期末测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1.2sin60°的值等于( )A．1B.C.D．22．下列函数属于二次函数的是( )A．y＝2x－1B．y＝x2＋2x－3C．y＝＋3D．y＝3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( )A．y＝3(x－3)2－3B．y＝3x2C．y＝3(x＋3)2－3D．y＝3x2－64．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A＝( )A．90°B．60°C．45°D．30°5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是( )A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是( )A．1∶3B．1∶2C．1∶4D．1∶97．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x11.11.21.31.4y－1－0.490.040.591.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )A．1B．1.1C．1.2D．1.38．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是( )13,A．abc＞0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a－b＋c＞0(第8题) (第9题)9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2020A2021，过点A1、A2、A3、…、A2020、A2021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2020、P2021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2020P2021A2021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2020、S2021，则S2021的值为( )A.B.C.D.10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )二、填空题(每题5分，共20分)11．若抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为____________________．12．若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．13．已知α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝________°.14．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝7cm，BC＝3cm，试在AB13,边上确定P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则AP的长是__________________________．三、(每题8分，共16分)15．计算：2cos45°－tan60°＋sin30°－.16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.(1)求BC的长；(2)求AC的长；(3)求∠A的大小．四、(每题8分，共16分)17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：x…－101234…y＝ax2＋bx＋c…3－13…(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(不必重新列表)(3)根据图象回答：①当1≤x≤4时，求y的取值范围；②当x取何值时，y＞0?13,18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26)五、(每题10分，共20分)19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；13,(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．六、(12分)21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶2.七、(12分)22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.13,(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2m，求每个b型活动板房的成本是多少？(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？八、(14分)23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；(2)求证：PA＝2PC；(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝h2·h3.13,答案一、1．C2．B 点拨：A.y＝2x－1是一次函数，故A错误；B.y＝x2＋2x－3是二次函数，故B正确；C.y＝＋3中自变量x的指数为－2，故C错误；D.y＝是反比例函数，故D错误．故选B.3．A4．D 点拨：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴tanA＝＝＝.又∵tan30°＝，∴∠A＝30°.故选D.5．D 点拨：∵反比例函数y＝－中k＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵y1＜0＜y2＜y3，∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)、(x3，y3)两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1.故选D.6．B 点拨：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA.又S△DOE∶S△COA＝1∶9，∴＝.∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE与S△CDE的比是1∶2.故选B.7．C8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为直线x＝－＞0，a＜0，∴a、b异号，即b＞0.13,∵由图象知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故本选项不符合题意；B．∵a＜0，b＞0，∴2a－b＜0，故本选项不符合题意；C．由图象可知，对称轴是直线x＝1，∴－＝1，∴2a＋b＝0，故本选项符合题意；D．根据图象的对称性可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，故本选项不符合题意，故选C.9．B 点拨：因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，所以由k的几何意义得，S1＝1，S2＝S1＝，S3＝S1＝，S4＝S1＝，S5＝S1＝，…依次类推：Sn的值为.当n＝2021时，S2021＝.故选B.10．C 点拨：由题意可得BQ＝x.①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，则△BPQ的面积＝BP·BQ，即y＝·3x·x＝x2，故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积＝BQ·BC，即y＝·x·3＝x，故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9－3x，13,则△BPQ的面积＝AP·BQ，即y＝·(9－3x)·x＝x－x2，故D选项错误．故选C.二、11．y＝3x2＋112．8 点拨：由＝＝＝2及等比性质知，＝＝2，∴a＋c＋e＝8.故答案为8.13．75 点拨：∵sinα＝cos15°，∴α＝90°－15°＝75°.故答案为75.14.cm或1cm或6cm点拨：设AP＝x，则BP＝7－x.∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝∠A＝90°.当∠APD＝∠BPC时，△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得x＝；当∠APD＝∠BCP时，△APD∽△BCP，∴＝，即＝，解得x＝1或x＝6.综上所述，当AP的长为cm或1cm或6cm时，以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似．故答案为cm或1cm或6cm.三、15．解：原式＝2×－＋－＝－.16．解：(1)在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝，∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，BC＝10，∴AC＝＝10.13,(3)在Rt△ABC中，sinA＝＝，又∵∠A为锐角，∴∠A＝30°.四、17.解：(1)∵由表格可知，x＝0时，y＝3；x＝2时，y＝－1；x＝4时，y＝3，∴解得∴二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)补全表格：x…－101234…y＝ax2＋bx＋c…830－103…函数图象如图所示：(3)①由(2)的函数图象可知，当1≤x≤4时，y的取值范围是－1≤y≤3；②由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，y＞0.18．解：在Rt△ABC中，∵cosα＝，∴AC＝AB·cosα，当α＝50°时，AC＝AB·cos50°≈6×0.64＝3.84(m)，当α＝75°时，AC＝AB·cos75°≈6×0.26＝1.56(m)．即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，故当梯子底端离墙面的距离AC＝2m时，人能够安全地使用这架梯子．五、19.证明：(1)∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAE，13,∴∠DAE＝∠BAC.(2)∵△ABD∽△ACE，∴＝，∴＝.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC.20．解：(1)把A(－4，2)代入y＝中，得m＝－8，则反比例函数的表达式是y＝－.把(n，－4)代入y＝－，得n＝2，则点B的坐标是(2，－4)．把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得解得则一次函数的表达式是y＝－x－2.(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围是－4＜x＜0或x＞2.六、21．解：(1)如图所示，点O即为所求．(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为＝＝.(3)如图所示，△A2B2C2即为所求．七、22．解：(1)∵AD＝4m，∴D(2，0)．由题意知EH＝4m，OH＝AB＝3m，∴EO＝EH－OH＝4－3＝1(m)，∴E(0，1)．13,把点D(2，0)，E(0，1)的坐标代入y＝kx2＋m，得解得∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋1.(2)∵GM＝2m，∴OM＝OG＝1m，当x＝1时，y＝－×12＋1＝，∴N，∴MN＝m，∴S长方形FGMN＝MN·GM＝×2＝(m2)，∴每个b型活动板房的成本是425＋×50＝500(元)．(3)根据题意，得w＝(n－500)＝－2(n－600)2＋20000，∵每月最多能生产160个b型活动板房，∴100＋≤160，解得n≥620，∵－2＜0，∴当n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有最大值，W最大值＝19200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b型活动板房所获利润最大，最大利润是19200元．八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.又∵∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠PAB.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，13,∴△PAB∽△PBC.(2)∵△PAB∽△PBC，∴＝＝.在Rt△ABC中，AB＝＝BC，∴＝，∴PB＝PC，PA＝PB，∴PA＝2PC.(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB交AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，∴∠APC＝360°－270°＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°.又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，∴∠EAP＝∠PCD.又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴＝＝2，即＝2，∴h3＝2h2.∵△PAB∽△PBC，∴＝＝，∴h1＝h2，∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h12＝h2·h3.13
