束BFIIvBBFF+磁约束(磁镜效应)磁约束F\n磁流体发电负载++-+++---+BEk2AE1Ad建立电动势的非静电力为洛仑兹力=FBqv非静电力场Ek=Fq=Bv电动势e=Ekd=Bvd磁流体发电原理\nAMS磁谱仪a用磁谱仪(AMS)探测反氦核+中子质子反质子电子反电子反中子nn反氦核nn氦核++nn\n续32nn++nn+B质子反质子电子反电子反氦核氦核+nn++nna用磁谱仪(AMS)探测反氦核同上同上\n续33+nn++nna用磁谱仪(AMS)探测反氦核同上nn++nn+B俯视B永磁体闪烁体(记录粒子进出状况)六层硅探测器(记录粒子电量,速度,轨迹等)反氦核(产生磁场)B\n第四节ssss10.4带电粒子在电场和磁场中的运动movementofchargedparticleinelectricandmagneticfield\n电磁合力++++E+qqeFeFBmFmFqv+qv++++EB+qvqvmFeFmFeF合力(矢量式)eF=qEqmFv=BmFaeF=mF=+qEvB()=+\n速度选择器速度选择器++++EBv离子源q若Fe=mFqE=qvB即=vBE的粒子被选择FemF\n磁场与介质相互作用第十一章第十一章磁场与介质的相互作用interactionofmagneticfieldandsubstancechapter11\n本章内容本章内容Contentschapter11磁介质的磁化magnetizationofmagneticmedium磁介质中的安培环路定理Amperecircuitaltheoreminmagneticmedium铁磁质ferromagnetic\n第一节ssss11.1磁介质的磁化magnetizationofmagneticmedium\n介质的磁化、磁导率+BBB0B0真空中的磁场介质被磁化后所产生的附加磁场真空中的磁场介质内的合磁场介质的相对磁导率mr0BB介质的磁化及相对磁导率磁介质\n磁介质的分类铜铝铁顺磁质抗磁质铁磁质mr1且~~1~~1且mrmr11磁介质的分类及举例1+101-10-5~~~~~~105-4\n顺磁质磁化微观机制B0真空中的磁场介质的分子磁矩(分子中的电子自旋和绕核运动形成的电子磁矩的矢量和)B无外场,磁矩随机取向,相互抵消.顺磁质的磁化微观机制0B0BB施加,顺磁质的与同向.,\n抗磁质磁化微观机制B0真空中的磁场抗磁质的磁化微观机制B抗磁质的电子磁矩矢量和近乎零.(顺磁质亦有此效应,其影响相对较小).0B0BB施加,引起感应分子电流(无阻),所形成的与反向.\n磁化电流B0表面形成磁化电流磁化电流与磁化电流密度l磁化电流IssjIsl磁化电流密度内部分子电流抵消\n第二节ssss11.2磁介质中的安培环路定理Amperecircuitaltheoreminmagneticmedium\n磁介质安培环路定理mr(剖面)磁介质中的安培环路定理BL回路的环流:iBhdl0mISiL(0mSiSiIci)i+sIr0PLmr介磁质载流螺线环N匝s导线中的传导电流Ic介质表面的磁化电流I?能有更方便的表达吗\n续7磁介质中的安培环路定理(续)r0PLmr介磁质载流螺线环N匝BL回路的环流:iBhdl0mISiL(0mSiSiIci)i+sI?能有更方便的表达吗其中Bp2rBhdlL0BmrB,,SiIciIcN0Bm0IcNp2r,.得BhdlLm0mrSiIcimSiIcihdlLBmSiIci即令HBmH,称磁场强度()Am-1hhdlLHSiIci磁介质中的安培环路定理BHmm0mrm,\n例题IImr1mr2例题两长直载流同轴薄导体圆筒筒间填满两层磁介质B求介质内的分布R1LrOR2RIp2rldHp2r0HcoshdlHLp2r0H00ld应用介质中的安培环路定理Hp2rI0mB12mr1mr2介质内介质内m1Hmr1p2rIBm2H0mmr2p2rI得r()1RRr()RR2\n磁介质中的高斯定理磁介质中的高斯定理磁介质sB任意封闭曲面sdh0Bs通过磁介质磁场中任一封闭曲面的磁通量均应等于零.\n第三节ssss11.3铁磁质ferromagnetic\n铁磁质的磁滞现象铁磁质磁化的磁滞现象动画示意IBH铁磁质霍耳器件探头螺线环0-+高斯计测B电流计测IHI()80-+饱和剩磁矫顽力\n磁滞回线HOBsB饱和磁感应强度剩磁BrHc矫顽力磁滞回线IBH铁磁质霍耳器件探头螺线环0高斯计测B+电流计测IH8I()0+实验电路简图\n常见的铁磁材料三类常见的铁磁材料及其磁滞回线形态HBOHBOHBO软磁材料硬磁材料矩磁材料矫顽力小,易充退磁.如纯铁硅钢等.用于电机变压器继电器等的铁芯.矫顽力大,剩磁也大.如锰镁铁氧体等用于电磁仪表扬声器等的永久磁铁.剩磁值接近饱和值.如碳钢钡铁氧体等.两剩磁态可控翻转,用于计算机儲存元件.\n铁磁质磁化微观机制用金相显微镜观察到抛光钢材样品表面上铁粉在磁畴边界上聚集.铁磁质的磁化微观机制磁畴铁磁质的自发磁化小区域(由电子自旋磁矩引起)用偏振光显微镜观察到的石榴石单晶磁性薄膜的迷宫式磁畴.\n续14铁磁质的磁化微观机制（续）H0HHHH各磁畴磁化方向混乱,整体不显磁性.畴壁运动磁畴的自发磁化方向与外场方向相同或相近的磁畴体积扩大,反之缩小.磁畴壁发生运动.磁畴转向磁畴的自发磁化方向转向外场方向.饱和全部磁畴方向均转向外场方向.磁滞现象及剩磁,是因磁化时磁畴相互摩擦发热,使过程不可逆.\n铁磁质的居里点铁磁质的居里点铁磁质被加热达到某一临界温度时,便会失去自己的特性而成为顺磁质.这一临界温度称为居里点cT.2413690K钆钴铁鎳114K31K23K()C1140769C853C02C\n电磁感应N电磁感应第十二章chapter12electromagneticinduction\n本章内容本章内容Contentschapter12电磁感应的基本定律fundamentalLawofelectromagneticinduction动生电动势与感生电动势motionalelectromotiveforceandinducedelectromotiveforceselfinductionandmultualinduction自感与互感energyofmagneticfield磁场的能量\n第一节ssss12.1电磁感应的基本定律fundamentalLawofelectromagneticinduction\n电磁感应现象不论采用什么方法,只要使通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化,则回路中便有电流产生.这种现象称为电磁感应,这种电流称为感应电流.法拉第MichaelFaraday17911867~1831年法拉第发现电磁感应现象\n楞次定律电磁感应的基本定律楞次定律感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化.导体环BNSi感应电流i产生的磁通反抗回路原磁通的增大.v使回路原磁通增大常识:\n续3楞次定律感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化.BNSBNSBNSi感应电流i产生的磁通反抗回路原磁通的变小.常识:导体环v使回路原磁通变小电磁感应的基本定律\n法拉第电磁感应定律常识:楞次定律感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化.常规:1.用右手螺旋法则任意假设回路的绕向和法向.n否则为负.并以此推断磁通变化的正负.dF3.感应电流与已设回路同绕向时为正,否则为负.iBF2.与顺向(即一致或夹角小于90)时,磁通为正,n按此常规,楞次定律所反映的规律为:与的正负恒相反.idF法拉第电磁感应定律不论什么原因使通过回路的磁通量发生变化,回路中均有感应电动势产生,其大小与通过该回路的磁通量随时间的变化率成正比.dtFd数学表达式：idtFd感应电动势负号是楞次定律的数学表达.（即感应电动势Fd的正负总是与磁通量变化率的正负相反.dti这是因为感应电流与的正负恒相反,而又与同向的缘故).iFdii电磁感应的基本定律\n感应电流与感应电量N匝纯电阻回路中的感应电动势感应电流感应电量iiIiqyN()iddFtddFNtdtdyFN称磁链iIiRR1ydtd与有关大小无关ydtd与y21iqtdttiIR1yd21yy21R1y()y与有关ydtd大小无关与y\n例1BaN匝s面积a2aR总电阻w转动角速0t线圈平面BAiq21t到t期间通过线圈的sinNBswwtyidtdNtBwcoss()tddR1NBscos()wt12coswtiqR1it1t2tdR1NBsw1t2tsinwttditA时线圈的某一时刻\n思考两种情况线圈中都将会有感应电流.为什么?其流向如何?关键是如何计算某时刻t线圈的磁通量和此瞬间的磁通量变化率?两种情况都可用来求线圈的感应电动势吗?iFdtd只要导体回路的磁通量发生变化就会产生感应电流.ab求解方法如下:思考a()I1lBv恒定2lt0单匝线圈x0()tBt()It0.01静止1l2lb)(单匝线圈x0当然可以.但需要有一点微积分知识.\n例2微分公式dlnuuud2ldxx0+vt+x0+vtI2xpm0.l1I2pm0l1()ln()2lx0+vt+lnx0+vtiFdtdvvI2pm0l12lx0+vt+x0+vtvI2pm0l1x0+vt12lx0+vt+1某时刻t线圈的磁通量F此时线圈的总感应电动势ia()IB恒定t00x01l2lv1l2lv1l2lvsdFFdB.0xx1dslxI2xpm0BXvtdd设回路顺时针绕向,法线与B同向.此结果得正值,表示与原设回路绕向相同.i\n例3()tBt()It0.01静止1l2lb)(x0某时刻t线圈的磁通量FxXxdI2xpm0B1dslxd0sdFFdB.此时线圈的总感应电动势iiFdtd2lx0+x0dx.I2pm0l1xt()Ipm0l12ln2lx0+x0t()m0l1p2ln2lx0+x0dIt()dtl10.01m0p2ln2lx0+x0设回路顺时针绕向,法线与B同向.此结果得负值,表示与原设回路绕向相反.i\n从现象到原因不论什么原因使通过回路的磁通量发生变化回路中均产生感应电动势其大小iFdtd8对电磁感应现象的进一步分析和理解:有哪些原因?不是回路怎么办?对非回路如何考虑磁通量及其变化?是由什么力(量)产生的?存在于回路或导体的什么地方?\n第二节ssss12.2动生电动势与感生电动势motionalelectromotiveforceandinducedelectromotiveforce\n动生电动势cdB动生电动势磁场不随时间变化,仅由导体或导体回路在磁场中运动所产生的感应电动势称为动生电动势.vababvl设回路反时针绕向(法线与B同向)FBlcos0xBlxdxBliFdtdtdBlvabOXx此式的含义:动生电动势存在于运动导体ab段.负号表示本题动生电动势的方向与原设的方向相反,由ab\n洛仑兹力解释B()+()-电源电源电动势+-是将单位正电荷从极经电源内部运送到极时,非静电力所做顾回的功.单位正电荷在磁场中运动受的洛仑兹力Fqqv()BqvBEkv+qF洛仑兹力(属非静电力)l动生电动势的大小i动生lEk()vBdldll动生电动势的方向为运动导线中的F+vB方向.(即)在运动导线上的投影矢量\n例4B60i动生()vBldlldlcos()vBsinvB()vBdl已知:ablB,,,,vBvab与v夹角60l90vBsin()dlcos30设积分路线由到ab0vBl23i动生与原设同向.i动生()vBldl的应用vabl()vBdl30若设积分路线由到ba则l90vBsin()dlcos1050vBl23动生与原设反向.结果一致.i150\n例5B用解iFdtdwLpLs2q2pL2q2Bi动生()vBldl用解sOqabiFdtdFBsL2q2BL22B1qddtL22B1w设绕向OabO,法线与同向.BOi与原设反向,由到Ob,svw()vBbOlLdldi动生()vBdli动生()vBldllwvBdlBdl21LBw0ldlBwL20i动生与原设同向,由到Ob设积分路线由到Ob,\n例6a()IB恒定t00x01l2lv1l2lvi动生()vBldl用解最初的一道题0I2xpm0BXvt()vB均垂直向上和cbad边的i动生0取和bacd边的dl与()vB同向()v2pl1x0+vtIm0ba:i动生vB()xl1a2l()v2pIm0l1x0+vt+cd:vB()xl1i动生d在该回路中好比两个反向串联的电源.解iFdtd用与原来的结果一致.回路感应电动势ii动生i动生v2pIm0l1x0+vt2lx0+vt+111l2lvabcd()vB\n例7思考:怎样用i动生()vBldl解下面两种情况:IIvLr0vLq()vBdli动生di动生()q90cosqrdIm02pr()qvIm02ptg0rtv0rtvcosqLrrd提示()vBdli动生d提示Im02pr()rdi动生vIm02pr0Lr0rrdld()vB0r0r()vB0tvrcosqLldldcosqrd\n感生电动势感生电动势感生电场处于静止状态的导体或导体回路,由于磁场变化而产生的感应电动势称为感生电动势.甲乙均静止均有感生电动势原因?B()t0Bddt磁场随时间变化,即\n感生电场(本图以圆柱匀磁场分布,且为例)0BddtEB称感生电场或涡旋电场随时间变化的磁场能在其周围激发起一种电场,它能对处于其中的带电粒子施以力的作用,这种电场称为感生电场.麦克斯韦的重要假设B()t0BddtEB设想磁场内有一回路面积为LsBdsiLdlEBdtFdssdtdBdsdtd这是计算感生电动势的普遍公式.sLEB是产生感生电动势的非静电力.EB线是闭合曲线EB场是非保守场不同于静电场\n例8一种简单而基本的场分布EB的长圆柱型均匀磁场激发的场.EB0BddtEBB()tORr结合法拉第电磁感应定律,并取回路围绕面积的法线与给定的B同向.EBdl若EBdl同向dFdtEBdFdt,EBdFdt2pr2pr1RrBF2prEBddtB,2rrRBF2pR,EB2r2RddtBOrREB0Bddt0Bddt两图中的反向.EBEB方向EBBBEB\n例9ab上各点的大小不同方向各异,应投影积分.EB2积分元处的大小xdEBEBdtBdrlEBORabBhdtBd0xdOXq求棒上的感生电动势abrqi全棒abEBxdcosl2l22dtBdrqxdhrdtBd12lR2()2l2方向:ab若全棒在磁场外ab处,且中垂距已知hEB2r2RddtB应换成代入再解新的积分il2l22r22Rhxd()h2x2+ddtB2Rarctg()ddtBl2hhab\n例10lORabBhdtBd0Ocd上题也可用解iFdtd提示:B因空间均匀BFsiFdtdsdtdB关键:设计回路,让非待求边沿半径方向,EB恒与垂直,感生电动势为零.正确判断回路中有磁场存在的面积ss:三角形abOab:棒回路abOaab棒:回路abOacds:扇形Ohab\n例11一回路同时存在动生电动势感生电动势的算例0wtcosIIIwtcos0I早已算过回路近边距导线为时的xFIpm0l12ln2lx+x本题xvt动生因素感生因素2li动()FdtdI不求导Ipm0l12dtdln2l+vtvt()pm0l120wtcosI()vt2l+t+ii动i感同学们自己整理.tv2ll1vOxXl12pm0i感()Fdtd不求导xdtdln2lx+xIsinl12pm00Iwwtln2l+vtvt\n第三节ssss12.3自感与互感selfinductionandmultualinduction\n自感自感电动势IN匝磁介质LyIFNy磁链与所通电流的大小有关.与线圈结构因素有关(匝数,形状,大小,芯材性质等)I比例系数LyI称自感系数或自感即一安培电流通过自身回路的磁链自感自感电动势LLyddtdtdILddtLI若回路不变0LLdtdIL自感电动势L大小8dtdI且I增时L与反向I;I减则同向.dtdILL故L又可定义为:大小等于当电流变化为一单位时回路中产生的自感电动势.增大HL的单位:亨利()bWVs1H1.A11..A1y\n例12管内BBmr0m0mrnImNlINFsBmlIs单匝磁通量2ymNFNsIl整线圈磁链V2nmlLmsyI2N线圈自感系数提高线圈自感系数的三种途径:用高磁导率芯材;线绕密度高;增大体积.sml密绕N匝假设IsV管体积匝密度Nlnl自感系数的计算L\n例13dr0m0x0lXdxIIsdxdl12B面元处ds2+B1BB()xIm0+d12p1xdFBdsBdsxdl()Im0+2px1d1xl长度为宽度为两导线之间净空的面积的磁通量,FdFlIm02pxd()+x1d1x0r0rdlIm0pnl0rd0rLFIl单位长度的自感m0pnl0rd0r\n互感互感互感电动势21y122穿1的磁链y121穿2的磁链若两线圈结构位置介质条件不变.M1212My12y12I1I2理论和实验证明两比例系数相等M1212MMM称互感系数或互感I1I2My12I2I1y12My12I2,My12I1M在数值上等于其中任一线圈的电流为一个单位时通过另一线圈的磁链.\n互感电动势21y12y12I1I2dtddtddtd21dtd21My12I2,My12I112ydtd212112ydtdMdtdI1dtdI2MM21tddI121dtdI2M在数值上等于其中任一线圈的电流变化为一个单位时在另一线圈中产生的互感电动势的大小.互感M的单位也是亨利(H)互感互感电动势\n例14假设I1slm21,,N1N2MmVn2y21I1mN1N2ls1nslV由产生并通过线圈的磁链为2y21N2sB1mN1N2lsI1I1mI1B1n1mlI1N1I1在中产生的为1B互感系数的计算M\n例15abd21无限长直导线单匝矩形线圈求,之间的互感系数12M假设I(求法早已学过)由产生并通过的磁通量为I2abdFI2pm0ln+dMFIabd2pm0ln+d\n例162ORrOdI()0sinwtjI+RrdR1求12,互感M2的互感电动势BO处m03IR22()R2+d22内,近似均匀B2sF2Bpm03IR22()R2+d22r2MF2Ipm032()R2+d22R2r2~~m02pR2r23dcosMdtIdm02pR2r23d()wtj0I+w\n第四节ssss12.4磁场的能量energyofmagneticfield\n磁场能量磁场能量LRLKdqdtILdIdtLdt瞬间反抗AddqLIdtLLIdI作的元功AAd0I0LIdI21L0I2作的总功L反抗充磁毕,达恒定I0I充磁过程转换为螺线管中的磁场能量Wm即WmA21L0I2\n续32长直螺线管Vm,Ln2BmnI0()Wm21mVn2Bmn2B2m2VBH,WmA21L0I2式可用场量表述:wmWmVB2m2BmHBm221H21H磁能密度WmwmV解算非均匀分布问题:引入概念,可非均匀磁场中某体积元的磁能dWmwmdV体积内的磁能dVVWmdWmVwmdV\n例17lIm1RrId+rr2R2R1Rrd+rr求同轴电缆单位长度的磁能B分布非均匀但轴对称Vd取管状体积元p2rdrlmBVd内视为均匀Bp2rIwVd内储磁能dWmmVd2Bp2rdrl4mlpI2drrm2该电缆在长度上储的磁能lWmldWm1R2R4mlpI2drln4mlpI22R1Rr单位长度的磁能WmlWmlln4mpI22R1R\n电磁场的基本方程JamesClerkMaxwell1831-1879麦克斯韦青年时代的电磁场的基本方程第十三章electromagneticfieldbasicequationsofchapter13\n本章内容本章内容Contentschapter13位移电流displacementcurrent麦克斯韦方程的积分形式integralformofMaxwellequations\n第一节位移电流ssss13.1displacementcurrent\n引言K引言恒定磁场的安培环路定理在电容器充(放)电情况中遇到的问题麦克斯韦研究产生这种矛盾的原因,提出了位移电流假说全电流安培环路定理s封闭l周界非封闭s1非封闭s1非封闭s10ldHl2s对两极板间中断IcIcIc++++qq2s非封闭分割公共周界线ldHlIc对s1导线上有变化的传导电流Ic\n位移电流+IcjcqqIcFDD++IcjcDqFDqIc++qFDDjcqIcIc麦克斯韦称电位移通量对时间的变化率FDtdd为位移电流FDtddId及eDtejd为位移电流密度传导电流Icqtdd电路中传导电流密度jc则FDtddqtdd电场中也具有电流量纲与等量值,并IcDsFDds高斯定理2sqDds对封闭面用ss12ssl位移电流\n全电流全电流传导电流位移电流全电流+IdIcsI+sdsjd+sjcdssjcds+eDtesds注意:位移电流仅由变化的电场所引起,它既可沿导体传播,也可脱离导体在真空中传播,并且不产生焦耳热.传导电流则由运动的电荷产生,在导体中传播时会产生焦耳热.\n全电流安培环路定理全电流安培环路定理对恒定和非恒定情况均适用.例如,前述电容器充电的非恒定情况:s1对0ldHlIc+Ic2s对FDtddId0ldHl+((IcldHlIdIcsI+sjcds+eDtesds全电流安培环路定理(全电流定理)Ic0在的空间ldlHeDtesds磁场变化的电场予示产生的规律.并定理表明传导电流位移电流都能产生,磁场\n例题Ic0两极板间ldlHeDtesdsD设均匀,柱形分布半径R则在处产生的磁场大小为rHpeDteR2eDtepr22pHr()rR()rRrR0HHeDteR22rHeDte2rDH0RrlDH+++++eDte0充电过程思考ldlHeDtesds注意该式右方无负号.应如何判断的方向?H\n第二节ssss13.2麦克斯韦方程的积分形式integralformofMaxwellequations\n麦氏方程组积分形式Hldl()+jcDdstees-EldldseBste磁场电场环路定理Bdss0rVddssVD高斯定理磁场电场麦克斯韦方程组的积分形式含四大方程\n对方程组的解释了解各方程的普遍含义传导电流能产生磁场,变化的电场也能产生磁场.麦克斯韦将恒定磁场的安培环路定理推广为更普遍的全电流安培环路定理.Eldl+Eldl静Eldl涡-dseBste0+Eldl涡Eldl静0推广后的空间任一点+EEE静涡DDD+静涡麦克斯韦认为麦克斯韦方程组的积分形式Bdss0Hldl()+jcDdsteesrVddssVD-EldldseBste电场高斯定理磁场高斯定理电场环路定理磁场环路定理无论是传导电流还是位移电流,它们产生的磁场,其磁感应线都是闭合的.dssD+dssD静dssD涡rVdVSqi0dssD静+0dssD涡\n方程组再现这就是著名的电磁场基本方程:麦克斯韦方程组的积分形式Bdss0Hldl()+jcDdsteesrVddssVD-EldldseBste\n历史意义静电场恒定磁场变化电场变化磁场基本性质相互关系电磁运动普遍规律的精髓经典电磁场理论的基石\n气体分子动理论Ovfv43m2kTe2ppmv22kTv2chapter14statisticallawofthermalmotionofgasmolecular气体分子热运动气体分子热运动的统计规律的统计规律第十四章\n本章内容本章内容Contentschapter14气体压强与温度的统计意义平衡态概率统计平均值equilibriumstate,probabiility,staticalmeanquantitystaticalmeanningofgaspressureandtemperature玻耳兹曼分布律Boltzmanndistribution麦克斯韦速率分布律maxwellspeeddistribution气体分子的平均自由程meanfreepathofgasmolecular\n平衡态一气体系统若不受外界影响（无物质和能量交换）或只受恒定的外力场作用的条件下,气体系统的宏观特性（如温度、压强等）长时间不随时间改变的状态称为平衡态.处于平衡态中的气体,其分子仍不停作热运动,但其总体平均效果不随时间改变,是一种动态平衡.平衡态概率统计平均值ssss14.1\n物态参量不受（或忽略）恒定外力场作用时,平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的；只受恒定外力场作用时,平衡态气体的密度并不均匀.但这两种情况下气体的宏观性质都不随时间变化.本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用外,均忽略恒定外力场的作用.描述平衡态的参量称为物态参量或态参量.如体积、压强、温度等.\n微观与宏观量描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等）.气体的微观量单个气体分子的运动具有偶然性和随机性.气体的宏观量表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等）.大量分子运动的集体表现具有统计规律性.气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现热现象与物质的分子运动密切相关.大量分子的无规则运动称为分子的热运动.\n物态方程物态参量之间所满足的关系式称为物态方程理想气体的物态方程：VpMmRT1标准大气压（1atm)=1.10310Pa5热力学温度T=（摄氏温度t+273.15)注8.31p气体的压强单位：帕P()am3V气体的体积单位：立方米()KT气体的热力学温度单位：开()M气体的质量单位：千克()kgm气体的摩尔质量单位：JmolKR气体常数11摩尔(kgmol)11千克\n续上理想气体的物态方程：VpMmRT对一定量(mol)的气体三者只要给定pVT、、两个就确定了一个平衡态图中的一点pV代表一个平衡态pVOabpaVapbVb若气体受外界影响,某平衡态被破坏,变为非平衡态.物态随时间而变化称为过程.pV图不能表示非平衡态,也不能表示这种非平衡情况下的动态变化过程.\n准静态过程准静态过程若经历非平衡过程后可以过渡到一个新的平衡态,此过程称为弛豫,所需时间称为弛豫时间.若过程进行得充分缓慢,使过程中的某一状态到相邻状态的时间比弛豫时间大得多,则每一中间态都可近似地看作平衡态.这样的过程称为准静态过程.pVOabpaVapbVb准静态过程平衡态平衡态pV图中的过程曲线,都是准静态过程曲线.\n概率概率统计平均值概率在所有可能发生的事件中,某种事件发生可能性（或相对机会）的大小.某事件X出现的概率()pix事件X出现的次数Ni试验总次数N在很多次的试验中概率定义式若可能事件有种n则种可能事件发生的总次数nSNini1试验总次数NNSNini1NN1NN2NNn1p1p2pn各种可能事件的概率之和等于1.称为概率的归一化条件.归一化条件\n概率密度函数等概率假设在气体动理论中经常用到一些等概率假设,如假设处于平衡态的气体,每个分子出现在容器内任何一点处的概率相等；每个分子朝各个方向运动的概率相等（如在直角坐标中,分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等.0Xxdx事件出现在内的概率dxpd()x与的位置和的大小有关xdxf()xpd()xdx称概率密度或概率密度函数x在附近单位间隔内出现的概率()若表示事X的量可连续变化（例如在某些随机因素影响下,多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化）.x概率密度函数若函数f()x的形式已知则pd()xf()xdx\n统计平均值对某量进行次测量,Nx测量值出现次数1xN12xN2……nxNn测量值乘以出现次数1xN1nxNn2xN2……NSixNix的统计平均值xSixNiN1xN1N2xNN…nxN2Nnp1ii1x2xp2…nxpnSxp()fx若值可连续变化则xxxdx连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分.\n气体微观模型气体的压强与温度的统计意义一、理想气体的微观模型气体分子的大小与分子间的平均距离相比可以忽略.分子除碰撞瞬间外,无其它相互作用.碰撞视为完全弹性碰撞.这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型.在压力不太大、温度不太低时,与实际情况附合得很好.ssss14.2\n理想气体压强二、理想气体的压强公式宏观：器壁单位面积所受的压力微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力标准状态下气体的分子数密度n1205的数量级为m3个m7亦即10m3个其数量之多已能很好满足微观统计的要求要考虑分子速度（大小及方向）不同的因素对各种不同速度间隔的分子碰壁冲量求和考虑单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强运用统计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系推导思路\n压强公式推导容器盛同种气体,分子质量,居平衡态m射向器壁面元的某分子束碰壁后反射s（不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化）速度为的某分子弹碰中的动量变化为vicos2mviq2mvix反X向在时间内,入射分子束斜园柱体的体积中速度基本为的分子,都能碰撞器壁一次.tVvi()0其xivVvixtss光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix若气体中速度基本为的分子数密度为vini则该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi\n续上容器盛同种气体,分子质量,居平衡态m射向器壁面元的某分子束碰壁后反射s（不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化）速度为的某分子弹碰中的动量变化为vicos2mviq2mvix反X向在时间内,入射分子束斜园柱体的体积中速度基本为的分子,都能碰撞器壁一次.tVvi()0其xivVvixtss光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix若气体中速度基本为的分子数密度为vini则该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi气体中速度基本为的分子数密度为vini该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向的各组分子求和,其总动量变化为sipSp2mnivix2tsS（负射向分量）此式包含0vix和0vix因平衡态中两者各占一半,故的分子才能与相碰.s0vix的分子.只有p21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为s\n续上s光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix气体中速度基本为的分子数密度为vini该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向的各组分子求和,其总动量变化为sipSp2mnivix2tsS（负射向分量）此式包含0vix和0vix因平衡态中两者各占一半,故的分子才能与相碰.s0vix的分子.只有p21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为sp21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为smntsivix2Snn容器中气体总体的分子数密度vx2的统计平均值vx2mnpts得vx2应用动量定理,分子受器壁作用的平均冲力为F壁对气mnptsvx2器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F\n续上s光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvixp21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为smntsivix2Snn容器中气体总体的分子数密度vx2的统计平均值vx2mnpts得vx2应用动量定理,分子受器壁作用的平均冲力为F壁对气mnptsvx2器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F由于分子向X、Y、Z方向运动概率相等vx2v2v2yz又因vx2v2v2yzv21vx2v2v2yzv23则可推知得气对壁Fmnsv213定义ke2mv21气体分子的平均平动动能为大量p气对壁Fsmnv21332n()2mv2132nke理想气体的压强公式由此推得：\n压强统计意义三、理想气体压强的统计意义定义ke2mv21气体分子的平均平动动能为大量p气对壁Fsmnv21332n()2mv2132nke理想气体的压强公式气体的宏观量压强,是大量气体分子作用于器壁的平均冲力,由微观量的统计平均值和决定.理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律,并非力学定律,只对个别分子而言,气体压强没有意义.nke注：推导过程中的st和在宏观上很小,但在微观上相对于分子的大小和作用时间应当足够大,保证在时间内有大量分子与发生碰撞.ts平衡态中同种气体的分子全同,其出现位置和各向运动概率相等,这已包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡,推导中不必考虑此类碰撞.\n气体温度公式气体温度的统计意义ke2mv21气体分子的平均平动动能物态方程理想气体VpMmRT可用另一形式表达其中MNmmNAmVpRTMmVNRANmmVNnRANkNm分子质量总分子数AN阿伏伽德罗常数n分子数密度k玻耳兹曼常数即pnkT压强公式p32nke理想气体ke32kT理想气体的温度公式1k玻耳兹曼常数AN阿伏伽德罗常数注：6.021.3810231023molJK1\n温度的统计意义ke2mv21气体分子的平均平动动能ke32kT理想气体的温度公式气体温度的统计意义气体的热力学温度与气体分子的平均平动动能成正比.Tke气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧烈程度的量度.气体的温度是大量分子热运动的集体表现,具有统计意义.离开大量分子,温度失去意义.\n凡例解法提要1标准大气压（1atm)=1.10310Pa5例已知某氧器瓶内,氧气的压强p1.00atm温度27Ct视为理想气体,平衡态求氧分子的平均平动动能ke；分子数密度nkekT由32ke1.381023()27+27332J6.211021()由pnke32pn32ke321.1031056.211021252.6610()个m3\n虚设联想解法提要：ke32kT由kekT232216.01019831.310234739.710()K3766()C难以实现太阳表面温度5490C标准状态下（0C,1atm）理想气体的分子平均平动动能分子数密度ke3.53102evn2.921025m3个例已知求一个电子经过1伏特电势差加速后所获的动能为1电子伏特（1ev)=1.6021019J如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,其温度将会有多高？\n玻耳兹曼分布ssss14.3玻耳兹曼分布律Eini分子动能势能和分子数密度0玻耳兹曼能量分布律\n数学表达in=AeEi-kTiE气体分子能量(含动能和势能)ni气体分子数密度T气体热平衡温度k玻耳兹曼常数A待定常数(与温度总分子数分子种类有关)玻耳兹曼能量分布的数学表达式\n麦氏速率分布处于平衡态的气体,其分子沿各向运动的机会均等,这并非意味着每个分子的运动速率完全相同,而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子,在一定条件下所形成的一种热动平衡状态.首先引用一种简明的实验方法,说明气体的分子数按速率分布的客观规律性：麦克斯韦速率分布律,是表示气体处于热平衡时,气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律.麦克斯韦速率分布律ssss14.4\n麦氏速率分布实验实验动态示意vvv麦克斯韦速率分布实验恒温T同分子量m运动速率全同吗?转动圆筒开口记录纸剥离麦氏分布实验重复多次采样后\n速率分布含义分布曲线转换成相对分子数密度按速率的分布OvN总分子数vv+dv速率间隔内的分子数处于到fvdNNdvdvvdN速率分布函数（速率附近单位间隔内的分子数与总分子数之比）v\n速率分布函数快减快增两者相乘2v曲线麦克斯韦速率分布律4em2dNNdvpm23/2T2vTpfv2v（函数）kk若m、T给定,fv2vev2玻耳兹曼常数,函数的形式可概括为kabaev2曲线ba2vev2曲线有单峰,不对称vp速率分布曲线abfvOv速率恒取正v\n归一化条件fvOvv12v速率分布函数的归一化条件2速率在到区间内的分子数与总分子数之比v12vNNNNfvdvv12v若将速率区间扩展至到08fvdv081即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为1速率分布函数的归一化条件称为edNNdvm2vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函数对分子质量为m、热力学温度为T、处于平衡态的气体kk\n最概然速率fvOvvp最概然速率edNNdvm22vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函数与此函数的极大值对应的速率称为最概然速率vpkk1vpm2T41RmTvp8mT或Tmk令fvddv02vev2ddv0即易得vp1因m2T则kabbb\n不同条件比较m（或）mT不同的速率分布曲线的比较O1m2mvvp1p2v相同T1m2mT1OT2vp1p2vvm相同T2T11vpm2T41RmT最概然速率用进行比较k\n平均速率麦克斯韦速率分布律应用举例平均速率（算术平均速率）v()fxxxdx根据某连续变量x的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义.在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念.麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数.1vmTRmTp8068mT或Tmv也有类似pvkvem22vT43/2m2T2vppvfvdv0808vdvkk注意到083e1v()2vdv208v2e2vdv222ababba\n方均根速率方均根速率v2v2（的统计平均值的开平方）v2即作为参与统计平均的连续变量1RmTmT3v2378mT或Tmv也有类似pvk则v2em22vT43/2m2T2vppfvdv0808dvv2v2kk得v2mT3回忆联系2mv21ke32kTk注意到08e2d4p38v2abvvabb\n速率小结三种速率小结最概然速率vp1.41=kT2m=RTm平均速率v1.60=RTm=kTm8p方均根速率1.732v=kTm3RTm=\n特征速率例题例氧气摩尔质量已知m3.20102kgmol1温度t27C处于平衡态求气体分子的vpv和v2解法提要：T27273300（k）483(ms)1394(ms)1447(ms)1vp141RmTv1RmT06v21RmT37\n归一化例题例假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均为正常数,且为已知0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2\n续上概率分布函数应满足归一化条件fv80dv1本题v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3均为正常数,且为已知例假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为fvvc0v0v0v0v0vvc0v,0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2N~0速率在300v区间的粒子数N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得\n随堂小议请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线①（2）曲线②②①f(v)vo结束选择\n小议链接1请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线①（2）曲线②②①f(v)vo结束选择\n小议链接2请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线①（2）曲线②②①f(v)vo结束选择vpmT8\n分子平均动能气体分子的平均动能公式32nkepke32kT理想气体公式压强温度ke2mv21气体分子的平均平动动能只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果如果将原子看成质点,将分子看成是原子的刚性连接体（刚性分子）,则分子的动能除平动动能外,对于双原子分子和多原子分子还有转动动能.分子平均动能的计算,涉及自由度概念：\n自由度自由度确定某物体空间位置所需的独立坐标的数目（）,称为该物体的自由度数.iZxyzXyO单原子分子平动自由度xyz,,i3OabZxyzXyXyZO双原子分子平动自由度xyz,,转动自由度a,b5ijZxyzXyXyZOOab三及多原子分子平动自由度xyz,,转动自由度a,b,j6i\n能量均分定理能量均分定理理想气体,平衡态,分子平均平动动能2mv2132kT1vx2v2v2yzv23因故2mv21x2mv212mv21yz2kT1每个平动自由度的平均平动动能均为2kT1将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的转动能量相等,而且亦均等于2kT1在温度为的平衡态下,气体分子的每一个自由度,都平均地具有的动能.2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）\n分子平均动能能量均分定理理想气体,平衡态,分子平均平动动能2mv2132kT1vx2v2v2yzv23因故2mv21x2mv212mv21yz2kT1每个平动自由度的平均平动动能均为2kT1将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的转动能量相等,而且亦均等于2kT1在温度为的平衡态下,气体分子的每一个自由度,都平均地具有的动能.2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）在温度为的平衡态下,气体分子的每一个自由度,都平均地具有的动能.2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）气体分子的平均动能处于平衡态温度为的理想气体,若将气体分子看作刚性分子,如果分子有个平动自由度,个转动自由度,则trT气体分子的平均动能为ekT21()tr2ikTitre8iT若将分子看作非刚性分子,还要考虑分子的振动动能,按一定的原则确定振动自由度.（略）分子triA2HONC2036532H2OH4333336er\n简例例理想气体处于平衡态时,证明气体分子的平均动能是平均平动动能的倍.ekei3解法提要：kekT2ikTe气体温度的统计意义气体分子平均动能的含义ekei332本题是为了帮助理解与成正比的原因.eT\n理想气体内能理想气体的内能某一定量理想气体的内能组成气体的全部分子的平均动能之和.mol1气体有AN（阿伏伽德罗常数）个分子mol1理想气体的内能分子的平均动能2kTeiEmol1ANeANkT2iRT2iMM理想气体mm质量质量摩尔质量摩尔质量Mmmol理想气体的内能EMmRT2iE8,Mmi,T对给定气体E8T\n内能算例MM理想气体mm质量质量摩尔质量摩尔质量Mmmol理想气体的内能EMmRT2iE8,Mmi,T对给定气体E8T若温度变化T则内能变化EMm2iRT2O例如5m103231.kgmOli在C0时2O分子的平均动能ek2iT()J49.251.382103273.22101761mOlE在C0时2O的内能1mOl2iTR.251.38273.5()J310g050在C0时2O的内能EMRT2im8273.053210325314.8.86()J10\n平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径d气体分子的平均自由程ssss14.4\n碰撞频率气体分子的平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径dlvtZvv为分子的平均速率可联系v16.0RmT进行估算分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率Z碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间t1Z分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程l碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径ddddddddDABCa\n自由程推导分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率Z碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间t1Z分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程l碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径dlvtZvv为分子的平均速率可联系v16.0RmT进行估算lvtZv平均自由程若能找出与的关系,则可求ZvldddddddDABCa质心在半径为、长度为的圆柱体内的分子都会与相碰.设分子的碰撞路径ABCD长度dtvatva先假设其它分子静止s2pd其中称为碰撞截面但其它分子也在运动要作相对速率修正设气体分子数密度n则柱内分子数为nVtn2pdv平均碰撞频率ZnVtn2pdvnsv\n自由程算式lvtZv平均自由程平均碰撞频率Zn2pdvnsv相对速率修正u2v证明略()Zvvn2pd2ns2ln2pd21ns21pTknlTk2pd2pTk2spT恒定l8p1,pl,Z若则\n随堂小议容积变的容器储存有一定量的理想气体,温度为,分子的平均速率为,平均升至4时其分子的平均速率,平均碰撞请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议Tv0T碰撞频率为,平均自由程为lz0当温度T0频率,平均自由程分别为00vzl（1）v=4v0,Z=2Z0,λ=λ0（2）v=2v0,Z=2Z0,λ=λ0结束选择\n小议链接1容积变的容器储存有一定量的理想气体,温度为,分子的平均速率为,平均升至4时其分子的平均速率,平均碰撞请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议Tv0T碰撞频率为,平均自由程为lz0当温度T0频率,平均自由程分别为00vzl（1）v=4v0,Z=2Z0,λ=λ0（2）v=2v0,Z=2Z0,λ=λ0结束选择\n小议链接2容积变的容器储存有一定量的理想气体,温度为,分子的平均速率为,平均升至4时其分子的平均速率,平均碰撞请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议Tv0T碰撞频率为,平均自由程为lz0当温度T0频率,平均自由程分别为00vzl（1）v=4v0,Z=2Z0,λ=λ0（2）v=2v0,Z=2Z0,λ=λ0结束选择\n热力学第一定律热力学第一定律热力学第一定律第十五章第十五章firstlawofthermodynamicschapter15chapter15\n本章内容本章内容Contentschapter15热力学第一定律firstlawofthermodynamicscycleCarnotcycle循环过程卡诺循环热力学第一定律对理想气体的应用applicationoffirstlawofthermodynamicstoidealgas\n第一节引言热力学第一定律热力学第一定律15-1ssssfirstlawofthermodynamics热力学是研究物质世界中有关热现象的宏观理论,它不涉及物质的微观结构,而是将一物质系统中大量粒子看作一个整体,研究系统所表现的各种宏观性质和规律.热力学第一定律是热力学的基本定律,是一个包括热现象在内的能量守恒与转化的定律.热力学第一定律首先涉及到内能功热量的基本概念热力学第一定律热力学第一定律\n内能内能功热量内能功热量一、内能广义上的内能,是指某物体系统由其内部状态所决定的能量.某给定理想气体系统的内能,是组成该气体系统的全部分子的动能之和,其值为,由状态参量E2iRTMm决定,内能,是状态参量的单值函数.ET()ETT真实气体的内能除了其全体分子的动能外还包括分子之间的引力势能.实验证明人,真实气体的内能,是状态参量和（或）的函数,即或.TVpET()EV,pET()E,总之,某给定气体系统的内能.只由该系统的状态所决定,在热力学中内能是一个重要的状态量.\n功二、功AdFld气体压强p活塞面积Sld气体系统体积变化过程所做的功（体积功）元功pVdpSld气体膨胀系统对外做正功Vd0Ad0气体被压缩系统对外做负功Vd0Ad0dAcAbVbaVa与过程有关AOpV体积从变到系统所做的功VaVbApVdVaVbdA沿acb过程的功沿adb过程的功系统通过体积变化实现作功.热力学中的功是与系统始末状态和过程都有关的一种过程量.\n热量三、热量热量是系统与外界仅由于温度不同而传递的能量.系统外界质量M比热c吸收热量dQ温度升高dTdQdcMT若改用摩尔热容C即1mol的物质温度升高1K时所吸收的热量则dQdTCMm的过程中所吸收的热量系统由温度T1变到温度T2QT12TMmTdCQd0Q0Q系统吸收的热量为正若计算结果则表示系统放热.热量必须与过程相联系,只有发生过程才有吸收或放出热量可言.系统从某一状态变到另一状态,若其过程不同,则吸或放的热量也会不同.故热量也是过程量\n实质性质实质内能热量功状态量过程量过程量是构成系统的全部分子的平均能量之和.是系统的宏观有序机械运动与系统内大量分子无规热运动的相互转化过程.是外界物质分子无规热运动与系统内物质分子无规热运动的相互转化过程.内能功热量的国际标准单位都是焦耳（J）\n热力学第一定律Q12EEA在任何一个热力学过程中,系统所吸收的热量等于系统内能的增量与系统对外作功之和.AQ12EE热力学第一定律是包括热现象在内的能量守恒与转化定律的一种表达形式.该定律的另一种通俗表述是：第一类永动机是不可能造成的.第一类永动机是指能不断对外作功而又不需消耗任何形式的能量、或消耗较少的能量却能得到更多的机械功的机器.热力学第一定律热力学第一定律\n微过程表达式热力学第一定律热力学第一定律Q12EEA在任何一个热力学过程中,系统所吸收的热量等于系统内能的增量与系统对外作功之和.AQ12EE热力学第一定律是包括热现象在内的能量守恒与转化定律的一种表达形式.该定律的另一种通俗表述是：第一类永动机是不可能造成的.第一类永动机是指能不断对外作功而又不需消耗任何形式的能量、或消耗较少的能量却能得到更多的机械功的机器.对于一个无限小的过程,热力学第一定律可写成QdAdpdVdEdE式中各量均为代数量,有正有负系统吸收热量,Qd(或Q(为正,放出热量则为负E系统内能增加,d(或(为正,内能减少则为负12EE系统对外作功,d(或(为正,外界对系统作功则为负AA式中各量的单位制必须统一.\n凡例pOV解法提要：QA12EEI过程II过程VaabVb求的过程中,系统内能的变化及对外作的功.从b态回到a态例系统从平衡态a平衡态b,吸收热量500J,对外作功400J；然后从b态回到a态,向外放出热量300J.IIIII过程IEEaQAIIb500400100(J)300200过程IIEaEb()EEab100(J)QAIIII()EEab(100)(J)0外界向系统作功\n第二节等体过程热力学第一定律对理想气体的应用15-2ssssapplicationoffirstlawofthermodynamicstoidealgas等体过程等体过程（又称等容过程）（又称等容过程）理想气体的物态方程VpMmRT系统保持体积不变过程方程VT常量p1pOVaVbaappbQA12EE热力学第一定律dQdEdA0理想气体的内能E2iRTMmdETd2iRMmVdQdETd2iRMmTabTV等等V过程系统吸收的热量为QVVdQ2iRMmbTTa((bEEaC2iRV其中称为定体摩尔热容TVdQdETd2iRMmQVrEMmCVr本式也是计算dErE的普遍式、等体升压过程所吸收的热量全部用于增加系统的内能\n等压过程等压过程等压过程QA12EE热力学第一定律dQdEdA理想气体的物态方程VpMmRT系统保持压强不变过程方程VT常量1ppOVaVapbbaV理想气体的内能E2iRTMmdETdMmCVpdAdVTdRMmdVppdA故TdRMmdpQdEpdATdMmCVTdRMmpdATdRMmpAp((VaVbpQdpQ((abEEp((VaVbMmCV((TaTbRMm((TaTb等压膨胀过程所吸收的热量一部分用于增加系统的内能一部分用于对外界做功常写成pQMmCV((R((TaTbMmCp((TaTb其中CVRCp称为定压摩尔热容\n比热容比定体摩尔热容CV定压摩尔热容CpCVR2i2R2iRR（1mol气体在等体过程中温度升高1K所吸收的热量）（1mol气体在等压过程中温度升高1K所吸收的热量）1MmTddQV理想气体常用式2iRCVpCp1MmTddQ理想气体常用式热力学中还常用到比热容比的概念：定压摩尔热容比热容比g定体摩尔热容CVCpi2Ri理想气体常用式gCpCViR2iRR2（定压、定体两种比热之比或定压、定体两种摩尔热容之比）\n等体等压例题求全过程系统吸收量热、对外作功及内能变化abc例已知O23.20MkgVVcVapppacO()O211mmOl23.0kg02i52185pcpapbVcVaVbpbVbKTb420Abca0Abc1.7510(J)5EEEcaMmCV(TcTb)1.0910(J)5QEAbca2.8410(J)5放热内能减少TaTbpapb等体abAab0TapapbTb262.5(K),bc等压VVbcTbTcTcTbVcVb210(K)AbcMmpV(cVb)R(TcTb)1.7510(J)5外界对系统作功cab解法提要：QAEVpRMmTEMmTCV2iRCV,,\n等温过程00QA12EE热力学第一定律dQdEdA理想气体的内能E2iRTMmdETdMmCVdATpdVdQTMmRTVdVATdATaVbVMmRTVdVMmRTlnbVaVQTVpMmRT等温过程气体吸收的热量全部转化为对外作功.理想气体的物态方程VpMmRT系统保持温度不变T常量VppOVaVbVbaappb等温膨胀过程方程等温过程等温过程\n绝热过程QA12EE热力学第一定律系统不与外界交换热量Q0AQ2E1E()理想气体的内能E2iRTMm2E1E()MmCVT(2T1)2iRMmT(2T1)MmCVT(2T1)gCpCVCVRCVCVg1R理想气体的物态方程VpRMmTT(2T1)RMmVpVp2211VpVp2211(g1(CVMmVpVp2211g1Vp22Vp11g1在绝热过程中全靠消耗系统自身的内能对外作功1mol理想气体绝热功的大小为CV(T2T1)g值也可由气体的值及初末态的值求得VpQA绝热过程绝热过程\n绝热过程方程理想气体的物态方程绝热过程方程对于绝热过程VpRMmTVpT无一恒定过程曲线形态？理想气体准静态绝热过程QA12EE热力学第一定律及dQEdAdAQdEdCVTdpVdMmpRMmVTCV1gRRMmVTVdMm1gRTd两边积分得1g()VdVTTd0即1g()lnVlnT常量C1则TV1g常量C2VpRMmT()1由物态方程消去T得常用的绝热过程方程Vpg常量其它形式常量1TVggTpg1常量\n绝热线绝热线的斜率绝热过程方程Vpg常量1gCpCVKQVp()ddQgpV其中pVpV0((pV,绝热线等温线KQKT绝热线较陡VpQpT等温过程方程等温线的斜率Vp常量KTVp()ddTpVVpQpT故对同一除共同因素外,还因消耗内能,,NTVnkpn,绝热线较陡的物理解释：等温膨胀绝热膨胀不变,导致的因素只是TVTpV使p\n等温绝热例题已知例绝热线等温线pOcVab20pabp3T0Ka02()m31036Pa10)(1mOl2N求AabcAa解法提要：2N5i20.8JmolK2RVC511pgVCCVCVCR1.4绝热过程VTaag1g1TbVbTbTa()VaVbg111.94(K)AabAQmMVC(TbTa(3.7610(J)3等温过程cAaATmMTaRlnVVac5.7410(J)3\n等值及绝热归纳理想气体物态方程VpRMmT热力学第一定律QAEEAQ过程过程方程2p1T常量p1T1pT2V1T常量pT1pT21V2VV常量1p1V22VpV常量g11pVgp22Vg0MmTCVMmTCVMmTCV00MmTCpMmTCVpVMmCTQMmTCVEpVdATTT21E2E1E2iRCVCpCVRgCVCp或MmTR或MmRT1lnV21V1p1VlnV21VMmRT1lnV21V1p1VlnV21V或11pVp22Vg1等体等压等温绝热\n多方过程概念多方过程多方过程理想气体物态方程VpRMmT热力学第一定律QAE等体、等压、等温状态参量pVT分别不变绝热pVT都变但过程量Q0MmCTQ即0或0现在讨论（多方）过程pVT都变Q或()CC的普遍情况为常量（含零及非零）时\n多方过程方程热力学第一定律dQEdAdMmCTdCVTdMmpVd理想气体的物态方程VpRMmTpVdVpdRMmTdMmTdpVdCCV((pdVCCV((RCCV((Vpd0联立消去TdCCV((CCp((dVVppd0令CCV((CCp((（常数）ndVVppd0n两边积分得plnVln常量n得多方过程方程常量Vpn称为多方指数n\n多方热功算式多方过程方程常量VpnnCCV((CCp((称为多方指数pVnVpnVpn1122多方过程系统对外作功ApVdV12VV12VVpn11VnVdVp11Vp22n1MmTR((T12n1内能变化EMm((T1T2CV吸收热量QAEMm((T1T2CMm((T1T2CVMmTR((T12n1等温过程n1常量Vp绝热过程gn常量Vpg等压过程n0CCp等体过程nCCV8CVCCpnn1可写成n可以是非整数,给定一个对应着一个多方过程n等温、绝热、等压、等体过程,是多方过程的特例n1g介于等温与绝热之间的过程1ngn00008080\n随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图,a、b为P-V图中两平衡态的代表点,且pa=pb,则(1)Ea<Eb(2)Aab<0(3)Qab<0(4)以上结论都不对bOpVapa\n小议链接1结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图,a、b为P-V图中两平衡态的代表点,且pa=pb,则(1)Ea<Eb(2)Aab<0(3)Qab<0(4)以上结论都不对bOpVapa\n小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图,a、b为P-V图中两平衡态的代表点,且pa=pb,则(1)Ea<Eb(2)Aab<0(3)Qab<0(4)以上结论都不对bOpVapa\n小议链接3结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图,a、b为P-V图中两平衡态的代表点,且pa=pb,则(1)Ea<Eb(2)Aab<0(3)Qab<0(4)以上结论都不对bOpVapa\n小议链接4结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议如图,a、b为P-V图中两平衡态的代表点,且pa=pb,则(1)Ea<Eb(2)Aab<0(3)Qab<0(4)以上结论都不对bOpVapa\n循环过程15-3ssss循环过程循环过程卡诺循环卡诺循环cycleCarnotcycled将热能不断转变为功的装置称为热机.热机中的工作物质（工质、系统）所进行的热力学过程都是循环过程.循环过程（循环）系统从某一状态出发经历一系列变化后又回到了原态的整个变化过程.pOVaVVcabc循环过程内能变化0E准静态循环过程循环曲线包围面积代表系统作的净功A净顺时针正循环热机A净0系统对外作正功逆时针逆循环致冷机A净0外界对系统作功A净循环过程循环过程\n循环热功转换A1A2dpOVaVVcabc循环过程的热功转换cab吸热膨胀1Q吸收热量对外作功A1dca放热压缩2Q放出热量外界作功A2绝对值1Q2QA吸收的净热量Q1Q2Q对外作的净功A1A2热力学第一定律QAE0E循环过程A净则A1Q2QA\n循环效率aVVcaVVc循环效率致冷系数与pOVpOV1Q2QAacA1Q2Qac热机的循环效率hA1Q工质对外作的净功工质从高温热源吸收的热量12Q1Q1Q1Q2Q工质从低温热源吸收的热量致冷机的致冷系数wA2Q外界对工质作的净功2Q2Q1Q\n卡诺循环A1Q2QpOV卡诺循环卡诺循环卡诺循环两个等温两个绝热过程构成的一种理想循环2Q1Qdcab高温热源T1低温热源2T工质工质1Q1Q2Q2Q\n卡诺循环分析卡诺循环卡诺循环A1Q2QpOV卡诺循环两个等温两个绝热过程构成的一种理想循环2Q1Qdcab高温热源T1低温热源2T工质工质1Q1Q2Q2Q442,()VpT,,()Vp1T11,22,()VpT1,323,()VpT,dacb绝热膨胀过程方程2TT13V2V1g1g绝热压缩过程方程4VV12TT11g1g2VV13V4Vcd等温压缩放热量4V3V2T2QMmRln.ab等温膨胀吸热量T11QMmR2VV1ln2T2QMmRT11QMmln2VV12VV1lnR两式对比得T12T2Q1Q\n卡诺循环效率卡诺循环的效率A1Q2Q高温热源T1低温热源2T工质工质1Q1Q2Q2QpOV2Q1QdcabT12T2Q1QT12ThA1Q2Q1Q1Q11Q2Q回顾循环效率和热机效率的普遍定义h卡11Q2Q1T12T高温热源温度越高,低温热源温度越低,卡诺循环效率就越大.T12T\n卡诺逆循环致冷pOV2Q1QdcabT12TT12T2Q1QA1Q2Q高温热源T1低温热源2T工质工质1Q1Q2Q2Q卡诺逆循环的致冷系数回顾逆循环效率和致冷机致冷系数的普遍定义wA2Q2Q2Q1Qw2Q2Q1Q2TT12T卡致冷系数随着被致冷物体的温度变化而变化.被致冷物体的温度越低,则卡诺逆循环的致冷系数越小.2T\n例题奥托循环2Q吸气绝热压缩点火等体吸热绝热膨胀等体放热排气例应用热机效率的一般概念,导出四冲程火花塞点燃式气油发动机的理想循环（奥托循环）效率bVaV1TbTa1()1gh奥托解法提要：1Q2Qh12Qdacb等体吸热1QVC)(TTcb等体放热VC)(TTdaabcd,均为绝热过程,有1gaVTabVbT1gVT1gdd1gVTcc1Q2Qh1TTdaTTcb1奥托bVaV1TbTa1()1gh奥托bVaV1QpOV两个绝热两个等体过程主体bp0大气压acd\n随堂练习随堂练习1mol已知单原子理想气体循环如图2OpV1312abcd105pa10-3m-3求循环一次的Q1A证明TaTc=TbTd解法提要Q1abbc、为吸热过程Qab+QbccV((TabT+cp((TbTc32R((VpbbaVpaR+((32R+R((VpbbcVpcR800(J)Aab面积Scd((pbapVa((Vd100(J)aTTcapVaRVcpcR,bTTdbpVbRdpVdRapdp因,cpbpVaVb,VcVd故aTTccpVaRVapcRbTTd\n致冷例题A1Q2Q求？例卡诺致冷机使1kg0C的水变成0C的冰,需作多少功？解法提要：2Q2Q1Q2TT12Tw卡10.11kg0C的水变0C的冰需取出热量2Q3.3510513.35105（J）A外界需向致冷机作功2Qw卡3.3210(J)4工质工质低温热源2T0+273=273（K）高温热源T127+273=300(K)环境温度27C冰的溶解热为3.3510Jkg51已知1Q1Q2Q2Q被致冷的0C水变0C的冰\n热力学第二定律热力学第二定律热力学第二定律第十六章thermodynamicssecondlawofchapter16\n本章内容本章内容Contentschapter16热力学第二定律secondlawofthermodynamics熵entropy\n引言引言违背热力学第一定律的过程都不可能发生.不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生.自然过程是按一定方向进行的.高温物体低温物体Q高温物体低温物体Q会自动发生不会自动发生热力学第二定律16-1ssss\n续上热力学第二定律引言违背热力学第一定律的过程都不可能发生.不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生.自然过程是按一定方向进行的.高温物体低温物体Q高温物体低温物体Q会自动发生不会自动发生气体自由膨胀会自动发生气体自动收缩不会自动发生热力学第二定律16-1ssss\n续上热力学第二定律引言违背热力学第一定律的过程都不可能发生.不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生.自然过程是按一定方向进行的.气体自由膨胀会自动发生气体自动收缩不会自动发生功转变成热量会自动发生热量自行转变成功不会自动发生热力学第二定律16-1ssss\n续上热力学第二定律引言违背热力学第一定律的过程都不可能发生.不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生.自然过程是按一定方向进行的.功转变成热量会自动发生热量自行转变成功不会自动发生热量不可能自动地由低温物体传向高温物体.气体的体积不可能自动地等温缩小.热量不可能在不引起其它变化的条件下而全部转变为功.……各种实际过程进行方向的规律性将用热力学第二定律来表述.热力学第二定律16-1ssss\n可逆与不可逆过程可逆过程与不可逆过程可逆过程只是一种理想模型.准静态过程可视为可逆过程.一个热力学系统由某一初态出发,经过某一过程到达末态后,如果还存在另一过程,它能使系统和外界完全复原（即系统回到初态,又同时消除了原过程对外界引起的一切影响）,则原过程称为可逆过程.一个热力学系统由某一初态出发,经过某一过程到达末态后,如果不存在另一过程,它能使系统和外界完全复原,则原过程称为不可逆过程.由于摩擦等耗散因素的实际存在,不可能使系统和外界完全复原.因此有关热现象的实际宏观过程和非准静态过程都是不可逆过程.\n定律的两种表述热力学第二定律的两种表述克劳修斯表述：不可能将热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化（即热量不会自动地从低温物体传到高温物体）.开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量并使它完全变为有用的功而不引起其它变化.外界需对系统作功,就属“其它变化”.此表述说明热传导过程的不可逆性.等温膨胀时系统体积增大亦属“其它变化”.此表述说明功变热过程的不可逆性.2Q1Q1QhA1Q100%h企图制造单一热源且的热机称为第二类永动机.开尔文另一表述为：第二类永动机是不可能造成的.它并不违背热力学第一定律,但违背热力学第二定律.\n表述的等价性热力学第二定律的两种表述是等价的举一个反证例子：假如热量可以自动地从低温热源传向高温热源,就有可能从单一热源吸取热量使之全部变为有用功而不引起其它变化.A1T高温热源低温热源2T假想的自动传热装置卡诺热机Q12Q2Q等价于1T高温热源低温热源2TQ12QQ1AQ1（但实际上是不可能的）\n凡例热力学第二定律不但在两种表述上是等价的,而且它在表明一切与热现象有关的实际宏观过程的不可逆性方面也是等价的.历史上的两种表述只是一种代表性的表述.例解法提要：用热力学第二定律证明绝热线与等温线不能相交于两点A12QOVp等温线绝热线若图上绝热线与等温线相交于两点,pV则可作一个由等温膨胀和绝热压缩准静态过程组成的循环过程.1系统只从单一热源（等温过程中接触的恒定热源）吸热.Q1完成一个循环系统对外作的净功为,并一切恢复原状.AQ1这违背热力学第二定律的开尔文表述,故绝热线与等温线不能相交于两点.\n定律的统计意义热力学第二定律的统计意义热力学第二定律说明热现象的实际宏观过程都是不可逆的.这种不可逆性是分子的微观统计行为的一种表现.取消隔板,气体自由膨胀每一个分子有两种可能的等概率微观分布状态（在A或B）n2以气体的自由膨胀为例隔板AB孤立容器用隔板等分成BA两格B真空四个理想气体分子N4A中：微观上可区分,宏观上不可区分.中：四个可区分的分子出现在A、B两半的可能分布方式,即系统的微观分布状态总数目是各分子微观态数目的乘积nN2461具体分析如下：nnnn即\n续上分子位置的分布分子数的分布（微观态）（宏观态）微观态数目一个宏观态对应的宏观态出现概率ABAB614411/164/164/161/166/16共16种微观态5种宏观态\n续上W某宏观态出现的概率称为该宏观态的微观态数目一个宏观态对应的热力学概率PWNn气体自由膨胀的不可逆性,从统计观点解释就是一个不受外界影响的理想气体系统,其内部所发生的过程总是向着P大（或大）的方向进行的.W四个分子都集中到A（或B）的那种宏观态出现的概率最小.实际热现象中的分子数N很大,1mol气体中N6.021023个,这些分子都自动集中到A（或B）的概率只有6.0210Nn1223110210231~~有人计算过,概率这样小的事件自宇宙存在以来都不会出现.分子位置的分布分子数的分布（微观态）（宏观态）ABAB614411/164/164/161/166/16共16种微观态5种宏观态微观态数目一个宏观态对应的宏观态出现概率\n统计结论对于热传导、功热转换等热现象实际宏观过程的不可逆性,都可以用热力学概率的概念来解释.热力学第二定律的统计意义：一切孤立系统内部所发生的过程,总是由概率小（包含微观态数目少）的宏观态向概率大（包含微观态数目多）的宏观态方向进行的.\n堂上小议（1）可逆过程一定是准静过程；（2）准静过程一定是可逆过程；（3）不可逆过程一定找不到另一个过程使系统和外界完全复原；（4）非准静过程一定是不可逆过程.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案判断下列说法中哪一种是不正确的随堂小议\n小议链接1（1）可逆过程一定是准静过程；（2）准静过程一定是可逆过程；（3）不可逆过程一定找不到另一个过程使系统和外界完全复原；（4）非准静过程一定是不可逆过程.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案判断下列说法中哪一种是不正确的随堂小议\n小议链接2（1）可逆过程一定是准静过程；（2）准静过程一定是可逆过程；（3）不可逆过程一定找不到另一个过程使系统和外界完全复原；（4）非准静过程一定是不可逆过程.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案判断下列说法中哪一种是不正确的随堂小议\n小议链接3（1）可逆过程一定是准静过程；（2）准静过程一定是可逆过程；（3）不可逆过程一定找不到另一个过程使系统和外界完全复原；（4）非准静过程一定是不可逆过程.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案判断下列说法中哪一种是不正确的随堂小议\n（1）可逆过程一定是准静过程；（2）准静过程一定是可逆过程；（3）不可逆过程一定找不到另一个过程使系统和外界完全复原；（4）非准静过程一定是不可逆过程.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案判断下列说法中哪一种是不正确的随堂小议小议链接4\n玻耳兹曼熵公式熵的统计定义式玻耳兹曼公式ksWlnWs系统处于该宏观态时的熵系统处于某一宏观态的热力学概率（即该宏观态所含微观态的数目）k玻耳兹曼常量熵是态函数熵有可加性熵是系统无序性的量度熵的几个重要性质分述如下：熵16-2ssss\n熵的性质ABksWln熵是态函数熵是态函数,其变化只与系统宏观态的变化有关,与具体过程无关.W由系统的宏观态决定,故s因自由膨胀后熵是系统无序性大小的量度自由膨胀前AB可以肯定某分子在A不知某分子在A还是在B比较有序比较无序或无序（混乱）程度小无序（混乱）程度大此宏观态所含微观太数目W少ksWln此宏观态的熵小ksWln此宏观态的熵大此宏观态所含微观太数目W多\n续上ABksWln熵是态函数熵是态函数,其变化只与系统宏观态的变化有关,与具体过程无关.W由系统的宏观态决定,故s因自由膨胀后熵是系统无序性大小的量度自由膨胀前AB熵的性质可以肯定某分子在A不知某分子在A还是在B比较有序比较无序或无序（混乱）程度小无序（混乱）程度大此宏观态所含微观太数目W少ksWln此宏观态的熵小ksWln此宏观态的熵大此宏观态所含微观太数目W多熵是态函数熵是系统无序性大小的量度熵具有可加性若一个系统由两独立事件出现的总概率是这两个事件概率的乘积.因此,两个独立的分系统A、B组成,对于某一宏观态,合系统的热力学概率是两个分系统的热力学概率的乘积,即WWABW.合系统的熵sklnWWABW()klnklnWA+klnBWsA+sB是各分系统的熵之和上述几点性质使熵在许多领域得到广泛应用这种相乘关系在熵的表达式中变为相加关系\n熵增加原理熵增加原理继续深入分析理想气体自由膨胀过程自由膨胀前ABAB自由膨胀后系统特点：气体向真空部分膨胀,整个系统没有对外作功.孤立系统,与外界绝热并且无其它能量和物质交换.绝热△Q=0,无功A=0,膨胀前后理想气体内能不变温度不变0ET0理想气体自由膨胀过程是不可逆过程自由膨胀过程中总是朝着热力学概率大的方向进行,亦即W孤立系统中的不可逆过程,其微过程的熵变Ods朝着熵增加的方向进行的,此过程的熵变sOsr,通常表达为\n等温膨胀推熵变然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准静态过程是可逆过程.孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢？此过程的熵变srklnW1kln2Wkln2WW1可以证明2WW1()VN2V1分子数N（T,V1）宏观态微观态数W1分子数N宏观态（T,V2）微观态数W2理想气体等温膨胀例如：\n续上然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准静态过程是可逆过程.孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢？分子数N（T,V1）宏观态微观态数W1分子数N宏观态（T,V2）微观态数W2理想气体等温膨胀此过程的熵变srklnW1kln2Wkln2WW1可以证明2WW1()VN2V1例如：V1N4将作二等分,V0V12为便于理解假设W12461N()V0V1则再假设膨胀后V23V0即V2V032W3418N()V0V2则可见2WW1N()V0V2N()V0V1N()V2V1V0V0V0V0V0\n续上V0V0V0V0V0此过程的熵变srklnW1kln2Wkln2WW1可以证明2WW1()VN2V1然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准静态过程是可逆过程.孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢？理想气体等温膨胀例如：再假设膨胀后V23V0即V2V032W3418N()V0V2则可见2WW1N()V0V2N()V0V1N()V2V1V1N4将作二等分,V0V12为便于理解假设W12461N()V0V1则分子数N微观态数W1（T,V1）宏观态分子数N宏观态（T,V2）微观态数W2srklnNV2V1则其中kRNA,NMmNA得srMmRlnV2V1\n续上等式两边乘以温度srMmRlnV2V1将上述结果TsrTMmRlnV2V1T这是热力学中讲过的等温可逆过程系统吸收的热量Q故得QsrT若系统在任意微小的等温可逆过程中吸收的热量为Qd则此微过程的熵变sdQdT根据热力学第一定律的微分形式QdE+VdpdsdE+VdpdT是计算热力学过程中熵变的基本公式熵和熵变的单位是焦耳·开–1(J·K–1)\n熵增原理表达式上述从等温可逆过程推出的熵变表达式sdQdT对于其它准静态过程（可逆过程）都成立.如果系统是孤立或绝热系统,则在它所发生的一切Qd0可逆过程中,则sd0将上述可逆和前面讲过的不可逆种情况综合起来表达sd0不可逆过程可逆过程取取熵增加原理孤立（或绝热）系统内部所发生的过程不可逆时,其熵增加；所发生的过程可逆时,其熵不变.对于孤立（或绝热）系统整体,其熵有增无减.可见,熵与能量或动量不同,它不遵守“守恒定理”.至于孤立（或绝热）系统内的个别物体,其熵则可能有增有减.但对于孤立系统整体,其熵只能有增无减.若讨论对象不能看成孤立或绝热系统,其熵并非只能有增无减,例如,不把热源包括在内的理想气体可逆放热过程,其熵值减少.\n熵判据熵判据熵增加原理指出,孤立（或绝热）系统中不可逆过程总是自发地向着熵增加的方向进行的,与热力学第二定律的统计意义完全一致.从熵值的变化可判别过程的方向：熵增加原理是热力学第二定律的熵表达由熵值小的态指向熵值大的态.热平衡的熵判据对于孤立系统内的各种可能状态而言,平衡态的熵最大.也可将熵看成是孤立（或绝热）系统是否接近平衡态的量度：熵值越大,表示系统越接近平衡态.\n熵的计算熵的计算VOpAB可逆过程可逆过程不熵是态函数,系统从某一状态A变化到另一状态B时,不论经历什么过程,其熵的变化相同.只要知道始、末平衡态的状态参量,就可以假设一个可逆过程,根据可逆过程熵变的定义式计算熵变sABsrsdTsABQd对于理想气体QdE+Vdpd\n例一求例质量为M,摩尔质量为m的理想气体由状态（TA,VA）变化到状态（TB,VB）的熵变值.解法提要rsdsTABQd代入后得其中QdCMmV+RMmVVdTdTTQd+EdpVdpVTRMmEdCdMmVT,,rsTABQdATBTMmCVdTT+RMmABVVVVdMmCVlnATBT+RMmlnBVAV\n例二已知求例冰的溶解热为3.35×105J·kg-11kg0℃的冰化成同温度的水的熵变解法提要此过程可看成等温过程T=273.0K全过程吸热Q=1kg×3.35×105J·kg-1=3.35×105J熵变rsQT3.35×105J273.0K1.23×103J·K-1\n波动wavechapter18第十八章波动\n本章内容本章内容Contentschapter18机械波的产生与描述generationanddescriptionofmechanicalwave波的能量声波soundwave波的干涉waveinterference多普勒效应Dopplereffectelectromagneticwave电磁波theenergyofwave\n第一节generationanddescriptionof机械波的产生及描述机械波的产生及描述18-1ssssmechanicalwave振动的传播过程称为波动.机械振动在媒质中的传播过程称为机械波.产生机械波的必要条件：波源作机械振动的物体；媒质能够传播机械振动的弹性媒质.一、机械波的产生波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动,振动相继传播到后面各相邻质点,其振动时间和相位依次落后.波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现,各质点仍在其各自平衡位置附近作振动.机械波的产生及描述机械波的产生及描述\n横波与纵波二、横波与纵波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向在机械波中,横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现.空气中的声波是纵波.液体表面的波动情况较复杂,不是单纯的纵波或横波.\n几何描述三、波的几何描述波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面.波前最前面的波面.平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向.在各向同性媒质中,波线恒与波面垂直.\n波的物理量波传播方向四、描述波动的物理量l波速u周期T波长l振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离.波形移过一个波长所需的时间.频率n周期的倒数.n1T波速u单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度,又称相速.机械波速取决于弹性媒质的物理性质.ulTnl或luT\n平面简谐波平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程由简谐振动的传播所形成的波动.简谐波对于机械波,若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波,则为简谐机械波.简谐波又称余弦波或正弦波,是规律最简单、最基本的波.各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加.一、平面简谐波简谐波的一个重要模型是平面简谐波.平面简谐波的波面是平面,有确定的波长和传播方向,波列足够长,各质点振动的振幅恒定.\n波动方程二、平面简谐波的波动方程XOYu一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿X轴正向传播（正向行波）xPtx如何描述任意时刻、波线上距原点为的任一点的振动规律？P设位于原点处质点的振动方程为Ocos()jyAOwt+已知振动状态以速度沿轴正向传播.对应同一时刻,uXtPtux()振动状态与原点在时刻的振动状态相同.因此,在设定坐标系中,波线上任一点、任意时刻的振动规律为点的cos()yAjwt+ux这就是沿X轴正向传播的平面简谐波动方程.它是时间和空间的双重周期函数.\n续上沿X轴正向传播的平面简谐波动方程cos()yAwtj+uxwT2pn2puTl波动方程常用周期T波长l或频率n的形式表达,由得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)消去波速uT和l1分别具有单位时间和单位长度的含义,分别与时间变量和空间变量组成对应关系.tx1\n波方程意义三、波动方程的物理意义cos()yAwtj+ux若给定,波动方程即为距原点处的质点振动方程xxcos()yAwtj+x2pl距原点处质点振动的初相x若给定,波动方程表示所给定的时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布,即该时刻的波形图.ttcos()yAwtj+x2plXYO\n续上t+rtt+rt若和都是变量,即是和的函数,这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况.可看成是一种动态的波形图.txytxcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)正向波XOY同一时刻,沿X轴正向,波线上各质点的振动相位依次落后.tu波沿X轴正向传播反向波cos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)++YXO同一时刻,沿X轴正向,波线上各质点的振动相位依次超前.tu波沿X轴反向传播\n例一65llu已知例PXOYA2A某正向余弦波时的波形图如下t0则此时点的运动方向,振动相位.PFP解法提要正向波,沿轴正向微移原波形图判断出点此时向下运动.并判断出原点处质点从Y=A向平衡点运动,即初相.PXj0FPwt()xPu+jT)2ptlj+)xPtj0,0,由图可知xP65l代入得FP123p即13p\n例二已知求例wcost+yjPA()P波动方程一平面简谐波以波速沿X轴正向传播.axu位于处的P点的振动方程为YuXOaP解法提要得波动方程ycosAw(t)+jPxB设B点距原点为xP点振动传到B点需时uax即B点时刻的振动状态与P点时刻的振动状态相同ttuaxuaxcosAw(t)+jPaux(w)u\n例三已知求例波动方程y=0.05cosp(5x–100t)(SI)此波是正向还是反向波,并求A、n、T、u及l；x=2m处质点的振动方程及初相；x1=0.2m及x2=0.35m处两质点的振动相位差.x=2m处y0.05cosp(5×2–100t)0.05cos(100pt–10p)初相为–10py0.05cosp(5x–100t)cosa=cos(-a)0.05cos100p(t–)x2020m·s-1u,100pw,0.02sT1n,与比较得Awcos)txj+)uy0.05mA,luT0.4mnw500Hz2p,解法提要而且得知原点（x=0)处质点振动初相j0正向波x1=0.2m处的振动相位比原点处的振动相位落后x2=0.35m处的振动相位比原点处的振动相位落后w1xuw2xu两者的相位差为w()2x1xu100p0.15200.75p\n例四已知例一正向余弦波时刻t波线上两质点振动情况如图求XOYPPxAl0Px10mlPx此时的等于几米波形图解法提要wAcos)tj+)xuy正向余弦波方程AAcoswtj+O质点：AcosF0解得F0p+旋转矢量法判断取F0p质点：P0Acoswt)uPx)j+AcosFP或FP32p2pFP2p3解得旋转矢量法判断取FPF0wPxuwu7.5(m)0Px0Px2.5+l2.5(m)wt)uPx)j+wtj+2plPx2p3pFPF02p2p2p4l的P点位置为u2.57.5YOPA波形图X(m)10ml\n随堂小议（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案以波速u沿X轴逆向传播的简谐波t时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD\n小议链接1（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案以波速u沿X轴逆向传播的简谐波t时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD\n小议链接2（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案以波速u沿X轴逆向传播的简谐波t时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD\n小议链接3（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案以波速u沿X轴逆向传播的简谐波t时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD\n小议链接4（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案以波速u沿X轴逆向传播的简谐波t时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD\n第二节18-2sssstheenergyofwave波的能量波的能量\n波的能量现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速最小v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt在波动中,各体积元产生不同程度的弹性形变,具有弹性势能pEr未起振的体积元各体积元以变化的振动速率上下振动,具有振动动能vEkr理论证明（略）,当媒质中有行波传播时,媒质中一个体积元在作周期性振动的过程中,其弹性势能和振动动能同时增大、同时减小,而且其量值相等,即pErEkr后面我们将直接应用这一结论.pErEkr.波的能量波的能量\n能量密度一、能量密度（单位体积媒质中波的能量）可见,波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量,并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程.振动速度veetysinAww()tux体积元的动能2Ekr21mrv21rVrsinAww()tux222EkrpEr势能Ekr总量能ErpEr+rVrsinAww()tux222设一平面简谐波cosyA()wtux媒质密度rx处取体积元rV,体积元的质量mrrVr在能量密度0limwrVErrVrsinAww()tux222平均能量密度Tt0d1TwwrAw2221w是w在一周期内的时间平均值.单位：焦耳米3（J·m–3）\n续上T1t0dTw该处的能量密度(随时间变化)sinw()tu2rAw22xPwwOtrAw22rAw2221wtTOcosyA()wtux简谐平面波处的振动方程某点xPcosA()wtuxPyP在密度为的均匀媒质中传播rtyPOA借助图线理解w和wT该处的平均能量密度wrAw2221（时间平均值）\n能流、能流密度二、能流和能流密度平均能流一周期内垂直通过某截面积的能量的平均值ssuPw单位：瓦(W)能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流IPswurAw2221u单位：瓦·米-2(W·m–2)振动状态以波速在媒质中传播体积元的能量取决于其振动状态u能量以波速在媒质中传播u能流单位时间垂直通过的某截面积的能量sPwsuus\n例五1.3kg·m-3已知求例一频率为1000Hz波强为3×10-2W·m–2330m·s-1此声波的振幅的声波在空气中传播波速为空气密度为解法提要波强IwurAw2221upn2w则A1pn2I2ru×3×10-21.3×3302000p121.8×10–6(m)因在空气中传播的声波是纵波,此振幅值表示媒质各体积元作振动时,在波线方向上相对于各自平衡位置的最大位移.\n第三节声波18-3ssss声波声波soundwave声波一般意义上的声波,是指能引起人的听觉、在声学中,声波的频率范围包括10-4~1012Hz的机械波.频率在20~20000Hz的机械波.又称声音或声.10-4~20Hz次声20~20000Hz可听声20000~5×108Hz5×108~1012Hz超声特超声频率低,波长长,衰减小.用于探矿、预测风暴、监视地震和核爆炸等.次声与人体器官（如心脏）的振动频率相近,对人体有害.除与人类生活息息相关外,该频段在民用和军用的声呐（声导航与定位）、水下目标测距及识别等亦常使用.频率高,波长短,能量大,穿透力强.在检测、加工处理、医疗等领域有广泛应用.该频段的超声频率,已高到可与电磁波的微波频率相比拟,而具有超声自身的许多优越特性,在固体物理领域中已得到广泛应用.该频段的低端,在现代电子技术、激光技术、信息处理和集成光学等领域有重要的应用.频率高于1012Hz的特超声的波长已可与晶格尺寸相比拟,是研究物质结构的一种重要的新手段.声波声波\n声速声波在理想气体中的传播速度umTgR气体的摩尔质量mg气体的比热容比T气体的温度（K）R气体常量对同种气体、在同一状态下,各种不同频率的声波传播速度相同.标准状态下空气中的声速u29×10-31.4×8.31×273331(m·s–1)常温下（20℃)空气中的声速u344(m·s–1)常温下某些媒质中的声速铅1300海水1510铁5000玻璃6000(m·s–1)媒质声速声速声波在媒质中传播的速度.声速与媒质的特性和媒质的温度有关.\n声强、声强级声强声强级与声强I瓦·米–2(W·m–2)单位：平均能流密度声波的在最佳音频（约1000~4000Hz）条件下I0弱到刚能听闻强到失去听觉只有痛觉称标准声强10-12100（痛阈）（闻阈）(W·m–2)10-6听觉强度范围听觉强度范围甚宽,实用上需要以更方便的单位来表示.声强级L人对声强的主观感觉即响度,用声强级数表示.单位:分贝(dB)LII0lg贝(B)10II0lg分贝(dB)1贝(B)=10分贝(dB),好比1米(m)=10分米(dm).常用分贝(dB)为单位\n附表闻阈10-120痛阈1120伤害人体10130正常呼吸10-1110悄悄话10-1020摇滚乐0.3115电动切草机10-2100重型卡车10-390大声喊叫10-480室内正常谈话3×10-665声音声强(W·m–2)声强级(dB)几种声音的声强及声强级数LII0L10lgII0分贝(dB),()10lg23声强上的倍相当于声强级的分贝23\n噪声噪声噪声有两种意义：1、物理上指不规则的、间歇的或随机的声振动.2、指任何难听的、不和谐的声或干扰.噪声是由不同频率、不同振幅的声音无规则地组合在一起而出现的.广义上说,任何不需要的声音都属噪声；狭义上说,噪声是指大于90dB以上,对人的工作、健康有影响的声音.强烈的噪声（160dB以上）不仅可损坏建筑物,而且还会使发声体本身因疲劳而受到破坏.噪声污染问题引起人们广泛关注.大于90dB的声响,将导致噪声污染.\n随堂小议（1）9.0×10–2w·m-2；（2）2.7×10-3J·s-1.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议一平面简谐波的频率为300Hz.波速为340m·s-1,在截面积为3.0×10-2m2的管内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为2.7×10-2J.则波强（能流密度）为\n小议链接1（1）9.0×10–2w·m-2；（2）2.7×10-3J·s-1.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议一平面简谐波的频率为300Hz.波速为340m·s-1,在截面积为3.0×10-2m2的管内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为2.7×10-2J.则波强（能流密度）为\n小议链接2（1）9.0×10–2w·m-2；（2）2.7×10-3J·s-1.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议一平面简谐波的频率为300Hz.波速为340m·s-1,在截面积为3.0×10-2m2的管内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为2.7×10-2J.则波强（能流密度）为\n第四节18-4ssss波的干涉波的干涉waveinterference\n波的干涉一入射波传播到带有小孔的屏时,不论入射波的波阵面是什么形状,通过小孔时,在小孔的另一侧都产生以小孔作为点波源的前进波,可将其抽象为从小孔处发出的一种次波或子波,其频率与入射波频率相同.一、惠更斯原理波的干涉波的干涉\n惠更斯原理媒质中波动传到的各点,都可以看作能够发射子波的新波源,在这以后的任意时刻,这些子波的包络面就是该时刻的波面.惠更斯原理1Rtus1()+r2Rtuts2Os1s2rut\n波的叠加原理二、波的叠加原理两波在空间某点相遇,相遇处质点的振动是各列波到达该点所引起振动的叠加；相遇后各波仍保持其各自的特性（如频率、波长、振动方向等）,继续沿原方向传播.通常波强不太强的波相遇,满足叠原理,称为线性波.波强强到不满足叠加原理的波,称为非线性波.\n相干波三、波的干涉波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象.若有两个波源振动频率相同振动方向相同振动相位差恒定它们发出的波列在媒质中相遇叠加时,叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差,某些质点的振动始终加强,某些质点的振动始终减弱或完全相消.这种现象称为波的干涉.能产生干涉现象的波称为相干波其波源称为相干波源\n相干振动合成分别引起P点的振动y1A1coswt+(j1)y2A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振动yy1+y2Acos(wt+j)AA12A22A1A2cos2j2j12p++()r2r1ljarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosA2()A1()A()Pr1r2y10A10cos(wt+j1)y20A20cos(wt+j2)两相干波源的振动方程21ss\n合成振幅公式jarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosp21rljwt()+1p2rljwt()+22jr分别引起P点的振动y1A1coswt+(j1)y2A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振动yy1+y2Acos(wt+j)A2()A1()A()Pr1r2y10A10cos(wt+j1)y20A20cos(wt+j2)两相干波源的振动方程21ssAA12A22A1A2cos2++j2j12p()r2r1l故空间每一点的合成振幅A保持恒定.jrP点给定,则恒定.y1y2两振动的相位差\n相长与相消干涉AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l+2pkjrr2r12plj2j1（0,1,2,)k...当时合成振动的振幅最大maxA12A+Ajrr2r12plj2j1当（0,1,2,)k...时+2pk()+1合成振动的振幅最小minA12AA\n波程差表达式AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l若j2j1即两分振动具有相同的初相位则取决于两波源到P点的路程差,称为波程差djr12rrdr2r12pl+2pkjr（0,1,2,)k...当时则合成振动的振幅最大maxA12A+A即d12rr+kl波程差为零或为波长的整数倍时,各质点的振幅最大,干涉相长.r2r12pl+pjr（0,1,2,)k...当时则合成振动的振幅最小即2k()+12d12rr+l2k()+1minA12AA波程差为半波长的奇数倍时,各质点的振幅最小,干涉相消.\n例六求2r在P点发生相消干涉；在P点发生相长干涉.当满足什么条件时已知例两相干波源1s2s同初相,l2m振动方向垂直纸面1r2r1s2sP1s到定点P的距离1r50m,,解法提要（0,1,2,)k...12rr+kl相消干涉12rr2+l2k()+12r+2k()+150（m）相长干涉2s可位于纸面内以P为圆心、以满足下述条件的为半径的一系列圆周上.2r2r2k+50（m）（0,1,2,)k...\n驻波四、驻波波干涉是特定条件下的波叠加,驻波是特定条件下的波干涉.条件：两列相干波振幅相等相向传播发生干涉现象：uAl正向行波uAl反向行波干涉区域中形成的驻波各质点的振幅分布规律恒定形成一种非定向传播的波动现象2AAmaxAmin0l2波腹波节,\n驻波形成图解t=0t=T/8t=T/4t=3T/8t=T/2t=5T/8t=3T/4t=7T/8t=TYOXAXA2OY驻波的形成图解定性分析在同一坐标系XOY中正向波反向波+)驻波1yy2y点击鼠标,观察在一个周期T中不同时刻各波的波形图.每点击一次,T8时间步进正向波cos()Awtj+uxy11反向波cos()2yAwtj+ux2合成驻波y12yy+\n驻波方程为简明起见,j1j20,设改写原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+驻波方程数学描述y12yy+驻波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函数关系ab2coscoscos(a+b(((+cosab(2Acos2pxl(cos2ptn得y驻波方程\n波腹、波节位置为简明起见,j1j20,设改写原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+驻波方程数学描述y12yy+驻波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函数关系ab2coscoscos(a+b(((+cosab得(2Acos2pxl(cos2ptny驻波方程(2Acos2pxl(cos2ptny驻波方程n驻波中各质点均以同一频率作简谐振动.谐振动因子OXY2l2l波节波腹振幅分布因子它的绝对值表示位于坐标x处的振动质点的振幅.即描述振幅沿X轴的分布规律.波腹处振幅最大波节处振幅最小cos2pxl1,cos2pxl0,xk2l+xk21()l4++k12(),...0,,k12(),...0,,\n相位、能量特点同一时刻,相邻两波节之间的各质点的振动相位相同；波节两侧的各质点的振动相位相反.驻波不是振动相位的传播过程,驻波的波形不发生定向传播.驻波的相位特点驻波的能量特点波节体积元不动,动能Ek0其它各质点同时到达最大位移时波腹及其它质点的动能Ek0波节处形变最大势能Ep最大,波腹附近各点速度最大其它各质点同时通过平衡位置时Ek最大波节及其它点无形变Ep0驻波的能量不作定向传播,其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移.\n反、入射产生驻波声源水空气声源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时由入射波与反射波产生驻波“半波损失”与\n半波损失驻波驻波入射波入射波反射波反射波波疏媒质波密媒质XOY由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相同,形成驻波时,总是出现波腹.入射波入射波驻波驻波反射波反射波波密媒质波疏媒质2l2lXYO由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反,即差了,形成驻波时,总是出现波节.p位相差了相当于波程差了,称为p2l“半波损失”.\n弦驻波演示实验L弦长弦的驻波视觉现象示意l变波长调频率改弦的驻波条件2lLm)(m213,,,m1反射器振源振源\n续上弦的驻波条件2lLm)(m213,,,2m反射器振源振源l变波长调频率改L弦长弦的驻波视觉现象示意振源振源\n续上弦的驻波条件2lLm)(m213,,,3m反射器振源振源l变波长调频率改L弦长弦的驻波视觉现象示意振源振源\n例七例已知求入﹑反射波在弦上的在弦的驻波实验中,当振源的振动n频率为时,弦上出现驻波的波腹数目为.m弦长为,L一端接振源,另一端固定,波速波长lu解法提要弦的驻波条件lL2m()m...1,2,l2LmluTunulnn2Lm\n例八已知求例在下图坐标系中,XOY波密m1入射反射Py=0.2cosp(t–4x)入垂直波密界面的入射波反射波方程两波形成的驻波方程m()解法提要由y知入wp,u41m()s,0j1、反射波方程应折算到以O为坐标原点；2、波疏到波密反射波相位有变；p3、反射波相位沿X轴负向依此落后.与y相对照,可直接写出y：入反4x)y=0.2cosp(t反PO2++pu=0.2cospt–8p+4xp+p=0.2cosp(t+4x)+py=入y+反y=0.4cos(4px+)cos(pt+)2p2p=0.4sin4pxsinpt\n随堂小议（1）振动滞后时间、相位和位移；（2）振动滞后相位、时间和位移；（3）振动位移及滞后时间、相位；（4）振动滞后相位、振动位移及振动滞后时间.请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议平面谐波的方程为y=Acosω(t-)ux则ux和分别代表、uxωy结束选择\n小议链接1（1）振动滞后时间、相位和位移；（2）振动滞后相位、时间和位移；（3）振动位移及滞后时间、相位；（4）振动滞后相位、振动位移及振动滞后时间.请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议平面谐波的方程为y=Acosω(t-)ux则ux和分别代表、uxωy结束选择\n小议链接2（1）振动滞后时间、相位和位移；（2）振动滞后相位、时间和位移；（3）振动位移及滞后时间、相位；（4）振动滞后相位、振动位移及振动滞后时间.请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议平面谐波的方程为y=Acosω(t-)ux则ux和分别代表、uxωy结束选择\n小议链接3（1）振动滞后时间、相位和位移；（2）振动滞后相位、时间和位移；（3）振动位移及滞后时间、相位；（4）振动滞后相位、振动位移及振动滞后时间.请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议平面谐波的方程为y=Acosω(t-)ux则ux和分别代表、uxωy结束选择\n小议链接4（1）振动滞后时间、相位和位移；（2）振动滞后相位、时间和位移；（3）振动位移及滞后时间、相位；（4）振动滞后相位、振动位移及振动滞后时间.请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议平面谐波的方程为y=Acosω(t-)ux则ux和分别代表、uxωy结束选择\n第五节18-5ssssDopplereffect多普勒效应多普勒效应\n多普勒效应当观察者与波源之间有相对运动时,观察者所测得的频率不同于波源频率的现象,称为多普勒效应.以机械波为例,在静止媒质中：设观察者和波源在同一直线上运动波源的振动频率（恒定）n波在媒质中的传播速率（取决于媒质的性质,与波源运动无关）uvs观察者相对于媒质的运动速率v波源相对于媒质的运动速率n观察者测得的频率分别讨论下述四种情况观察者所测得的n多普勒效应多普勒效应\n静发静收1.波源和观察者均相对于媒质静止.v0vs0s波源的振动频率n观察者测得的频率nul两个相邻等相位面之间的距离是一个波长lTuun观察者测得的频率,是单位时间内连续通过接收器的等相位面的数目,亦即单位时间内连续通过接收器的完整的波的个数.nnluTuunT1观察者测得的频率就是波源的振动频率.\n静发动收2.波源静止观察者向波源运动.vvs0sul波源的振动频率n观察者测得的频率n观察者每秒接收到的整波数,即观察者测得的频率为nlTuu+vu+vn1()+uv观察者测得的频率是波源的振动频率的倍.1()+uv如果波源静止观察者背离波源运动,观察者测得的频率为nn1()uv\n动发静收2132131323.观察者静止,波源（相对于媒质）向观察者运动.一列等间距的小石子,等时先后落入水中,先看一个普通现象波阵面分布是一系列偏心圆.它们所激起的水波的（点击鼠标）激励的移动方向波面间距较窄波面间距较宽若在空气中有一个振动频率恒定的定向运动声源,它所激起的声波的波阵面分布,则是一系列偏心球面.\n续上v0vssuvsTvsTvsTvsTllll波源的振动频率n3.观察者静止,波源（相对于媒质）向观察者运动.波速取决于媒质的性质,与波源是否运动无关.u波源振动一周,波阵球面向外传播一个波长,波源同时向右移动,lvsT在运动方向上波阵面分布变密,相当于波长变短,其等效值vsTvsTllll.位于右方的观察者每秒接收到的整波数,即观察者测得的频率为nluTulvsTuvsTun()uvsu如果波源以速度离开观察者,观察者测得的频率为nvsn()uvsu+观察者测得的频率n\n动发动收4.观察者和波源同时相对于媒质运动.vvssuvsTvsTllll波源的振动频率n观察者测得的频率n当波源和观察者同时相背运动时nn()uvsu+v这时观察者每秒接收到的整波数,由观察者的运动和波源运动当波源和观察者同时相向运动时nul+vTulvsTvsTu+vu+vn()uvsu+v两种因素同时决定,观察者测得的频率为\n结果归纳vvssnuv0vssun多普勒效应nnnn()uvsu+nn()uvsu+v+（背）（向）()+uvnnuvvs0sunv0vs0snu波源的振动频率n观察者测得的频率n\n例九假设求例若波源静止,观察者向着波源运动；若观察者静止,波源向着观察者运动.波源或观察者的运动速率为u的0.5倍波速上述两种情况下观察者测得的频率是波源频率的几倍解法提要n+vuu波源静止,观察者向着波源运动()v2u当时nnnuu2+11.5观察者静止,波源向着观察者运动()uvsunnvs2u当时nnuu2u2可见,两种情况的效果显然不同.\n冲击波冲击波ssssssstruvstraas马赫锥前面在介绍波源相对于媒质运动所引起的多普勒效应时,讨论了波源速率波速的情况.uvs若,波源就会冲出自身发出的波阵面,在时间内,vsutr它所发出的波的一系列波面的包络是一个圆锥体,称为马赫锥.这种波称为冲击波.1truvstrsinM2avsua马赫锥的顶角满足Mvsu称为马赫数\n声暴高速快艇在其两侧激起的舷波,超音速飞机飞行生成的声波,高速子弹飞行激起的声波等,都属冲击波.冲击波大都由非线性振动引起,如强烈爆炸.冲击波可使媒质的密度、速度和温度急剧变化,并产生高温、高压.声暴当波源的运动速率刚好等于波速时,vsu即,马赫锥的顶角,锥面变为平面.ap波源在各时刻发射的波,几乎与波源自身共处于同一平面,这时冲击波的能量非常集中、强度和破坏力极大,这种现例如,当飞机刚好以声速飞行时,机体所产生的任一振动象称为“声暴”.都将尾随在机体附近,并引起机身的共振,给飞行带来危险.因此,超音速飞机在飞行时都要尽快越过这道音速的屏障.\n第六节电磁波18–6sssselectromagneticwave电磁波\n电磁波基本物理模型振荡电偶极子电磁波的产生与传播+一对作周期性往复运动的正负电荷所形成的电偶极子偶极矩cos0pwtpp0w振幅角频率振荡偶极子辐射电磁波过程示意(步进分解):+p~电磁波电磁波\n产生与传播t0+EE电偶极子的某一对电力线+HEE两电荷相遇,电力线闭合,产生涡旋电场并激发磁场.t4T+2TtHEHE振荡电偶极子完成正半周的振荡+HEHE34tTHEHE正负电荷反向相遇时新产生的涡旋电场绕向与t=T/4时的相反.+2T4tTHEHE变化的电场和变化的磁场相互激发,相互感生,向外传播.+4t0T两电荷相对靠近,电力线相对向外扩展.EE+34tT2T振荡电偶极子进行负半周的振荡HEHE\n过程浏览+EE+EEHEEHH++EEt=0t=T/4过程浏览EEHH+EEHH++HHEEEEHHt=T/2t=3T/4\n振子的近场EH+~+~极轴在子午面(一系列包含极轴的平面)内.E在与赤道面平行的平面内.H振荡电偶极子发射的电磁波\n续上EHOEEHHO+~rr+~振荡电偶极子发射的电磁波在子午面(一系列包含极轴的平面)内.E在与赤道面平行的平面内.H传播方向沿的方向.rEH与相互垂直.EH波场中任一点的+~+~极轴\n电磁波接收超高頻发射机发射天线接收天线E该接收天线与E平行时,感生电动势.eilEdl的绝对值最大\n续上续7超高頻发射机发射天线H接收天线该接收天线(平面线圈)的法线与H平行时,感应电动势eidFdt的绝对值最大\n电磁波方程介质me,电磁波的波动方程EHrqu极轴P~波速P~cos0wtpp0w振幅角频率E和H的波动方程cosprE.mp0w24..sinqw()turHemcospr.p0w24..sinqw()tur波动因子均与rw2成比例EHme实验和理论还证明,波速u1em方向性因子q02qp波幅为零波幅最大p,\n电磁波特性EOEH0电磁波的振幅电磁波的基本特性ru介质em,远离偶极子处视为平面波E.cosw()turE0HH0cosw()turEHr,,相互垂直,且EHr与同向.E与H同相位,且eEmH.真空中me1u000318ms,等于光速C.H\n电磁波能量电磁波的能量电磁场中某点某时刻的电场和磁场总能量密度wwewm+21eE2+mH2)(电磁波特性emEHem1uemEHu1EH)(Jm3回忆相关概念电场能量密度we21eE2磁场能量密度wm21mH2单位时间垂直通过单位面积的电磁辐射能量能流密度.)(Jms2.1或Wm2()swuEHHs称坡印廷矢量sE矢量式sEH波的能流Pwu波的能流密度APAwu波的平均能流密度(波强)PwuIAuT10Twdt简谐平面波一周期平均的能流密度平均能流密度(波强)m2suT10Tdts21EH0021E0\n电磁波谱电磁波谱波长:1041810610210101012101104102410m1041810610210101011610104210281100210频率:Hz红外线紫外线微波无线电波X射线g射线可见光\n电磁波多普勒效应附电磁波的多普勒效应电磁波（包括光波）不需要弹性介质并可在真空中传播.在真空中电磁波的传播速率恒等于,与波源运动状态无关.c因此,电磁波的多普勒效应,只须考虑波源与观察者之间的相对速度.若两者在一直线上运动,其相对运动速率为,v当远小于光速时,v1()+vnnc+相向运动相背运动v当并非远小于光速而需要作相对论修正时,+相向运动相背运动)nn1+vc2)1vc2\n光的干涉光的干涉光的干涉第十九章interferenceoflightchapter19\n本章内容本章内容Contentschapter19相干光光程分波阵面干涉amplitude-splittinginterference迈克耳孙干涉仪coherentlightopticalpathMichelsoninterferometerwavefront-splittinginterference分振幅干涉\n光波光波光矢量vme1OE光振幅光波是电磁波I2Eo同一媒质中的相对光强sEH\n可见光760400630600570500450430蓝红橙黄绿青紫真空中波长(nm)频率(10Hz)147.503.955.004.765.266.006.676.98可见光波段\n常用单色光源632.8656.3486.1589.3546.1氦-氖激光器钠灯汞灯氢灯常用单色光源及波长(nm)\n第一节coherentlightopticalpath相干光光程19-1ssss\n光干涉的必要条件频率相同振动方向相同相位差恒定P原子自发辐射的间断性和相位随机性,不利于干涉条件的实现.光干涉的必要条件相干光光程\n相干光来自的光为s12s相干光(满足光干涉条件)来自的光为s12s非相干光(不满足光干涉条件)无干涉现象有干涉现象s12s相干光与非相干光s12s\n光程媒质真空光程光程差与相位差oln1n1lncnvllnlvcnlnlLln相当于在真空中走多少路程？Lln光程\n光程差与相位差SACLlSBCLl1++3lnl+2l4l)光程+l1+3lnl()12l4l光程差d相位差2rjpldABCllnSl14l3l2l单色点光源\n透镜无附加光程差FACBDEOrj0d0LABFEOFLCDFL即各路等光程平面波球面波会聚ssACOrj0d0ssALOssLCssL即各路等光程球面波发散会聚球面波理想透镜不产生附加光程差\n续上ndsolABs未插入媒质时,三路光线的光程相等n插入后,经的n一路光与其它sAs两路光之间的光程差均为dd()1n相位差为2prjld()1n\n分波面与分振幅分振幅法薄膜单色点光源分波面法获得相干光的两类典型方法\n第二节分波阵面干涉19-2sssswavefront-splittinginterference\n杨氏双缝干涉lx1s2x1s2soIxrxx两列相干柱面波的干涉一、杨氏双缝干涉实验分波阵面干涉19-2ssss\n条纹间距关系式s1dls2sDdr1r2xoXd12rrxrxrxrlDd条纹间距d++2lk()12()12k0,,x+2l+k()12Ddld+k()12k0,,xl+kDd干涉条纹间距与xrlDd的关系ddxD\n洛埃镜实验1W二、洛埃镜分波面干涉2WXMDdxrsWlsX半波失损ldxrD紧靠镜端处总是产生暗纹,说明在镜端处反射光与入射光的相位差为,相当于光程差,称为半波损失.p2l\n双面镜实验1W21WBXe2dxrrDl三、菲涅耳双面镜分波面干涉sWlldxrD1s2ssWM12Me\n双棱镜实验四、菲涅耳双棱镜分波面干涉WsW1l2Ws1s2ldxrDDd\n分波面法小结分波面干涉小结1W洛埃镜分波面干涉2WXMDdxrsWlsX半波失损ldxrDxrlDd条纹间隔Dds1dls2sr1r2xoXd12rr杨氏双缝分波面干涉ddxDd++2lk()12()12k0,,x+2l+k()12Ddxrxrld+k()12k0,,xl+kDd菲涅耳双棱镜分波面干涉WsW1l2Ws1s2ldxrDDd1W21WBXe2dxrrDl菲涅耳双面镜分波面干涉sWlldxrD1s2ssWM12Me\n第三节分振幅干涉19-3ssssamplitude-splittinginterference\n分振幅干涉1n3n2n膜层e一、平行平面膜分振幅等倾干涉sPsin传播光程差do21ne+ABBC()1nAD2n2222niisin1n2nsinrBeCABcosrtgAC2erDAACsini反射光干涉DCAirB分振幅干涉\n平行平面膜反射1n2np1n光疏到光密反射光相位有变p特别对正入射或掠入射情况空气油膜玻璃2n3n1npp例一:玻璃3n1n例二:空气玻璃2np称界面反射条件附加相位差rjpp0附加光程差d2l2l0相同称附加相位差rjp附加光程差d2l2l00p界面反射条件不同d反射光干涉界面反射条件与附加光程差反射条件\n总光程差公式ld2l+k1k()2明纹暗纹若dod+d反射条件相同2l0不同反射条件2esin1n2ni222+平行平面膜反射光干涉的总光程差\n平行平面膜透射1n3n2ne透射光干涉P平行平面膜透射光干涉的总光程差dod+dsin21ne2222ni+反射条件相同2l0不同反射条件注意判断:d平行平面膜透射光干涉的总光程差dod+dsin21ne2222ni+反射条件相同2l0不同反射条件注意判断:diADCrBErFsin21ne2222ni1nADdo+ABBC()2n传播光程差回忆反射光干涉透射光干涉3nBFdo+BC()2nECECAB其中isin1n2nsinr2nsinr3nsinrsinr3nisin1nBF3nAD1n得与反射光干涉的相同do\n透射附加光程差空气油膜玻璃2n3n1n例一:p玻璃3n1n例二:空气玻璃2npp称界面反射条件附加相位差rjpp0附加光程差d2l2l0相同称附加相位差rjp附加光程差d2l2l00p界面反射条件不同d透射光干涉界面反射条件与附加光程差\n等倾干涉条纹sin21ne2222nid+dididid等倾干涉条纹入射倾角相等的光线经平行膜反射（或透射）,其相干光的光程差相等,形成同一级干涉条纹.iiiisf1n3n2ne点光源的等倾干涉条纹ssii1n3n2ne扩展光源的各套等倾干涉条纹重合（非相干叠加）\n平行膜例一空气油膜玻璃1n3n2n15.01.41.2emn501.哪些波长的可见光在反射中产生相长干涉?2.哪些波长的可见光在透射中产生相长干涉?3.欲使反射光中=550nm的光产生相消干涉,油膜至少该多厚?l白光反射相干光透射相干光算例例\n续上反射相长干涉d0+ddl2n2e+0kl2n2ekk1mn070l1k20mn35l2透射相长干涉d0+dd242n2e+llkkln2e()21k2k13k6mn74l2l13lmn820mn4100反射相消干涉e4n2k()21+d0+dd2n2e+0k()21+l2lemin4n2l.982nmk0l550,nm空气油膜玻璃1n3n2n15.01.41.2emn501.哪些波长的可见光在反射中产生相长干涉?2.哪些波长的可见光在透射中产生相长干涉?欲使反射光中550nm的光产生相消干涉,油膜至少该多厚?l白光反射相干光透射相干光3.例\n防反（增透）膜防热红外线反射(增热红外线透射)防可见光反射(增可见光透射)防反射(增透射)介质膜应用举例\n增反膜反射率无膜5%玻璃单层增反膜~25%玻璃三层增反膜70%~玻璃15层增反膜99%玻璃增反射介质膜\n多层增反膜例题几何厚度与折射率之积令三层分别都满足d+0diiid2l2eliin+k取k1eiin求各层最小值得eiin4l称为光学厚度en,即各膜层的最小光学厚度为4l多层增反射介质膜简例例ddl2ppdle13e2e3n.2234n.1500n.0012n.3811n.223空气玻璃nsz2MgFnszn疏密交替IIIIII\n非平行膜等厚干涉二、非平行膜的等厚干涉竖放肥皂膜空气劈尖牛顿环\n劈尖干涉1n3n2nqPdo+ABBC()1nAD2n传播光程差附加光程差d同理判断劈尖干涉的总光程差dod+d2esin1n2222ni+反射条件相同2l0不同反射条件劈尖干涉的光程差slbiDCABe干涉条纹在膜面.劈尖角很小.q很远,很小.bsABBC~~sCsD~~\n垂直入射总光程差de随变.干涉条纹是薄膜等厚点的轨迹.ld2l+k1k()2明纹暗纹若总光程差dod+d2e2n+反射条件相同2l0不同反射条件非平行膜等厚干涉常用的垂直入射式\n劈尖等厚条纹劈尖干涉的等厚干涉条纹rlreqn2l两相邻条纹间劈尖的厚度差l2n2re相邻条纹间距rlresinq很小,qsinqqtgq\n劈尖厚度变化2413500qn2rl247813560062413500不变,改变厚度,条纹整体随交棱平移ql2n2rerlreqsinl很小,qtanqqsin~~re\n劈尖夹角变化0qq条纹间隔随而变l2n2rerlreqsinl很小,qtanqqsin~~re0q0qn2rl\n劈尖例一玻璃玻璃n2mnl363玻璃玻璃lrqn2玻璃lrlrn21例已知,3.0mmq?求n2充油（）后测得?n2lr2.1mmsinerlrqn22l014解法提要qql2lrsin1.055(rad)lrlrn21.43\n劈尖例二#12#3#4#6#5#暗纹241350k例已知5mnl891n2n3n01.07.61235.ABeAeA求A处膜厚l2nk暗纹e+dd0d2+0()2+12keA,511l4n2elk()2+14n2,920(nm)\n牛顿环lecORrr牛顿环r暗kRlk8k2130,,,....rR()Re222+R2e+erR222+Re空气膜d0dd+2e+l2暗纹1d(2k+)l2erR22\n牛顿环例题求R?k?rk5+rk已知例在牛顿环实验中l589nmrk4.00mm5+rk6.00mm暗环rkRlk5k()r5+k+Rlk4联立解得解法提要R6.79m\n第四节19-4ssss迈克耳孙干涉仪Michelsoninterferometer\n迈克耳孙干涉仪分束玻片补偿玻片反射镜反射镜2MM1观察屏入射光线迈克耳孙干涉仪迈克耳孙干涉仪ssss19-419-4\n等倾和等厚光路等倾干涉光路2MM12M相当于平行平面空气膜干涉等厚干涉光路M12M2M相当于空气劈尖干涉\n吐级dM11M1M2M2M1MM2与之间的平行空气膜产生的等倾干涉条纹1M1M2ldN若平移d使空气膜加厚时吐出了N级条纹.则1M加厚时吐出\n吞级2MM11M1M2Md1M1M2ldN若平移d使空气膜减薄时吞进了N级条纹.则1M减薄时吞进\n移级1M1M1M1M2Md1MM2与构成的空气劈尖产生的等厚干涉条纹2ldN平移d,条纹右移(或左移)N级.1M\n随堂小议请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）2ne；一折射率为,厚度为e的平面平行膜被一折射率为的媒质包围.有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若﹥,且入射光在媒质中的波长为,则两反射光的程差为'n'nn'n'nl''22nnel+（2）;(3);(4).结束选择\n小议链接1请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）2ne；一折射率为,厚度为e的平面平行膜被一折射率为的媒质包围.有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若﹥,且入射光在媒质中的波长为,则两反射光的程差为'n'nn'n'nl''22nnel+（2）;(3);(4).结束选择\n小议链接2请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）2ne；一折射率为,厚度为e的平面平行膜被一折射率为的媒质包围.有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若﹥,且入射光在媒质中的波长为,则两反射光的程差为'n'nn'n'nl''22nnel+（2）;(3);(4).结束选择\n小议链接3请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）2ne；一折射率为,厚度为e的平面平行膜被一折射率为的媒质包围.有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若﹥,且入射光在媒质中的波长为,则两反射光的程差为'n'nn'n'nl''22nnel+（2）;(3);(4).结束选择\n小议链接4请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）2ne；一折射率为,厚度为e的平面平行膜被一折射率为的媒质包围.有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若﹥,且入射光在媒质中的波长为,则两反射光的程差为'n'nn'n'nl''22nnel+（2）;(3);(4).结束选择\n多个相干点源干涉fPql24135sssssddddddsinq相邻两光线的光程差相应的相位差rj2pld2pldsinqN个初相相同的相干点光源多个相干点光源的干涉附：\n主极大与次极大rj2pldsinq相邻两光线在P点的相位差设各光线在P点的振幅大小均为a用旋转矢量法求N个振动的合成振幅大小AqPdql先粗略了解Aq随的变化概貌Nrj2NaaAqrjrj0Aq2arjpAq02rjpAq2a同向叠加（主极大）自行封闭同向叠加（主极大）（主极大）同向叠加N3rjrjAqaaarj0rjrjrj2prjpAqa0AqAqa30AqAqa3自行封闭自行封闭同向叠加（主极大）（次极大）23p3p4位于相邻两零值间\n合成振幅公式O各旋转矢量的垂直平分线的公共交点a12aNarjrj2asin2rjrjrjrj2NrjAqAq与的普遍关系rjNsin2Nrj2asin2rj()Aq2()AqasinNrj2sinrj2pldsinq2rj相邻两光线的相位差当rj2p+kk,(021),,AqNa同向叠加.用罗彼塔法则得当旋矢自行封闭rj2p+kNAq0主极大在两个相邻的主极大之间,存在个,从而存在个次极大（处于每两相邻零值位置的中间）.据此可应用公式算出次极大的幅值,可以发现,当N增大时,次极大相对于主极大迅速变小.N1Aq0N2Aq设相干点光源的强度相同,而且已给定,随N的增大,屏幕上主极大处的条纹越清晰明亮,次极大处的条纹相对越来越暗,甚至不被察觉.ld\n附图一012-2-1N=2N=3N=4N=10N很大ldsinqN增大,主极大条纹变亮变窄,次极大数目变多而相对强度变小.\n附图二N个相干线光源干涉条纹示意图N=2N=3N=4N=10N很大\n光的衍射光的衍射第二十章diffractionoflightchapter20\n本章内容本章内容Contentschapter20惠更斯-菲涅耳原理Huygens-Fresnelprinciple单缝衍射singleslitdiffraction圆孔衍射circularholediffraction光栅衍射gratingdiffractionX射线衍射Xraydiffraction\n衍射现象衍射现象针尖狭缝圆孔圆屏衍射屏(障碍物)入射光波衍射图样观察屏\n第一节Huygens-Fresnelprinciple惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理20-1ssss\n惠菲原理波阵面上任一点均可视为能向外发射子波的子波源.波面前方空间某一点P的振动就是到达该点的所有子波的相干叠加.波阵面Prsdnqs在点引起的振动sdPdyp2rtc()qKwcoslr()sd()qK方向函数,q增,()qK慢减.s上各面元在的合振动Pysdyp2rtc()qKwcoslr()sds根据这一原理,原则上可计算任意形状孔径的衍射问题.本章的重点不是具体解算上述积分,而是运用该原理有关子波干涉的基本思想去分析和处理一些典型的衍射问题.惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理\n两类衍射两类衍射(按光源-障碍物-观察屏相对距离区分)菲涅耳衍射光源和(或)观察屏距障碍物不是无限远.sP夫琅禾费衍射光源及观察屏距障碍物均为无限远.\n条件实现夫琅禾费衍射条件的实现sPf1f2L12L\n第二节20-2sssssingleslitdiffraction单缝衍射单缝衍射\n单缝衍射sPL1a2Lf1f2夫琅禾费单缝衍射基本光路单缝衍射单缝衍射\n衍射图样光强中央明纹单缝衍射图样的光强分布\n单缝子波无数个子波波源单缝衍射图样的明暗分布规律,是单缝处的入射波阵面上在不同方向上的光干涉结果.解算方法严格的积分法(畧)简易的半波带法PqlfaO\n半波带法213213引例:ql若某方向,两端的子波光程差恰为alqd端l2l2此方向得暗纹.各对子波光程差均为l22121,...则上下两半对应的全部产生相消干涉.,a半波带半波带半波带半波带单缝恰被分成两个半波带,,(又称菲涅耳半波带)\n续上半波带半波带半波带半波带半波带半波带ql2l2l2qa奇当m明为数时得纹半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带不能被分成整数个半波带的方向等得非明非暗推论:sind端aqlmm若为整数2半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带l2l2l2l2qa当m偶得纹为数时暗qq\n单缝公式单缝衍射明纹估算式sinaql2+-2k+1()()213k,...,,k为明纹级数单缝衍射暗纹公式sinaql2+-2k+-kl()213k,...,,k为暗纹级数暗中央明纹1-+1332-2+2-1-+12+-+无论明纹或暗纹,其角分布均取决于比值la\n缝宽因素lf波长一定,缝宽越窄,衍射现象越显著.\n波长因素550nm650nm450nm相对光强023qasinl-11-112223--3-3-l缝宽一定,波长越长,则各级衍射角越大,中央明纹越宽.波长\n例题1tgsinq~~q~~q实际很小qtgq3tg2q1mm.0d2tg1q~~21q2alfffrxff()~~q32q32)(alff5al2mm0.fdasinq1l2asinql23asinql3解:对,,级暗纹有123a123lfq1546nml473.0ammcmf40中央明纹宽d的间距rx23暗纹级至暗纹级已知求例\n例题2sinaq2+-l31ksinaq+-l1kl23l23433650(nm)l?求ll光的第一级明纹=650nm光的第一级暗纹相互重合单缝白光例单缝衍射sinaq+-kl暗纹明纹sinaql2+-2k+1()解法提要\n第三节20-3sssscircularholediffraction圆孔衍射\n圆孔爱里d爱里斑直径圆孔衍射圆孔衍射\n圆孔公式fDlqqd光强0r爱里斑r半径直径d圆孔直径D半径Rq2q2爱里斑中的光能占通过圆孔光能的84%第一级暗环(即爱里斑的边沿)的角位置的实验规律qqDsinq.061lR212.l实际很小d爱里斑直径与圆孔直径的关系式Df2q~~d2.44lD爱里斑的角宽取决于比值Dl\n分辨本领得到两组圆孔衍射图样l来自远方两个物点D镜头通光直径(相当于圆孔)fq0若恰能分辨为两个物点定义张角q0为光学仪器的最小分辨角q01为光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领\n瑞利判据瑞利判据恰好等于时,目标中的两个物点恰好能分辨.dd2直径为的两个爱里斑的中心距离:等于爱里斑半径的角宽故0qlD0q1.22光学仪器最小分辨角光学仪器的分辨本领lD0q11.22光强0q0qlDfIM8.0IMd2d++\n畧偏临界++光强0qqqq能分辨++光强qq0qq不能分辨最小分辨角0q两爱里斑中心距的角宽畧大于或畧小于时q\n分辨星星如果用望远镜观察到在视场中靠得很近的四颗星星恰能被分辨.若将该望远镜的物镜孔径限制得更小,则可能分辨不出这是四颗星星.\n提高分辨等于爱里斑半径的角宽0qlD0q1.22光学仪器最小分辨角光学仪器的分辨本领lD0q11.22根据提高光学仪器分辨本领的两条基本途径是加大成像系统的通光孔径采用较短的工作波长\n相机例题已知例某照相机对l=550nm的光物镜直径D=5.0cm焦距f=17.5cm最小分辨角求在焦面上每毫米能分辨多少条线?最小分辨角lD0q-焦面上分辨最小距离每毫米能分辨线数解法提要1.221.34210(rad)5rlf0q2.34910-3(mm)Nrl1425.8(mm)-1\n人眼例题若考虑眼内玻璃状液折射率n=1.34,则眼内最小分辨角0qlD1.22n104-(rad)2.5处和10m处两物点的最小间距.某人的瞳孔直径l已知求例照明的光波波长在某场合下,D=2mm,=550nm最小分辨角能分辨25cm(明视距离)最小分辨角0q明视距离分辨最小间距10米处分辨最小间距解法提要lD1.22-3.3510(rad)4q0l明视rh-8.3510(mm)2q0l10mrh3.35(mm)\n第四节20-4ssss光栅衍射gratingdiffraction\n光柵衍射光栅透明不透明ab通常为1023~10mm数量级d光柵常数:ab()+d光栅衍射\n双重因素光柵衍射包含单缝衍射和缝间子波相互干涉两种因素l每条单缝都产生同样的单缝衍射图样缝与缝之间的子波干涉产生干涉条纹,各条纹的强度受单缝衍射条纹强度调制缝数增多,缝间干涉明纹变细.缝数很多,缝间干涉形成一系列很细的干涉明纹,各明纹的极值受单缝衍射因素的调制.\n光栅方程光栅方程光栅衍射的明纹公式sinq()+ab为相邻缝间各对应子波沿方向的光程差q明纹条件ksinq()+ab+l,213k()0,,,labfPOqq\n观察条件,21k(0,,)ksinq+ld()+abd光栅常数由光栅方程213023lqq12ld1若即dl以至各级的衍射角太小,各级谱线距零级太近,仪器无法分辨,也观察不到衍射现象.ld1若则sinqk除外,看不到任何衍射级.0k对于可见光,即刻线密度高于2500条mm其最短波长为4×10-4mm若光栅常数d＜4×10-4mm则观察不到衍射现象1即ldksinq+ld得情况下都能观察到衍射现象ld并非取任何比值的\n缺级现象缺级现象ksinq+l,213k()0,,,缝间干涉明纹位置()+ab单缝衍射暗纹位置sinqa+l213(),,,kk()+abakk的明纹级次缺级故24350(sinq)+ablllllllll23l45l6l6图为/=3时的缺级情况()+aba\n光栅光谱光栅光谱24130241321302132130213ksinq()+ab+l若()+ab一定※对同级明纹,波长较长的光波衍射角较大.※白光或复色光入射,高级次光谱会相互重叠.\n光栅例一f20m某光栅刻线密度为6000线/厘米一级谱线衍射角q201波长透镜焦距二级谱线到一级谱线的距离求例求解法提要0q6l1ab()+20sin02100sinm50177570mn)()(,1xftgq12xf2qtgrx1x2x4392qarcl()2ab+0sinf()m1160()tgq12qtgfq101x2x2q\n光栅例二例求已知而且第三级谱缺级光栅常数(a+b)a的可能最小宽度在上述条件下最多能看到多少条谱线2qlk22q28°600nml()+ab由第三级谱缺级判断3aa()+ab30.85×10-3(mm)解法提要sinq()+ab+lk()+absin2ql22.56×10-3(mm)2×6×10-40.469sinq()+ablkq最大取2pkmax()+abl4.27取整数4012（3）412（3）4（缺）（缺）最多能看到7条谱线\n光栅例三qlaaq最多能看见几级谱线求53m00007nl斜入射光栅刻线00线/厘米已知例斜入射明纹总光程差ab()+ksinq()a++l最高谱线极限q09kab()+q()a+l4268~4~解法提要sinsinsin\n第五节20-5ssssXraydiffractionX射线衍射\nX射线衍射伦琴伦琴W.K.RontgenW.K.Rontgen(1845~1923)(1845~1923)1901年获首届诺贝尔物理学奖1895年,德国物理学家伦琴在研究阴极射线管的过程中,发现了一种穿透力很强的射线.+高压电源金属靶电子束高能由于未知这种射线的实质（或本性）,将它称为X射线.X射线X射线衍射X射线衍射\n劳厄劳厄劳厄(1879~1960)(1879~1960)M.vonRaueM.vonRaue1914年获诺贝尔物理学奖X射线发现17年后,于1912年,德国物理学家劳厄找到了X射线具有波动本性的最有力的实验证据：发现并记录了X射线通过晶体时发生的衍射现象.由此,X射线被证实是一种频率很高（波长很短）的电磁波.在电磁波谱中,X射线的波长范围约为0.005nm到10nm,相当于可见光波长的10万分之一到50分之一.\n劳厄斑劳厄的X射线衍射实验原理图晶体中有规则排列的原子,可看作一个立体的光栅.原子的线度和间距大约为10-10m数量级,根据前述可见光的光栅衍射基本原理推断,只要入射X射线的波长与此数量级相当或更小些,就可能获得衍射现象.衍射斑纹（劳厄斑）+晶体X射线（硫化铜）记录干板\n布喇格父子1912年,英国物理学家布喇格父子提出X射线在晶体上衍射的一种简明的理论解释布喇格定律,又称布喇格条件.1915年布喇格父子获诺贝尔物理学奖,小布喇格当年25岁,是历届诺贝尔奖最年轻的得主.亨布喇格W.H.Bragg(1862~1942)W.L.Bragg(1890~1971)劳布喇格\n三维空间点阵氯化钠晶体氯离子钠离子Cl＋Na晶体结构中的三维空间点阵\n点阵的散射波氯化钠晶体氯离子钠离子Cl＋Na晶体结构中的三维空间点阵晶体中的原子或离子X射线原子或离子中的电子在外场作用下做受迫振动.晶体点阵中的每一阵点可看作一个新的波源,向外辐射与入射的X射线同频率的电磁波,称为散射波.\n散射波干涉X射线原子或离子中的电子在外场作用下做受迫振动.晶体点阵中的每一阵点可看作一个新的波源,向外辐射与入射的X射线同频率的电磁波,称为散射波.X射线晶体点阵的散射波可以相互干涉.面中点阵散射波干涉面间点阵散射波干涉包括和\n零级衍射谱i入射角q掠射角镜面反射方向平面法线入射X射线任一平面上的点阵任一平面上的点阵散射波的干涉干涉结果总是在镜面反射方向上出现最大光强称为该平面的零级衍射谱\n零级谱证明i入射角q掠射角镜面反射方向平面法线入射X射线任一平面上的点阵任一平面上的点阵散射波的干涉干涉结果总是在镜面反射方向上出现最大光强称为该平面的零级衍射谱任一平面上的点阵入射X射线平面法线镜面反射方向ZXY用图示法作简易证明AABBCCCDqBBAA；CCCCAACCAD,光程相等即光程差为零干涉得最大光强\n面间散射波干涉面间点阵散射波的干涉面1面2面3…作截面分析\n布喇格定律lX射线qqABCidl入射角掠射角求出相邻晶面距离为d的两反射光相长干涉条件sincos+dACCB2di2dq层间两反射光的光程差面间点阵散射波的干涉sin2dqlk(),...21k,布喇格定律相长干涉得亮点的条件或布喇格条件\n公式应用1d2d3d根据晶体中原子有规则的排列,沿不同的方向,可划分出不同间距d的晶面.对任何一种方向的晶面,只要满足布喇格公式,则在该晶面的反射方向上,将会发生散射光的相长干涉.sin2dqlk(),...21k,根据布喇格公式若已知晶体结构,可通过测求入射X射线的波长及波谱.q若已入射X射线波长,可通过测求晶面间距及晶体结构.q\n衍射图样举例NaCl单晶的X射线衍射斑点石英(SiO2)的X射线衍射斑点\nDNA的衍射图DNA结构图DNA的X射线衍射图\n算例例已知求NaCl晶体主晶面间距为2.82×10-10m对某单色X射线的布喇格第一级强反射的掠射角为15°入射X射线波长第二级强反射的掠射角解法提要sin2dqlk(),...21k,根据布喇格公式l2dsinq1k1,q115°2×2.82×10-10×15°sin1.46×10-10(m)2sin2dql2k,22q()arcsinl22darcsin0.517731.18°\n随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议fff若光栅常量一定,在光栅后观察衍射光谱的透镜焦距为,在第二级光谱中测得波长两谱线的间距为,则f（1）随的增大而增大；（2）随的减小而减小；（3）与的大小无关；（4）随参加衍射的总缝数N的增大而增大\n小议链接1结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议fff若光栅常量一定,在光栅后观察衍射光谱的透镜焦距为,在第二纹光谱中测得波长两谱线的间距为,则f（1）随的增大而增大；（2）随的减小而减小；（3）与的大小无关；（4）随参加衍射的总缝数N的增大而增大\n小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议fff若光栅常量一定,在光栅后观察衍射光谱的透镜焦距为,在第二纹光谱中测得波长两谱线的间距为,则f（1）随的增大而增大；（2）随的减小而减小；（3）与的大小无关；（4）随参加衍射的总缝数N的增大而增大\n小议链接3结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议fff若光栅常量一定,在光栅后观察衍射光谱的透镜焦距为,在第二纹光谱中测得波长两谱线的间距为,则f（1）随的增大而增大；（2）随的减小而减小；（3）与的大小无关；（4）随参加衍射的总缝数N的增大而增大\n小议链接4结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议fff若光栅常量一定,在光栅后观察衍射光谱的透镜焦距为,在第二纹光谱中测得波长两谱线的间距为,则f（1）随的增大而增大；（2）随的减小而减小；（3）与的大小无关；（4）随参加衍射的总缝数N的增大而增大\n量子力学的实验基础实验基础量子力学的第二十二章quantummechanicsexperimentalbasisofchapter22\n本章内容本章内容Contentschapter22radiationofblackbodyphotoelectriceffectandComptoneffectexperimentlawofatomicspectrum黑体辐射光电效应与康普顿效应物质的波粒二像性wave-particledualismofmatter氢原子光谱的实验规律\n四个主要内容实验基础量子力学的主要内容黑体辐射光电效应与康普顿效应氢原子的光谱实验规律物质的波粒二象性\n第一节黑体辐射22-1ssssradiationofblackbody\n热辐射一、热辐射任何物体在任何温度下都能辐射电磁波物体辐射能量的多少辐射能量按波长的分布一定时间内与物体的温度有关这种与温度有关的辐射称为热辐射黑体辐射\n定性图述先定性粗略描述某铁球单位时间单位面积发射的辐射能随铁球的温度变化其辐射能按波长的分布情况亦发生变化炽热状态温度逐渐下降l可见光红外线紫外线波长曲线覆盖面积示意单位时间、单位面积发射的各种波长的总辐射能\n单色辐出度设某物体单位时间单位面积l+ll~d在某波长微区域的辐射能为dMl定义Ml()TdMldl该物体对波长的l单色辐射出射度简称单色辐出度为Ml()T是辐射体的辐射波长和热力学温度的函数,Tl且与物体的材料及表面情况有关.\n辐出度设某物体单位时间单位面积l+ll~d在某波长微区域的辐射能为dMl定义Ml()TdMldl该物体对波长的l单色辐射出射度简称单色辐出度为Ml()T是辐射体的辐射波长和热力学温度的函数,Tl且与物体的材料及表面情况有关.Ml()TdMldl单色辐出度从物体单位表面上辐射的各种波长的总辐射功率为M()TMl()T08dlM()T称为物体的辐射出射度,简称辐出度其单位为瓦米Wm即22其单位为瓦米3Wm3即单位时间的辐射能单位面积单位波长2米()1米()\n一般辐射的复杂性不透明体二、黑体辐射外来各种波长的辐射能反射某些波长的辐射能吸收某些波长的辐射能（随物而异）发射各种波长的热辐射能（故亦随物而异）M()TMl()T故一般物体的和研究显得较复杂.TT一处于某温度实际物体热辐射的复杂性但理论研究表明各种同温物体对同一波长辐射能的单色吸收本领单色发射本领比值相同而且都等于一个同温的“黑体”对同一波长辐射能的单色发射本领.黑体辐射成为研究实际物体热辐射问题的基础.什么是黑体？（随物而异）\n黑体不透明体二、黑体辐射外来各种波长的辐射能反射某些波长的辐射能吸收某些波长的辐射能（随物而异）（随物而异）发射各种波长的热辐射能（故亦随物而异）M()TMl()T故一般物体的和研究显得较复杂.TT一处于某温度实际物体热辐射的复杂性但理论研究表明各种同温物体对同一波长辐射能的单色吸收本领单色发射本领比值相同而且都等于一个同温的“黑体”对同一波长辐射能的单色发射本领.黑体辐射成为研究实际物体热辐射问题的基础.什么是黑体？假设有这样的物体无任何反射TT这种假设的物体称为黑体.绝对理想的黑体并不存在,但它是热辐射的重要理论模型.值得注意的是实验室中常用的黑体经典实验模型：（随物而异）能全部吸收入射各种波长的辐射能二、黑体辐射\n黑体实验模型黑体的实验模型开一小孔通过小孔进入腔内的辐射能几乎全被腔壁吸收反射回小孔出射的机会极少,小孔表面好比黑体（吸收全部入射的辐射能而无反射）对空腔加热至某热平衡温度对空腔加热至某热平衡温度从小孔表面出射的就是处于某一热平衡温度的T实验黑体的辐射能,进而探索其能谱分布规律.不透明材料空腔不透明材料空腔TT\n黑体辐射测量黑体（小孔表面）T集光透镜平行光管分光元件会聚透镜及探头分光元件（如棱镜或光栅等）将不同波长的辐射按一定的角度关系分开,转动探测系统测量不同波长辐射的强度分布.再推算出黑体单色辐出度按波长的分布.黑体辐射测量系统示意图\n黑体辐射规律2000K()MBT黑体辐射的基本规律黑体的辐出度()MBT84Ts=5.67×10W·m·K-2-8-4斯特藩-玻耳兹曼定律()MBT4Ts08dlBMl()T黑体单色辐出度的峰值波长lm随的升高而向短波方向移动TlmTb维恩位移定律b=2.898×10m·K-3M(T)Bl黑体的单色辐出度1750K()MBT1500K()MBT1000K()MBT10m-6123456波长l0lm\n紫外灾难但沿用经典物理概念（如经典电磁辐射理论和能量均分定理）去推导一个符合实验规律的黑体单色辐出度函数均遇到困难.其中一个著名的推导结果是BMl()TBMl()T24lpckT（瑞利—金斯公式）l0当时,即波长向短波（紫外）方向不断变短时,则BMl()T8经典物理概念竟然得出如此荒唐的结论,物理学史上称之为“紫外灾难”.黑体辐射问题所处的困境成为十九世末“物理学太空中的一朵乌云”,但它却孕育着一个新物理概念的诞生.\n普朗克公式三、普朗克公式及能量子假说普朗克公式1el5kT2pc2hhcl1MB()Tl1900年10月19日,德国物理学家普朗克提出了一个描述黑体单色辐出度分布规律的数学公式,c光在真空中的速率k玻耳兹曼常量h普朗克常量数值为6.63×10J·s-34并很快被检验与实验结果相符.其波长表达式为\n理论曲线波长l10m-6002431M(T)Bl10Wmm11-1-2123452000K1750K1500K1000KM(T)=Bl2phcl52ehcklT11单色辐出度函数及曲线线普朗克的黑体\n能量子假设普朗克的能量子假设普朗克普朗克MaxPlanckMaxPlanck1858-19471858-19471900年12月24日,普朗克在《关于正常光谱的能量分布定律的理论》一文中提出能量量子化假设,量子论诞生.这些谐振子和空腔中的辐射场相互作用过程中吸收和发射的能量是量子化的,只能取一些分立值：e,2e,,ne;可视为带电的线性谐振子；组成黑体腔壁的分子或原子频率为n的谐振子,吸收和发射能量的最小值e=hn称为能量子（或量子）h=6.63×10J·s-34称为普朗克常量\n黑体例一例实验测得lm490nm太阳单色辐出度峰值对应的波长若将太阳当作黑体估算：太阳表面温度TM()TB太阳辐出度解法提要：由维恩位移定律2.898×10_3Tblm490×10_95.91×103(K)由斯特藩-玻耳兹曼定律M()TBsT45.67×10×(5.91×10)_83476.92×10(W·m)_2\n黑体例二例由普朗克公式推出维恩位移定律lmTb2.898×10m·K-3Tlm4.965khc2解法提要：1el52pchkThcl1MB()Tl普朗克公式lm0ddlM()TBl令求设xkThcl,0ddM()TBxx2pk5T5h4c35x4()ex1x5ex()ex12解得:x4.965得5x5ex作直线5x和曲线5ex,求得交点x坐标即kThclm4.965b2.898×10m·K-3)(\n黑体例三例由普朗克公式的波长表达式变换成频率表达式ln解法提要波长表达式l52pc2h1ekThcl1MB()Tl设变换后的频率表达式为它必须满足：MB()Tn故ndMB()TlldMB()TnMB()TnMB()Tlldndcldndn2由有lnc代入得MB()Tn2pc2hn31ekTh1n即两种表达算得同温、同色微变区间的黑体微辐出度应相等.负号表示若波长变长0ldnd0,则频率变低\n黑体例四例由普朗克公式频率表达式导出斯特藩-波耳兹曼定律M()TBsT4,-8s5.6705×10-2W·m·K-4解法提要M()TBMB()Tnnd082pc2hn311ekThn08nd设xkThn则kThndxdT2pc2h3k4408x3ex1xdT2pc2h3k4408x3(exex1)1xd级数1+ex+ex2+T2pc2h3k4408x3ex+ex2+()xd查积分表08xnaexxdT2pc2h3k4451p4T42pc2h3k4515sT4M()TB得s2pc2h3k4515-85.6705×10-2W·m·K-4\n第二节photoelectriceffectandComptoneffect22-2ssss光电效应与康普顿效应\n爱因斯坦与康普顿1923年用X射线通过石墨的散射实验进一步证明光的粒子性.光子与电子碰撞服从能量及动量守恒定律.ArthurH.Compton1892-1962ArthurH.Compton1892-1962康普顿康普顿1905年提出光量子（光子）理论,成功解释光电效应.爱因斯坦爱因斯坦AlberEinsteinAlberEinstein1879-19551879-1955光电效应与康普顿效应光电效应与康普顿效应\n光电效应实验iV+A一、光电效应实验现象与规律++加速电势差U光电流i光电子石英窗K阴极金属板A阳极外接极性反向测遏止电势差Ua光强I光频率n光束射到金属表面使电子从金属中脱出的现象称为光电效应.0U21光强较强光强较弱频率相同nmi1饱和光电流mi2饱和光电流aU即光电子恰被遏止,不能到达阳极.光电子最大初动能可用遏止电势差与电子电荷乘积的大小来量度.U=-Ui=0a时eUa120mv2max\n实验基本规律基本规律饱和光电流与光强成正比.在饱和状态下,单位时间由阴极发出的光电子数与光强成正比.光束射到金属表面使电子从金属中脱出的现象称为光电效应.光强较强光强较弱频率相同n饱和光电流V+A一、光电效应实验现象与规律++加速电势差U光电流i光电子石英窗K阴极金属板A阳极外接极性反向测遏止电势差Ua光强I光频率ni0U21aUmi2mi1饱和光电流U=-Ui=0a时光即光电子恰被遏止,不能到达阳极.光电子最大初动能等于反向电场力的功120eUamv2max0UanU0n0Uan0sCKCun0n0n0轴截距称为截止频率或红限,,入射光频率小于截止频率时无论光强多大都不能产生光电效应.每种金属有自己的截止频率.nn0n0U0knn0时无论光强多弱,光照与电子逸出几乎同时发生.遏止电势差的大小与入射光的频率成线性关系,与光强无关.UaknU0与材料与材料无关的普适常量有关的常量即m120v2maxknU0光电子最大初动能随入射光频率增大而线性增大,与光强无关.ee\n波动理论的困难光的波动理论与光电效应实验规律相矛盾光的波动理论光电效应实验规律knU0ee应与光强有关m120v2max电子从具有一定振幅的光波中吸收与光强无关I不论什么频率,只要光足够强,总可连续供给电子足够的能量而逸出.nn0金属材料的截止频率时,无论多强,均无电子逸出.I初动能与光强有关无红限有红限初动能与光强无关瞬时响应响应快慢取决光强光强越弱,电子从连续光波中吸收并累积能量到逸出所需的时间越长.只要不论光强多弱,nn0几乎同时观察到光电效应.（小于）s019能量而逸出其初动能\n光量子理论爱因斯坦的光量子（光子）理论一个光子的能量与其辐射频率的关系是ne2pwehnhhw式中h为普朗克常数,w2pn为角频率,2phh光,是一种以光速运动的粒子流,这种粒子称为光量子或光子.hn辐射频率越高的光子其能量越大.一束频率为的单色平行光的光强,n等于单位时间垂直通过单位横截面积的光子数目与每一光子能量的乘积.hn\n光子能、质、动量式w2phh能量ehnh光子的c2pm将相对论的质能关系和动量概念用于在真空中运动的光子ehnch质量mec2hnc2动量大小phnc动量矢量式phnchhllnk则光子的光子的光子的式中n为光播传播方向的单位矢量,kl2pn称为波矢.n\n光电效应方程爱因斯坦光电效应方程金属中一个电子吸收一个光子的能量频率为的光n一个光子的能量为照射金属表面,nh一部分变为逸出电子（光电子）的初动能m120v2max一部分用于电子逸出金属表面需做的功（逸出功）A+能量守恒m120v2maxnhA亦即m120v2maxknU0ee联系光电效应实验规律hke得keh可见是一个与金属材料无关的常量U0eA实验得知U0与金属材料有关,A故亦然,,也可由求h不同金属材料的红限,可用n0U0k求得.k由可求AU0则又可表成AAhn0\n红限、逸出功数据表金属截止频率（10Hz）14逸出功（eV)金属截止频率（10Hz）14逸出功（eV)某些金属和半导体的截止频率（红限）及逸出功钨W10.974.54钙Ca6.552.71钠Na5.532.29钾K5.432.25銣Rb5.152.13銫Cs4.691.94铀U8.763.63铂Pt15.286.33银Ag11.554.78铜Cu10.804.47锗Ge11.014.56硅Si9.904.10硒Se11.404.72铝Al9.033.74锑Sb5.682.35锌Zn8.063.34\n光子论的成功解释光子理论成功地解释了光电效应实验规律n频率一定,光强越大则单位时间打在金属表面的光子数就越多,产生光电效应时单位时间被激发而逸出的光电子数也就越多,故饱和电流与光强成正比.IimInhn每一个电子所得到的能量只与单个光子的能量有关,即只与光的频率成正比,故光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与光强无关.nIn一个电子同时吸收两个或两个以上光子的概率几乎为零,因此,若金属中电子吸收光子的能量即入射光频率时,电子不能逸出,不产生光电效应.,nhA()hn0An0光子与电子发生作用时,光子一次性将能量交给电子,不需要持续的时间积累,故光电效应瞬时即可产生.nh爱因斯坦因此而获得了1921年诺贝尔物理学奖\n光电效应例题例用波长l=0.35mm的紫外光照射金属钾做光电效应实验,求（1）紫外光子的能量、质量和动量；（2）逸出光电子的最大初速度和相应的遏止电势差.m120v2maxnhA(2)由爱因斯坦方程查表,钾的逸出功A=2.25eV,20vmax()nhAm6.76×10(m·s)5-1代入后解得eUa120mv2max由截止电势差概念及爱因斯坦方程解得UanhA()e1.3(V)解法提要：(1)由爱因斯坦光子理论光子能量光子质量光子动量lcnehh5.68×10(J)-19mce26.31×10(Kg)-36lhp1.89×10(Kg·m·s)-27-1\n康普顿效应概述l0l0l0l0l0llll0X射线其光子能量比可见光光子能量大上万倍X射线发生散射二、康普顿效应概述原子核与内层电子组成的原子实外层电子散射体康普顿最初用石墨,其原子序数不太大、电子结合能不太高.用X射线照射一散射体（如石墨）时,X射线发生散射,散射线中除有波长和入射线相同的成分外,还有波长的成分.这种现象称为康普顿效应.ll0l0谱线称位移线rlll0称波长偏移量或康普顿偏移ll0l\n偏移—散射角实验rlll0波长偏移量检测系统晶体l0l4j5rlj153l0lrlj09l0lrlj散射角l0j0射线源Xl0散射体jlr随的增大而增大,与物质种类无关.rl~j实验\n不同物质实验j153j153j153不同散射物质的实验对同一散射角jl0lrll0lrll0lrlZ16Z26X射线X射线X射线Z6原子序数原子序数l0l0l0原子序数碳C碳硫硫S铁铁FeFell0谱线的强度增强；谱线的强度减弱.lr各种散射物质对同一散射角,波长偏离量相等.j若散射物质的原子序数增加,散射线中\n散射要点归纳要点归纳：2.波长偏移量随散射角的增大而增加,与散射物质无关.rlll0j1.散射线中除有波长与入射线相同的成分外,还有波长的成分.l0ll03.各种散射物质对同一散射角,波长偏移量相等.当散射物的原子序数增加时,散射线中的谱线强度增强,谱线的强度减弱.jrll0ll0l0l0l0l0llll0X射线其光子能量比可见光光子能量大上万倍X射线发生散射二、康普顿效应概述原子核与内层电子组成的原子实外层电子散射体康普顿最初用石墨,其原子序数不太大、电子束缚能不太高.用X射线照射一散射体（如石墨）时,X射线发生散射,散射线中除有波长和入射线相同的成分外,还有波长的成分.这种现象称为康普顿效应.ll0l0谱线称位移线rlll0称波长偏移量或康普顿偏移ll0lrlll0波长偏移量检测系统晶体同一物质散射体的实验j增增；lrl强度增；l0强度减l0l4j5rlj153l0lrlj09l0lrlj散射角l0j0射线源Xl0散射体j153j153j153不同物质散射体的实验对同一散射角jlrll0谱线的强度随Z的增加而增强；波长偏离量相等,与散射物质无关.谱线的强度随Z的增加而减弱.rlrlrlZ16Z26X射线X射线X射线Z6原子序数原子序数l0l0l0原子序数碳C碳硫硫S铁铁FeFell0ll0ll0\n偏移机理示意图光的波动理论无法解释散射线中存在波长的成分.l0l康普顿用光子理论予以解释并给出波长偏移量的理论公式.lr康普顿偏移公式散射线中的成分是光子与外层电子发生弹性碰撞的结果.l0l散射线中的成分是光子与原子实发生弹性碰撞的结果.l0X射线cll0l0l0l0l0lllcccc散射体l0原子实视为静止,其质量M电子静止质量m0X射线光子能量散射物质原子外层电子的结合能故外层电子可视为自由电子与光子碰撞前近似看成静止\n康普顿偏移公式rll1cosjcm0h()2sinlc22j电子静止质量cm0h普朗克常量真空中光速均为常量cm0h故为常量,用表示,称为康普顿波长lccm0hlc2.43×10(m)0.00243(nm)-12l0l0散射体j080j1jrlrl04j5j1530j927139.rlrlrl0lclc.07lclc2随rlj的增大而增大与散射物质无关并与实验结果相符光子与外层电子发生弹性碰撞时,服从动量守恒和能量康普顿偏移公式守恒定律.由此推导出波长偏移量表达式：\n有关现象解释康普顿因发现康普顿效应而获得了1927年诺贝尔物理学奖散射物质的原子序数增大,原子核对电子的束缚力增强,组成原子实的电子数目相对增多,可作为自由电子看待的电子数目相对减少,散射线中的谱线强度相对减弱,谱线的强度相对增强.ll0散射物质原子实的质量为10~10kg数量级M-26-230这样小的波长偏移量,仪器无法分辩,可认为rl这就是散射线中波长为的谱线.l0cMh为10~10(m)即10~10(nm)数量级-16-19-7-10故光子与原子实发生弹性碰撞时,也服从动量守恒和能量守恒定律.由此可推导出与康普顿偏移公式相似的形式：rlll0sin22jchM2\n偏移公式推导康普顿偏移公式的推导光子电子弹性碰撞eEjnh末能量末动量Xc散射光子反冲电子pnnhc大小：pnp合pe+pe初能量cm20nh+0初动量+0Xcp0n0nhc大小：能量守恒动量守恒0nh+cm20nh+eEpnp0npe+\n续36eEnh()0n+cm20得pe22cosj(0nhc(2+(nhc(2hc220nn应满足相对论的能量与动量的关系eE2cm20((2+(pec(2联立解得cn0nchcm0(1cosj(rlll0hcm0(1cosj(2lcsin22j写成波长差的形式即为康普顿偏移公式：pn动量守恒p0npe+能量守恒0nh+cm20nh+eE0nhcjpenhcp0npn\n康普顿、光电效应比较康普顿效应与光电效应的异同康普顿效应与光电效应都涉及光子与电子的相互作用.在光电效应中,入射光为可见光或紫外线,其光子能量为ev数量级,与原子中电子的束缚能相差不远,光子能量全部交给电子使之逸出,并具有初动能.光电效应证实了此过程服从能量守恒定律.在康普顿效应中,入射光为X射线或g射线,光子能量为10ev数量级甚至更高,远大于散射物质中电子的束缚能,原子中的外层的电子可视为自由电子,光子能量只被自由电子吸收了一部分并发生散射.康普顿效应证实了此过程可视为弹性碰撞过程,能量、动量均守恒,更有力地证实了光的粒子性.4\n康普顿效应例一例假定某光子的能量在数值上恰好等于一个静止电子的固有能量,求该光子的波长.ecm02解法提要：设elnhchcm02得lchcm02cm0h2.43×10(m)-126.63×10-349.11×10×3×10-3180.00243(nm)康普顿波长联想：lccm0h其数值恰等于本题所设光子的波长.即,若一个光子的能量在数值上等于一个静止电子的固有能量时,该光子的波长在数值上等于康普顿波长（在研究实物粒子的波动性时又称为电子的康普顿波长）.\n康普顿效应例二解法提要例用波长为200nm的光照射铝（Al的截止频率为9.03×10Hz),能否产生光电效应？能否观察到康普顿效应(假定所用的仪器不能分辨出小于入射波长的千分之一的波长偏移）？14rl2sinlc22j0.00243(nm)80j1时（逆向散射）rlrlmaxrlmax2lc20.00486(nm)rlmaxl00.00486nm200nm0.00002430.001观察不到康普顿效应8cln3×10（200×10）-91.5×10(Hz)15可产生光电效应截止频率\n康普顿效应例三例已知散射光子j反冲电子60X射线入射光子nml03201.00l？Ek？动能解法提要rll2sinlc22jl0l2sinlc22jl0+3.00×10+2×0.00243×0.5-223.12×10(nm)-2弹碰前系统能量：cm02n0h+弹碰后系统能量：nh+eEnh+()cm02+Ek能量守恒Ekh(n0n)hc1l0(l1)6.63×10×3×10×()×10×10-3483.00113.122-92.25×10(J)1.59×10(ev)-163\n康普顿效应例四coslp0peq,qarccos(lp0pe(432404,,,动量守恒pe+lp0lppelplp02+2hl01((2+l1((21.2810(kgms)-23-1l0lp0h9.3010(kgms)-24-1式中入射光子动量解法提要rll2sinlc22jl0ll0lc+rllcj90,llphh()l0lc+8.7810(kgms)-24-10.00423nm0.0755nm例已知散射光子X射线入射光子nml02017.13j反冲电子90l？pq？？pelp0\n随堂小议（1）入射光的频率；（2）入射光的相位和频率；（3）入射光的强度；（4）入射光的强度和频率.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案在光电效应中,光电流的大小主要依赖于随堂小议\n小议链接1（1）入射光的频率；（2）入射光的相位和频率；（3）入射光的强度；（4）入射光的强度和频率.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案在光电效应中,光电流的大小主要依赖于随堂小议\n小议链接2（1）入射光的频率；（2）入射光的相位和频率；（3）入射光的强度；（4）入射光的强度和频率.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案在光电效应中,光电流的大小主要依赖于随堂小议\n小议链接3（1）入射光的频率；（2）入射光的相位和频率；（3）入射光的强度；（4）入射光的强度和频率.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案在光电效应中,光电流的大小主要依赖于随堂小议\n小议链接4（1）入射光的频率；（2）入射光的相位和频率；（3）入射光的强度；（4）入射光的强度和频率.结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案在光电效应中,光电流的大小主要依赖于随堂小议\n第三节experimentlawofatomicspectrum22-3ssss氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律\n氢原子光谱一、氢原子光谱的谱线系平行光管分光元件检测系统氢灯实验系统示意图巴耳末系赖曼系0.80.60.40.2波长mm可见光紫外线布喇开系帕邢系mm5.04.03.02.01.0红外线普芳德系从1885年至1924年科学家们先后在可见光、紫外和红外区发现了氢原子的光谱线系列,并得到普遍的实验规律：氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律\n里德伯常量二、氢原子光谱的实验规律巴耳末系赖曼系0.80.60.40.2波长mm布喇开系帕邢系mm5.04.03.02.01.0普芳德系mm=1=2m=3m=5=4ml:1234...123...:l...1...1...1系序数m系内的线序数l系序数+线序数n=+ml谱线的波长的倒数l称为波数n~实验规律ln~1R()m21n21R1.09677610m17称为氢原子的里德伯常量n:3456...234...n:6...5...4...\n里兹组合原则三、里兹组合原则氢原子光谱的谱线有三个最明显的特点：非连续性、稳定性和规律性研究其它元素（如碱金属元素）的原子光谱亦发现具有同样特点.其谱线规律可用类似的公式表达ln~1R11m2()+anb2()+ab为改正数,由具体的元素和原子光谱线系确定.在原子光谱中,组成每一线系的谱线,一般可表成两项之差的形式n~Tm()T()n称为里兹组合原则,Tm()T()n称为光谱项.可见,非连续性、稳定性和规律相似性是原子光谱谱线的普遍特点.\n经典理论的困难四、经典理论解释原子光谱规律的困难1911年卢瑟福根据a粒子散射实验提出了原子有核模型.原子的质量几乎集中于带正电的原子核,而核的半径只占整个原子半径的万分之一至十万分之一；带负电的电子散布在核的外围.卢瑟福的原子有核模型成功地解释了a粒子散射实验.然而,将经典电磁理论用于卢瑟福的原子模型却无法解释原子光谱的实验规律.经典理论认为原子光谱实验规律绕核运动的电子不断辐射电磁波,轨道半经随能耗而连续变小,其光谱应是连续变化的带状光谱.非连续的线状光谱绕核运动的电子因轨道变小必迅速落入原子核.因此,原子及其光谱应是不稳定的.光谱状态稳定无法理解谱线分布有规律可循\n玻尔续量子实验玻尔玻尔NielsHenrikDaridBohrNielsHenrikDaridBohr1885-19621885-1962五、玻尔的氢原子理论1913年玻尔将普朗克、爱因斯坦的量子理论推广到卢瑟福的原子有核模型中,并结合原子光谱的实验规律,提出他的氢原子理论,奠定了原子结构的量子理论基础.为此他获得1922年诺贝尔物理学奖.\n定态假设+定态假设原子中的电子只能在一些半径不连续的轨道上作圆周运动.在这些轨道上运动的电子不辐射（或吸收）能量而处于稳定状态,称为定态.相应的轨道称为定态轨道玻尔的氢原子理论的三个重要假设定态假设量子化条件假设频率条件假设定态轨道\n量子化条件假设+定态假设原子中的电子只能在一些半径不连续的轨道上作圆周运动.在这些轨道上运动的电子不辐射（或吸收）能量而处于稳定状态,称为定态.相应的轨道称为定态轨道玻尔的氢原子理论的三个重要假设定态假设量子化条件假设频率条件假设定态轨道+量子化条件假设在定态轨道上运动的电子,其角动量只能取h/(2p)的整数倍,即L=mvr=n=nhh2p称为角动量量子化条件n=1,2,3,…为量子数mrv\n频率条件假设玻尔的氢原子理论的三个重要假设定态假设量子化条件假设频率条件假设+量子化条件假设在定态轨道上运动的电子,其角动量只能取h/(2p)的整数倍,即L=mvr=n=nhh2p称为角动量量子化条件n=1,2,3,…为量子数mrv+频率条件假设电子从某一定态向另一定态跃迁时将发射（或吸收）光子.EnEmEnEmn=(-)hEnEm称为玻尔的频率条件若初态和终态的能量分别为和且则发射光子的频率nEmEn\n电子轨道半径+mrve,F库仑力向心力vp4e012re2mr2由角动量量子化条件库仑力向心力hL=mvr=n=nh2p联立解得vnp4e01e2nhrnme2p4e0h22nn=1,2,3,…n1时,r1me2p4e0h20.52910m-10为电子轨道的最小半径称为玻尔半径表成0a则氢原子的可能轨道半径为0a,49160a,0a,0a2n0a即...,玻尔氢原子理论中电子定态轨道半径的计算\n能量公式氢原子的能量公式电子在轨道上运动具有的总能量是之和Enrn动能势能kEnpEn设无穷远势能为零,则21EnkEn+pEnme2vn2p4e0rnvne2p4e01nhrnme2p4e0h22n.132p2e02h2me4n21n时,32p2e02h2me4E1613.Ve氢原子最低能态基态n1,2,3,...能量量子化n1EnE1n2的各个定态,称为激发态.欲将电子从基态电离,摆脱氢原子的束缚二变为自由态,外界至少要供给电子的能量为E8E1613.Ve称为电离能\n氢光谱导出公式玻尔的氢原子理论导出的氢原子光谱规律公式得n3pe02hme4643(12m)n211~波数为nncl()1n2m213pe02hme4643c1.097373153410m7-1此理论值与里德伯常量R符合得相当好及由n跃迁到m(nm)的频率条件.132p2e02h2me4n2En由n2phhEnEmEnEmEn(eV)-13.6-3.39-1.51-0.54123458赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系普芳德系氢原子的能级跃迁及谱线系-0.85\n算例解法提要例氢原子受到能量为E=12.2eV的电子轰击已知求氢原子可能辐射的谱线波长En(eV)-13.6-3.39-1.51-0.54123458-0.85氢原子吸收E,从基态E1可能跃迁至某激发态EnE=En–E1=–E1nE12=n1+E/E11≈3可能幅射的谱线波长=R(-)1/l32221321l32=6.563×10(m)-7可见l21=1.215×10(m)-7=R(-)1/l21121221紫外l31=1.026×10(m)-7=R(-)1/l31121321紫外\n玻尔理论的局限玻尔的氢原子理论开创了运用量子概念研究原子光谱的先河,同时这一理论也面临着新的困难与考验.“新出现的障碍只能用十分新颖的思想去克服”玻尔...年轻的法国物理学家路易德布罗意终于迈出了新的一步....玻尔理论能成功地求出氢原子谱线的频率,但无法计算谱线的强度、宽度和偏振等一系列问题.电子沿圆形“轨道”绕核运动的行星模型,无任何已知的方法能够验证.用经典力学质点运动的“轨道”概念去描述原子系统中电子的行为,符合微观粒子的运动客观规律吗对复杂原子的光谱结构,用玻尔的理论和方法计算的结果与实验值不符.......?\n第四节22-4sssswave-particledualismofmatter物质的波粒二象性物质的波粒二象性\n德布罗意1923年他提出电子既具有粒子性又具有波动性.1924年正式发表一切物质都具有波粒二象性的论述.并建议用电子在晶体上做衍射实验来验证.1927年被实验证实.他的论述被爱因斯坦誉为“揭开了巨大面罩的一角”.德布罗意为此获得1929年诺贝尔物理学奖.德布罗意PrinceLouisVictordeBroglie(1892~1987)物质的波粒二象性物质的波粒二象性\n光的波粒二象性一、光的波粒二象性电磁波光子光的波动性光的粒子性波长l频率n波速cm动质量e能量p动量波的干涉波的衍射横波偏振有波动参量如：有波的行为特性如：有粒子参量如：有粒子的行为特性如：黑体辐射光电效应康普顿效应,光的这种双重特性,称为光的波粒二象性.既具有波动性又具有粒子性光\n二象性统计解释令入射光极弱,光子数目极少,光子将会在屏上出现的确切位置无法预测.双缝干涉实验光的波粒二象性的统计观点解释l摄影底板或显微观察延长曝光时间,可发现在光波干涉理论算得的各明纹区域,光子出现的概率最大；各暗纹区域,光子出现的概率最小.继续延长曝光时间,可得到名暗连续变化的双缝干涉清晰图像,并与强光入射（大量光子同时入射）一次曝光的情况等效.光子的行为不能用经典粒子的运动状态参量描述和准确预测；光波在空间某处的强度反映了光子在该处附近出现的概率.\n光子衍射单缝衍射像圆孔衍射像在光的衍射实验中,摄像记录弱光入射的几个不同曝光阶段的衍射图样,并进行比较,可以发现,在衍射图样中较亮的地方,光子出现的概率较大.\n物质波假设hEnwhnplhkh其波粒二象性的关系为德布罗意公式hh2pw2pnvpmnv为方向单位矢量波矢量kl2pn与物质粒子联系的波称为德布罗意波,又称物质波.速度为v质量为m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量和动量来描述它的粒子性nl另一方面可用频率和波长来描述它的波动性一、物质的波粒二象性光,具有波粒二象性,是否一切物质都具有波粒二象性呢？波粒二象性假设.德布罗意提出了关于物质的德布罗意波假设\n德布罗意公式hEnwhnplhkh自由粒子:能量、动量均为常量Ep与自由粒子联系的波的频率波长均不变nl与自由粒子联系的德布罗意波可用平面波描述对于一个自由实物粒子其德布罗意波的波长为质量mm012()cv则lphmvhm0vh12()cv运动速率v,静止质量m0若已知cv若,lm0vhEk动能静止质量,m0若已知则动量大小为p2m0Ek2()c1+Ek2m0其德布罗意波的波长为lph2m0Ek()2c1+Ek2m0hlm0h2Ekcv若,Ekm02c则\n物质波例一已知求例某电子的动能Ek100eV某子弹的质量vm0400m/s0.01kg它们的德布罗意波长电子的静止质量me09.11×10-31kg普朗克常量h6.63×10-34J·s1eV1.6×10-19J解法提要可判断Ekme02clh2Ekme01.23×10–10（m）1.23（A）与X射线的波长相近,其波动性不可忽略.cvlm0vh1.66×10-34(m)1.66×10-24(A)波长短到无法检测,其波动性可以忽略.\n物质波例二此波长值是康普顿波长的倍33解法提要由动能定义若解得即E0EkEEkE0()g1E0得2g112()cv2cv32lphmvhm0egvh2m0e3c2h3m0ech该电子的德布罗意波长为已知例电子的康普顿波长为lcm0ech当电子的动能等于Ek电子的静止能量时E0求该电子的德布罗意波长；此波长值是康普顿波长的几倍？\n物质波例三例德布罗意波概念用导出玻尔的角动量量子化条件rOl解法提要r电子绕核运动的轨道半径为l电子的德布罗意波的波长为设若满足2prnl1()n2,,...则形成驻波,电子在相应的定态轨道上运动而不辐射能量.lmvh将德布罗意公式代入得玻尔的角动量量子化条件2prnhLmvhn1()n2,,...\n电子衍射实验一、电子衍射实验最早的电子衍射实验1924年戴维孙-革末实验q镍单晶电子束Ek54eV在已知原子间隔D的晶体上做衍射实验,发现电子束也能产生衍射现象,并测得第一级极强的衍射角相对强度10205030406070800q衍射角用已知动能的电子束替代X射线,Ekq05dj2q2qD2.15A2qsinD根据晶体衍射的布喇格公式2sinjlkd将换成以表达,得djDqDqsinlkk1实验结果:lDqsin1.65×10–10(m)按德布罗意公式推算,具有动能的电子Ek1.67×10–10(m)的德布罗意波长的理论值为该实验首次证实了电子具有波动性.\n电子衍射附图一X射线衍射电子衍射1927年,G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔,结果发现,同X射线一样,也能得到清晰的电子衍射图样.\n电子衍射附图二电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射氧化锌晶体对电子的衍射钨晶体薄片对电子的衍射由于电子进入到晶体内部时容易被吸收,人们通常采用极薄的晶片,或让电子束以掠入射的形式从晶体表面掠过,使电子只与晶体最外层的原子产生衍射,从而成功地观察到多种晶体的电子衍射图样.\n电子及中子衍射NaCl晶体的中子衍射UO2晶体的电子衍射电子衍射、中子衍射、原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都获得了成功.微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认.\n量子力学初步iHeethYY量子力学初步量子力学初步第二十三章quantummechanicspreliminaryremarksofchapter23\n本章内容本章内容Contentschapter23波函数及其统计解释wavefunctionanditsstatisticalexplanation薛定谔方程Schrodingerequation隧道效应tunneleffect不确定关系uncertaintyrelation\n第一节wavefunctionanditsstatisticalexplanation波函数及其统计解释波函数及其统计解释23-1ssss\n引言量子力学是描述微观粒子运动规律的学科.它是现代物理学的理论支柱之一,被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域.本章主要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法.\n波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为v质量为m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量和动量来描述它的粒子性nl另一方面可用频率和波长来描述它的波动性一、波函数波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数,知道了某微观客体的波函数后,原则上可得到该微观客体的全部知识.下面从量子力学的基本观点出发,建立自由粒子的波函数.波函数及其统计解释波函数及其统计解释\n自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf应用德布罗意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向匀速直线运动在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()trei(t)pErhA\n续上在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf应用德布罗意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()trei(t)pErh的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向匀速直线运动在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函数自由粒子的能量和动量为常量,其波函数所描述的德布罗意波是平面波.不是常量,其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波.对于处在外场作用下运动的非自由粒子,其能量和动量外场不同,粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同.微观客体的运动状态可用波函数来描述,这是量子力学的一个基本假设.\n概率密度二、波函数的统计解释设描述粒子运动状态的波函数为,则Y,()tr空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）P,()tr与的模的平方成正比.,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共轭复数德布罗意波又称概率波波函数又称概率幅取比例系数为1,即MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了对波函数的统计解释\n波函数归一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的体积元内rdVxddyzd发现粒子的概率为dVxddyzdP,()trY,()tr2在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子,即在全部空间V中粒子出现的概率为1.dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数具有统计意义,其函数性质应具备三个标准条件：\n概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例,并非取决于波强的绝对值.能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值.因此,将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍,不影响粒子的概率密度分布,即和C所描述德布罗意波的状态相同.YY因此,将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍,则个处的能流密度增大C倍,变为另一种能流密度分布状态.2波函数存在归一化问题.波动方程无归一化问题.波函数存在归一化问题.\n波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变,故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种,故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大,故波函数必须是有限的；以一维波函数为例,在下述四种函数曲线中,只有一种符合标准条件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合\n算例例设某粒子的波函数为Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求归一化波函数概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1积分得：a2A21,A2a得到归一化波函数：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求极大值的x坐标dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外两个解x处题设Y0处P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a11\n随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）\n小议链接1结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）\n小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）\n小议链接3结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）\n小议链接4结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）\n第二节Schrodingerequation23-2ssss薛定谔方程薛定谔方程\n薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程pFmddtvddt根据初始条件可求出经典质点的运动状态r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学一、引言针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念zXYOYr(t,(运动状态Yr(t,(波函数量子力学方程？是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的薛定谔方程薛定谔方程\n基本算符量子力学中的算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号.在量子力学中,一切力学量都可用算符来表示.这是量子力学的一个很重要的特点.算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符seexi+yjee+zeekeex++22yee22zee22s2动量算符pihs动能算符T2mh2s2哈密顿算符()含动、势能H2mh2s2+()rU,t位矢算符rr力学量算符统称举例F()若作用在某函数上的效果FY和与某一常量的乘积相当,YF即FYFY则F称为的本征值FY称为的本征函数FY所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出FFY*FYxyzddd\n薛定谔方程二、薛定谔方程二、薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖薛定谔EnwinSchrodinger:（1887-1961）薛定谔EnwinSchrodinger:当其运动速度远小于光速时它的波函数所满足的方程为Y质量为的粒子m在势能函数为的势场中运动()trU,它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律,又称含时薛定谔方程.2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H式中,为哈密顿算符,H2mh22s()rU,t+iHeethYY薛定谔方程薛定谔方程\n三、定态薛定谔方程可分离变量,写成解释：U()rU若则Y()r,tY()r,tY()rf()tihf()tdtdEf()t积分f()t解得CteihEC将常量归入中,得Y()rYY()rteihE定态波函数此外,对得HYEY定态薛定谔方程ihY()reetf()tHY()rf()t故ihY()rf()tHY()rE常量()时间的函数空间的函数tf()tddHEY()rY()r由对应一个可能态有一常量E定态薛定谔方程势场只是空间函数U()rU即若粒子所在的E有一个能量定值HYEYY()r,tiHeethYY含时薛定谔方程HU()r,t+2mh22sYHU()r+2mh22sYY()rteihE定态波函数对应于一个可能态,则定态薛定谔方程\n其概率密度P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()rteihEY()retihEY()r2与时间无关所描述的状态.它的重要特点是：所谓“定态”,就是波函数具有形式Y()rteihEY(),tr定态波函数Y()rteihEY(),tr中的称为振幅函数Y()r（有时直称为波函数）.Y()rY()r的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）.定态问题是量子力学最基本的问题,我们仅讨论若干典型的定态问题.HYEY若已知势能函数,应用定态薛定谔方程()rU可求解出,并得到定态波函数Y()rY()rteihEY(),tr续上\n态跌加原理四、态叠加原理为薛定谔方程的两个解,分别代表体系的两个可能状态.Y12Y设Y为它们的线性叠加即Y+1CY12C2Y1C2C为复常数将上式两边对时间ih求偏导数并乘以eetihYih1CeetY1+2C2Yeet因Y12Y都满足薛定谔方程iheetY1HY1i2YeethH2Y即1CHY1+2CHY2(H1CY1+2CY2(HY这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态.称为态叠加原理\n一维无限深势阱五、一维无限深势阱粒子在某力场中运动,若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱.0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中,有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型,子的波函数,有助于进一步理解在量子化等概念.\n续上求解2mh22x2Y()xddEY()x阱内U()x0阱外U()x8Y()x只有0因Y()xY()xddx及要连续、有限,薛定谔方程才成立,在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零.m设质量为的微观粒子,处在一维无限深势阱中,该势阱的势能函数为0U()x8L(x0)L(x0,x)阱外阱内建立定态薛定谔方程HYEY一维问题H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x0LUX88()x\n续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内2mh22x2Y()xddEY()x即02x2Y()xdd+Y()xE2mh2令2kE2mh2得2x2Y()xdd+2k0Y()x此微分方程的通解为+Y()xAexkiBxkie其三角函数表达形式为()Y()xsindAxk+A式中和为待定常数d根据标准条件确定常数d和k,并求能量的可能取值EAsinkL0以及x0在边界和xL处Y()xA0又因d0,得Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0的取值应与阱外连续,Y()x0边界处的Y()x故得及kLpn,()n0+1,2+,n0时阱内不合理舍去,Y()x0n的负值和正值概率密度相同.同一取kpnL()n1,2,得Epnh222L22m()n1,2,n\n续求解求归一化定态波函数()Y()xsindAxk+由上述结果L(x0,x)阱外Y()x0阱内L(x0)及kpnL()n1,2,d0,得AsinxpnLY()xn()n1,2,Y()xn应满足归一化条件88Y()xnx2d2xdA0LsinxpnL21得积分2dA0LsinxpnL2pnLxpnL()xpnL()2ApnL12241sin2xpnL()0L22AL1A2L归一化定态波函数Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)概率密度PY()xnn()x20L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2\n势阱问题小结能量量子化极不明显,可视为经典连续.间距太小在微观粒子可能取Esn()2+n1ph22L22m如,电子m9.1×10–31kg处在宽度10-10m(原子线度)的势阱中L算得Esn()2+n1×37.7eV能量量子化明显处在宽度10–2m(宏观尺度)的势阱中L算得Esn()2+n1×37.7×10-15eV能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看,从能级相对间隔sEnEn()2+n1n2看,则n8sEnEn()0的各种能态中,随着值增大,逐渐向经典过渡.n一维无限深势阱中的微观粒子（小结）()n1,2,n2ph22L22mEn能量量子化Enph22L22mE1称基态能或零点能相邻能级的能量间隔EsnEn+1En()2+n1ph22L22mEnn1E1n24E1E19n3波函数Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)0LX1Y()x3Y()x0LXn3Y20LX()xn2n1Y()xn,tY()xnteihEn好比驻波Enwnh0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2概率密度Pn()xY()xn20LX1()xn120LX()xn2PP30LXPn3()xPn()x0的称节点位置Pn()x极大的称最概然位置xxn增大,节点数增多,最概然位置间隔变小.很大,概率n密度趋近经典均匀分布.\n势垒一、势垒()xU0a0UX()xU0U0a))x0,x))x0a粒子在某力场中运动,若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒.按经典力学观点,在量子力学中,能量的粒子E0U不可能穿越势垒.后才能下结论.应求解定态薛定谔方程隧道效应隧道效应23-3ssss\n隧道效应二、势垒贯穿隧道效应E2mh22k102x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2E2mh22k0U()2))x0aa))x0,x区YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIIIIII(((区区(((,式中得上述微分方程的解为1()xU0a0UXIIIIII设：一矩形势垒的()xU0U0a))x0,x))x0a势能函数在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程HYEYHU+2mh22x2dd()x,一质量为、能量为E0Um的粒子由区向势垒运动I\n续上YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBC区IIIIII((((((区区1入射波()xUX0aIIIIII+反射波透射波CIII区无反射,0Y入入射波反Y反射波透Y透射波根据边界条件和处x0axY和xdYd必须连续,可求方程中各系数的关系.透射粒子数入射粒子数透射系数D透YY入22AC22为描述粒子透过势垒的概率引入e2a2kD8h2mE0U()k2为原设a为势垒宽度估算表明,,可见,粒子能穿过比其能量更高的势垒,这种现象称为势垒贯穿亦称隧道效应.这是微观粒子波动性的表现.隧道效应已被许多实验所证实,并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用.\n扫描隧道显微镜三、扫描隧道显微镜（STM）两金属的平均逸出电势垒高度210U120U+()0Ud0U120U金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面,在金属外表面附近形成电子云,电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关.若两块金属表面相距很近,至使表面的电子云发生相互重叠,此时若在两金属间加一微弱电压（操作电压）,则会有微弱的电流（隧道电流）从一金属流向另一金属,并可表示为dVTIT实验表明,只要改变0.1nm(原子直径线度）,就会引起变化一千倍左右.扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性,将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小）,在另一金属样品表面附近扫描,它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构.dITIT8VTed0UAd0U若势垒宽度和势垒平均高度分别以nm和eV为单位时,约为1.A\n续上测试样品测试样品扫描探针扫描探针电子云dITVTSi(111)表面7×7元胞的STM图像亮点表示突起,暗部表示下凹IT8VTed0UA电子测控及数据处理系统计算机显示系统XYz横向()XY分辨率达0.1nmz纵向()分辨率达0.005nm真空或介质沿XY逐行扫描的同时,自控系统根据反馈信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离,IT使保持不变.针尖的空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况.经微机编码可显示表面结构图像.STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究.是材料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器.AtomicResolutionSTMonSi(111)\n不确定关系海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学,获1932年诺贝尔物理奖rxprx（注：不确定关系又称测不准关系,在上述表达式中的和都具有统计含义,分别代表有关位置和动量的方均根偏差.）位置和动量的不确定关系rxprx2h称为海森伯位置和动量的不确定关系,它说明,同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的.微观粒子不能同时具有确定的位置和动量,位置的不确定量rx该方向动量的不确定量prx同一时刻的关系1927年,德国物理学家海森伯提出WernerHeisenberg(1901~1976)海森伯不确定关系不确定关系23-4ssss\n续上电子束j缝宽X衍射图样rxprxp电子通过单缝时发生衍射,概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量粗估其动量的不确定程度prxrx得rxprxphp即rxprxh考虑到高于一级仍会有电子出现取rxprxh从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系j衍射图样prxp单缝衍射一级暗纹条件ljsinrx德布罗意波长lhpprxsinjprx缝宽可用来粗估电子通过单缝时其位置x的不确定程度.根据右图可粗估为了减小位置测量的不确定程度,可以减小缝宽,但与此同时,被测电子的动量的不确定量却变大了.rxprxrxprx与的关系.同时为零,即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定,这是微观粒子具有波粒二象性的一种客观反映.不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限,如果在某一具体问题中,普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量,则不必考虑客体的波粒二象性,可用经典力学处理.rxprxh通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式,它表明rxprx和不可能\n例题一质量速度速度不确定量某飞行中的子弹m=0.01kgv=500m/s△v=0.1v某原子中的电子me=9.1×10–31kgve=2×106m/s△ve=0.1ve例试应用不确定关系分别估算下述电子和子弹的位置不确定量解法提要rxprx2h根据位置和动量不确定关系子弹prxsvm0.1mv0.4rx2hprxhpmv1.1×10–34(m)电子prxsvm0.1mveeee0.4rx2hprxhpmvee2.9×10–10(m)电子的位置不确定量大到与原子的线度数量级（10–10m）相同,因此,不可能精确测定电子处在原子中的位置.子弹的位置不确定量比原子的线度还要小许多个数量级,小到任何精密仪器都无法观测.因此,对宏观物体运动的描述,不受位置和动量的不确定关系的限制.\n例题二已知例106m·s-1求若以氢原子的线度10–10m作为电子一氢原子中的电子速度的数量级为电子速度的不确定量电子的质量me为9.11×10-31kg的坐标不确定量rxvrxprx2h由不确定关系因该电子速度远小于光速,可不考虑prxvemr相对论效应,用代入解法提要得emvrrx2h4pemrxh5.79×105m·s–1()vrv已大到与的大小相当.\n随堂小议（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对.不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议\n小议链接1（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对.不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议\n（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对.不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议小议链接2\n小议链接3（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对.不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议\n小议链接4（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对.不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议\n原子结构的量子理论原子结构的量子理论原子结构的量子理论第二十四章quantumtheoryofatomicstructurechapter24\n本章内容本章内容Contentschapter24氢原子的薛定谔方程Schrodingerequationofhydrogen电子的自旋spinofelectron原子的电子壳层结构electronshellstructureinatom全同粒子identicalparticles\n第一节Schrodingerequationofhydrogen氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程24-1ssss\n氢原子薛定谔方程HYEYH+2mh2sU()r2jXYzmrq核电子一、氢原子的薛定谔方程r20e4peU()r氢原子中的电子处在核的库仑场中,其势能为球对称,并且与时间无关.应用定态薛定谔方程在球坐标系中定态薛定谔方程的形式为1r2eerr2(reeY)2jeeY22r2sinq10+()qeeeeYqsinqr2sinq1+22hm(+Er20e4pe)+Y1r2rr2(r)dddRd22hm+Er20e4pe+2h2m(ll+1(r2R0波函数也是球坐标的函数,令YrqjYRHF()r()q()j用分离变量法dd2Fj2+ml2F0；qsinq1dd()qsinqdHd+2(ll+1(ml2sinqH0；得然后分别求解氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程\n能量、角量量子数本课程不深究其求解过程,仅着重讨论所得出的几点重要结论.1.能量量子化Ene0m23pe422h2n21n1,2,3,…n主量子数决定氢原子的主能量（与玻尔理论的结果一致,但这里是量子力学的求解结果,不是人为的假设.）2.角动量量子化L()+ll1hl0,1,2,…,(n1)l角量子数（副量子数）决定角动量的大小（与玻尔的人为假设有所区别,实验证明,量子力学的结果更为准确.）Lhn\n磁量子数3.角动量的空间取向量子化决定角动量的取向0,±1,±2,…,±llm磁量子数lmhLzlm角动量的空间取向是量子化的,通常设Z轴方向为某一特定方向L（外场方向）,在此特定方向上的投影的可能值为LL()+ll1h2hl1时lm0,±1hLzlm0,±hz0hhLLLL有3种可能取向它们在Z轴的投影值分别为l时2lm0,±1,±2L()+ll1hh6hLzlm0,±,h±2hLLLLLh0zh2h2hL有5种可能取向它们在Z轴的投影值分别为例如：\n氢原子电子概率分布二、氢原子核外电子的概率分布dd2Fj2+ml2F0；qsinq1dd()qsinqdHd+2(ll+1(ml2sinqH0；1r2rr2(r)dddRd22hm+Er20e4pe+2h2m(ll+1(r2R0YHFR()r()q()j氢原子核外电子的定态波函数可通过求解前面已经提到过的下述微分方程组而获得其波函数通常用下述形式表示量子数的可能取值表示氢原子核外电子所处的可能状态,nmllHFR()r()q()jYnlml(r,q,j)mlnllmlYnlml(r,q,j)2为电子处于定态时,在空间nmll(r,q,j)(,,)处出现的概率密度.F()jmlR()rnlH()qlml222为电子处于态时沿出现的概率密度.n,lrj,q为电子处于定态时沿出现的概率密度.lml为电子处于定态时沿出现的概率密度.ml\n径向概率分布示例n=2,l=0n=1,l=0电子沿径向出现的概率密度分布剖面示意图n=2,l=1r1rr1rr1r（用明暗定性示意概率密度大小）012345678910111213R()r2nln=1,l=0n=2,l=0n=2,l=10.30.10.50.40.2r1r0.6不同态的电子沿球坐标径向出现的概率密度分布曲线举例横坐标中的表示玻尔第一轨道半径r1\n角向概率分布示例qZYlml00qZYlml10qZYlml±11YZqlml2±10YZqlml2qZYlml±22H()qlml2q不同态的电子时沿角向出现的概率密度分布举例：,lml图中,从原点引向曲线某点的距离,代表在该方向上概率密度的大小.F()jml2j由量子力学计算还可以得知,概率密度与角向无关.因此,电子沿角向的概率密度分布,可用曲线,jqH()qlml2绕Z轴旋转所得的回旋面来描述.从原点引向回旋面某点的距离,代表在该方向上概率密度的大小.,jq()\n电子云示例n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=±1ml=0ml=±1ml=±2以Z为轴的回旋面上的电子云側视图n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=0ml=±1ml=±1ml=±2含Z轴的剖面上的电子云示意图综合考虑径向和角向的概率密度分布,得到,Ynlml(r,q,j)2可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象,空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比.称为电子云图.所谓“电子云”,并非表示一个电子右图为处在几种的概率密度.示在某点发现电子个空间,它只是表同时占据云图的整意图.氢原子的电子云示不同的量子态时,\n塞曼效应三、塞曼效应无外磁场时的某一谱线加外磁场后分裂成三条谱线光源光源BB外磁场外磁场分光计这里仅以一种最简单的情况为例,将锌灯置于强磁场中,在垂直于磁场的方向上观测,锌原子能级跃迁原来发射的单线,分裂成三条谱线.塞曼效应是由于具有磁矩的原子在磁场中获得附加能量,使原来的一个能级发生分裂成若干个能级,谱线亦随之分裂.这一现象也证明了角动量空间量子化的存在.若将光源置于足够强的外磁场中,它所发出的一条谱线会分裂成若干条相互靠近的谱线,这种现象是荷兰物理学家塞曼于1896年发现的,称为塞曼效应.\n续上若用玻尔的轨道模型作比喻erI+w好比圆电流2pwIe此圆电流的磁矩大小为mIpr221ewrme电子轨道角动量大小为Lmevrmewr2联立解得m2meeLmL与因反向,故mL2meeL()+ll1h在量子力学中,角动量大小量子化相应地存在磁矩量子化m()+ll1h2mee()+ll1Bm称为玻尔磁子Bm9.274×10-24J·T-1相应地存在磁矩取向量子化mz2meeLzlmBm角动量取向量子化hLzlm当沿Z轴方向对上述原子系统施以外磁场B时,磁力矩对各可能取向的做功,使原子系统获得附加能量为mmBmzBlmBmrEBllm0,±1,±2,…,±()附加能量使得原子系统原来的一个能级分裂成个能级,这是rEBl(+21)导致谱线分裂的重要因素之一.在不同光源、外磁场及观测方向的条件下,塞曼效应呈现更复杂的谱线分裂现象,对后来电子自旋的发现起了重要作用.\n第二节24-2ssssspinofelectron电子的自旋电子的自旋\n电子的自旋银原子沉积记录屏一束银原子分裂成两束一、斯特恩盖拉赫实验NS非均磁场匀银原子发射源狭缝的银原子束l=0,ml=01924年德国物理学家斯特恩和革拉赫发明了的方法测量原子的磁矩.直接用原子束通过非均匀磁场时发生偏转对于外层只有一个价电子而且处于基态的银原子,其轨道角动量为零,磁矩本应为零,这样的原子束通过磁场时不应发生偏转,但实验结果是原子束分成了对称的两这一方法不但能直接证明角动量的空间量子化和原子磁矩的量子化,而且还发现,束.这预示着原子系统中还有另一类起源的磁矩,它在外场的方向上仅有两个投影.电子的自旋电子的自旋\n自旋量子数二、电子的自旋为了解释斯特恩-革拉赫实验,1925年美籍荷兰物理学家乌仑贝克和古兹密特提出了电子自旋的概念：（1）电子除空间运动外,还有自旋运动,与之相联系的有自旋角动量和自旋磁矩.（2）自旋角动量和轨道角动量一样,均服从角动量的s普遍法则,的大小是量子化的ss()+1hsss称为自旋量子数s仅有一个值,而且是半整数：s21s故23hszmshms称为自旋磁量子数ms只能取两个值：ms+21（3）在Z轴（外磁场）方向上的投影sszh21+故\n自旋概念小结电子自旋磁矩研究表明,与电子自旋角动量相联系的自旋磁矩mssemez自旋磁矩外磁场方向上的投影mssemez+2heme+mB继斯特恩-革拉赫的基态银原子实验之后,1927年费蒲斯和泰勒用基态的氢原子做了同类实验,结果也是分成两束,电子的自旋及自旋磁矩的存在进一步被证实.电子自旋是电子的固有性质,任何经典机械运动图像都不可能确切描述这种特性.其它基本粒子也有自旋特性.其中,质子和中子的自旋量子数也是.s21电子自旋角动量zs23h0h21h21s21电子自旋量子数电子自旋角动量大小s()+1hss电子自旋磁量子数ms21+23hs在Z轴（外磁场）方向上的投影szmsh21+h简称自旋21h()\n第三节Identicalparticles24-3ssss全同粒子全同粒子\n全同粒子一、全同粒子与全同性原理全同粒子例如,所有的电子是全同粒子；所有的电质子也是全同粒子.质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子.全同性原理全同粒子体系中任何两个粒子的交换,不会引起体系状态的改变.在经典力学中,即使固有性质完全相同的两个质点,是可以根据运动轨迹对它们进行追踪并加以辨认和区分的.但在量子力学中,轨道概念对微观粒子没有意义,不可能对全同粒子进行追踪和区分,全同粒子失去了个别性.因此,全同粒子在同样的条件下其行为是完全相同的,全同粒子体系中任何两个粒子的交换,不会引起体系状态的改变.全同粒子全同粒子\n全同粒子波函数全同粒子系统的波函数在波函数一节中曾提到,波函数和描述同一状态,其概率密YY度相同.这里有必要结合全同性原理,定性地介绍一下量2YY*Y子力学中有关全同粒子系统的波函数的若干重要概念和结论.设某全同粒子系统的波函数为,将其中的任意两个粒子互换后,系Y统状态不变,但其波函数有可能仍为,也有可能是,前者称为对YY称函数,后者称为反称函数.是对称的或反对称的,而且,其对称性不随时间的改变而改变.由量子力学可以证明（略）,描述全同粒子系统的状态的波函数只能实验表明,自旋为奇数倍的粒子,如电子、质子和中子,粒子2h系统用反对称波函数描述,这类粒子称为费密子.自旋为偶数倍2h（包括零）的粒子,如光子、a粒子,粒子系统用对称波函数描述.这类粒子称为玻色子.\n泡利不相容原理二、泡利不相容原理WolfgangPauli(1900~1958)泡利WolfgangPauli(1900~1958)泡利1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现,若全同粒子系统由费密子组成,由于费密子系统的波函数是反对称函数,如果有两个粒子的状态相同,则系统的波函数为零,即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态.这一结果称为泡利不相容原理.对于原子系统,泡利不相容原理表明在一个原子中,不可能有两个或两个以上的电子具有两个完全相同的量子态.或者说,原子中的每一个量子态上最多只允许有一个电子.\n第四节electronshellstructureinatom24-4ssss原子的电子壳层结构原子的电子壳层结构\n原子的电子壳层结构名称允许取值含义主量子数n=1,2,…n磁量子数ml角量子数l=0,1,2,(-1)…nl自旋磁量子数msms=±21其值决定原子中电子的能量其值决定原子中电子的角动量.由于轨道磁矩与自旋磁矩间的相互作用,对能量也有一定影响,又称副量子数ll其值决定电子轨道角动量在外磁场中的取向其值决定电子自旋角动量在外磁场中的取向,同时还影响电子在外磁场中的能量ml=±1,±2,…l±,,0,一、四个量子数如前所述,氢原子核外电子的运动状态由四个量子数（n,l,ml,ms)决定.对于其它多电子的原子,其薛定谔方程比氢原子的情况要复杂得多,但近似计算表明,其核外电子的运动状态仍由四个量子数决定,即原子的电子壳层结构原子的电子壳层结构\n主壳层与支壳层二、原子中电子的壳层结构多电子原子核外的电子分壳层排布,同一壳层的电子具有相同的主量子数n,1,2,3,4,5,6,7,代号：K,L,M,N,O,P,Q,n=在同一壳层上角量子数相同的电子组成分壳层（或支壳层）0,1,2,3,4,5,6,代号：s,p,d,f,g,h,i,l=代号s,p,d,f,是沿用早期光谱学对某一谱线状况的称呼,f后面则接着按字母顺序排列.fundamentalf（基本的）,（strong强的）（主要的）principal如:dispersived（弥散的）,,ps,\n两条原则电子在壳层和支壳层上分布遵循下列两条原则：泡利不相容原理前面已经叙述.在这里,我们可更具体地表述为在一个原子中,任何两个电子不可能具有完全相同的一组量子数（n,l,ml,ms).能量最低原理原子处于未激发的正常状态时,在不违背泡利不相容原理的条件下,每个电子都趋向占据可能的最低能级,使原子系统的总能量尽可能的低.根据上述两个原则,可定性确定多电子原子核外电子按壳层的分布.\n壳层可容电子数计算msn3l：12ml0001-101-12-2从图中可见,n=3的主壳层中最多能容纳18个电子.+++：：：21-+2121-+2121-+2121-+2121-+2121-+2121-+2121-+2121-+21n=1,2,…l=1,2,,(-1)…nml=±1,±2,l±ms=±21四个量子数的允许取值为0,0,…,n=3的主壳层中最多能容纳几个电子？问nN2+()1Sl0n2l12+2(n21)22n2计算主量子数为n的主壳层中最多能容纳电子数的通式为由此不难得出：\n壳层可容电子数图表ln0123456spdfghi1234567KLMNOPQ2222222666666101010101014141414181818222226281832507298Nn各壳层最多可容纳的电子数主量子数为n的壳层中最多能容纳电子数为Nn2n2角量子数为l的支壳层中最多能容纳电子数为2（2l+1)\n徐光宪定则ln0123456spdfghi1234567KLMNOPQ2222222666666101010101014141414181818222226281832507298Nn各壳层最多可容纳的电子数主量子数为n的壳层中最多能容纳电子数为Nn2n2角量子数为l的支壳层中最多能容纳电子数为2（2l+1)0123456spdfghiln1234567KLMNOPQ281832507298Nn2222222101010101014141414181818222226666666电子的能量主要由主量子数n决定n越小能级越低,该壳层离核越近.电子一般按n由小到大的顺序填入各能级.但角量子数对电子的能量也有影响,使得一些较重元素的原子,有时n较小的壳层尚未填满,电子就开始填入n较大的壳层.我国科学家徐光宪总结出一条规律徐光宪定则：对原子外层的电子,能级高低由(n+0.7l)的大小来确定,其值越大,能级越高.例如,n=3,l=2的3d支壳层,(3+0.7×2)=4.4高于n=4,l=0的4s支壳层,(4+0.7×0)=4又如,n=4,l=2的4d支壳层,(4+0.7×2)=5.4高于n=5,l=0的5s支壳层,(5+0.7×0)=5,等等\n举例2s3s4s5s2p3p4p5p4d3d1s能量HHeLiBeCOFNeNaMgAlSiClKCaScTiBNPSARbSrYZrVCrMnFeCoNiCuZnGaGeAsSeBrKrNbMoTcRuRhPdAgCdInSnSbTeIXe1s22s22p63s23p64s23d104p65s137号元素Rb（铷）的电子组态：根据徐光宪定则,对原子外层的电子,能级高低由(n+0.7l)的大小来确定,其值越大,能级越高.得1s22s22p63s23p64s119号元素K（钾）的电子组态：3d4s；高于4d5s高于等等.21号元素Sc（钪）的电子组态：1s22s22p63s23p64s23d1\n元素的电子组态KLMNO1s2s2p3p3s3d4s4p4d4f……5s5p5d5f5g12345678910BN11121315141716181920…PSA37382122HHeLiBeCOFNeNaMgAlSiClKCaScTi3940…RbSrYZr12222222222222222222222222122222222222222222222222266262662126661222123456666666661222222266661234562222666610101010222266662112221s22s22p63s23p64s23d104p65s11s22s22p63s23p64s21s11s21s22s22p21s22s22p51s22s22p63s23p11s22s22p63s23p4元素的电子组态1s22s22p63s23p64s23d105s24p64d11s22s22p63s23p64s13d1
