第十三章轴对称
13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.五、课前准备\n教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺、剪刀。六、教学过程（一）导入新课甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2-3）（二）探索新知1.创设情境，探究线段垂直平分线的性质定理教师问1：在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？本问题学生独立思考，但不要求学生能解答问题.观察下边的图形教师问2：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2\nB及P3A与P3B的数量关系后回答：P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.教师问3：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.教师问4：我们如何证明猜想是否正确呢？师生共同讨论如下：（出示课件6）已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证：PA＝PB.师生共同解答如下：（出示课件7）证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB．证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)，并强调学生注意.教师总结如下：（出示课件8）语言表示：\n线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．2.探究线段垂直平分线的判定定理教师问5：把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？学生讨论后回答：点P在线段AB的垂直平分线上.教师问6：如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同讨论后总结如下：（出示课件11）已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在线段AB的垂直平分线上.师生共同解答如下：（出示课件12）证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，\n∴点P在线段AB的垂直平分线上．总结点拨：（出示课件13）用数学符号表示为：∵ PA=PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上．文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．教师问7：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？学生讨论后回答：到线段AB两端点的距离相等的点有无数个.教师问8：这些点能组成什么几何图形？学生回答：这些点组成一条直线.总结点拨：（出示课件14）在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．例1：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.（出示课件15）\n师生共同解答如下：证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.3.探究线段垂直平分线的作法教师问9：已知直线上一点P,如何过点P作直线的垂线呢？师生共同探究后解答如下：如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.教师问10：如果这一点不在直线上，在直线外如何作图呢？师生共同探究后解答如下：（出示课件18）作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.\n（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（三）课堂练习（出示课件22-27）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3\ncm，则四边形ACBD的周长为________cm.4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.7.如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．\n参考答案：1.C2.C3.7.84.AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.5.答：△ABC三边垂直平分线的交点上.6.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.7.解：∵DE垂直平分BC，\n∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14cm，∴AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.设AB＝xcm，AC＝ycm.根据题意，得解得∴AB长为8cm，AC长为6cm.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为：∵PC垂直平分AB(CA＝CB，PC⊥AB)，∴PA＝PB.2.性质2：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.用符号语言表示为：∵PA＝PB，\n∴点P在线段AB的垂直平分线上.3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线（五）课前预习预习下节课（13.1.2）教材62页到63页的相关内容。知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴.七、课后作业1、教材62页随堂练习1,22、如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点八、板书设计：\n九、教学反思：这节课在设计过程中有几个特色：1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.2.活动中多媒体展示学生的解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源.3.本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.
