13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质（第1课时）人教版数学八年级上册
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC实际问题1导入新知
ABL实际问题2在成渝高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？成渝高速公路导入新知
3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．素养目标
你能用不同的方法验证这一结论吗？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3……到点A与点B的距离之间的数量关系.相等．ABlP1P2P3探究新知线段的垂直平分线的性质定理知识点1
猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．ABPCl探究新知猜想与证明
用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl探究新知
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．探究新知归纳总结
如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于___．ABCDE8巩固练习
解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE巩固练习∴AB=AC=CE．∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知线段的垂直平分线的判定定理知识点2
证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知
用数学符号表示为：∵PA=PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC探究新知
这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．PABCl探究新知试一试：
例如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.探究新知线段垂直平分线的判定定理的应用素养考点
如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上.ABCON巩固练习
∴点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）ABCON证明：连接OB.∵ON是AB的垂直平分线,（已知）∴OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC,（已知）∴OB=OC.（等量代换）巩固练习
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CABDKFE作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.探究新知过直线外一点作已知直线的垂线知识点3
（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？探究新知想一想
如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等．解：(1)作∠MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.巩固练习
1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）A．50°B．70°C．75°D．80°2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=度．B24连接中考
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm基础巩固题C课堂检测
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定CC课堂检测3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，则四边形ACBD的周长为cm.7.8
4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.课堂检测
1.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？能力提升题答：△ABC三边垂直平分线的交点上.课堂检测
2.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.课堂检测
如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．拓广探索题课堂检测解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14cm，∴AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.设AB＝xcm，AC＝ycm.根据题意，得解得∴AB长为8cm，AC长为6cm.
线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上集合定义线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合关系PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等课堂小结
课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
