专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：①若，则方程必有一根为.②若，则方程必有一根为.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为这个公式形式优美，内涵丰富：①公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；②公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程： 解：①当x≥0时，原方程化为，解得(舍)①当时，原方程化为，解得(舍)，请参照例题解方程：，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.\n例2 方程的解的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个（全国初中数学联赛试题） 解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m，n是二次方程的两个根，求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m，n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m，n的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把变形为②把变形为③把变形为其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换.例4 解关于x的方程：解题思路：因未指明关于x的方程的类型，故首先分及≠0两种情况，当≠0时，还考虑就的值的三种情况加以讨论.\n例5 已知三个不同的实数，，满足,方程和，有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根，求a，b，c的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a是正整数，如果关于x的方程的根都是整数，求a的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.能力训练A级1、已知方程可以配成的形式，那么可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式的值为0，则的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程和的较小的根分别为α，β，则＝＿＿＿.4、方程的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题）5、方程的整数解的个数是＿＿＿＿.A、2个 B、3个 C、4个 D、5个\n（山东省选拔赛试题）6、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（ ）A、1 B、2 C、1或2 D、0（德州市中考试题）7、已知a,b都是负实数，且，那么的值是（ ）A、 B、 C、 D、（江苏省竞赛试题）8、方程的解是（ ）A、 B、 C、或 D、9、已知a是方程的一个根，求的值.10、已知且，求m的值.（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.\n12、已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.B级1、已知α、β是方程的两根，则的值为＿＿＿2、若关于x的方程与只有一个公共根，则＝＿＿＿3、设a,b是整数，方程有一个根为，则=_________(全国通讯赛试题)4、用表示不大于x的最大整数，则方程解的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5、已知，那么代数式（ ）A、 B、 C、 D、6、方程的实根的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个7、已知，则代数式的值为（ ）A、1996 B、1997 C、1998 D、19998、已知三个关于x的一元二次方程恰有一个公共实根，则的值为（ ）A、0 B、1 C、2 D、3（全国初中数学联赛试题）\n9、已知，求的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程 ①及 ②（其中a，b为正整数）有一个公共根，求的值.（全国初中数学联赛试题）\n12、小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令则∴\n专题02从求根公式谈起例1－3或2例2C提示：当－1≥0时，即x≤－1或x≥1时，原方程化为－（4－）x＋7－－9＝0，解得＝4－，＝，均符合；当－1＜0时，即－1＜x＜1时，原方程可化为＋（4－）x＋7－＝0，解得＝－2，满足题意．例31991例4①当m＝1时，解得x＝2．②当m≠1时，－4ac＝12m－11．当m＞时，＝；当m＝时，x＝5；当m＜时，原方程无实根．例5为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根为α，则两式相减，得．同理可得，方程③和方程④的公共根为．∴＝1．注意到方程①的两根之积为1，则β也是方程①的根，从而＝0．又∵＝0，两式相减，得（a－1）β＝a－1．若a＝1，则方程①无实根，这与方程①有根有矛盾，∴a≠1．∴β＝1，α＝1．于是a＝－2，b＋c＝－1．又∵a－b＋c＝3，∴b＝－3，c＝2．例6解法一：∵1＋（a＋17）＋（38－a）－56＝0，∴x＝1为原方程的一个根，从而原方程可化为（x－1）＝0．①∵x为正整数，∴方程＋（a＋18）x＋56＝0的判别式Δ＝－224必为完全平方数．设－224＝（m为非负整数），则－224＝224，即（a＋m＋18）（a－m＋18）＝224＝112×2＝56×4＝28×8．又∵a＋m＋18与a－m＋18具有相同的奇偶性，且a＋m＋18＞a－m＋18，a＋m＋18＞18，∴或或解得或或又a为正整数，∴或．当a＝39时，方程①的根为－1和－56；当a＝12时，方程①的根为－2和－28．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．解法二：原方程可化为（－x）a＝56－38x－17－②，显然x≠0．当x＝1时，②式恒成立．当\nx≠1时，方程②可化为a＝＝－x－18－．∵a为正整数，∴－x－18－＞0，∴x＋18＋＜0．显然x＜0，∴＋18x＋56＞0，解得x＜－－9或－9＜x＜0．又x为整数，且x|56，∴x可取－56，－28，－2，－1．由韦达定理知（－56）×（－1）＝（－28）×（－2），若－56和－1为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－56－1，即a＝39；若－28和－2为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－28－2，即a＝12．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．A级1.＝q＋72．23．4．＝＝－1，＝－3±5．C6．B7．C8．D9．199810.m＝提示：由已知得a＋＝－4．11.假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则①－②得（m－2）（a－1）＝0，∴m＝2或a＝1．当m＝2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；当a＝1时，代入①得m＝－3，可求得公共根为x＝1．12.当k＝4或k＝8，分别求得x＝1或x＝－2．当k≠4且k≠8时，原方程可化为＝0，∴＝，＝．∵k为整数，且，均为整数，∴4－k＝±1，±2，±4，±8且8－k＝±1，±2，±4，∴k＝6，12．故k＝4，6，8，12时，原方程的根为整数．B级1．42．－13.－3提示：代入根得（7＋2a＋b）＋（－4－a）＝0．4.C提示：由题给方程－3＝2．又∵≤x，则－3≤2x，∴－2x－3≤0，则－1≤x≤3，∴只可能取值为－1，0，1，2，3．分别代入原方程解得x＝－1，，3，故原方程共有三个解．5．D6．C7．D8．D\n9．5提示：由x＝4－，得－8x＋13＝0．10.当2x－1＞0即x＞时，原方程化为－2x－3＝0，解得＝3，＝－1（舍去）；当2x－1＝0即x＝时，－4＝－4≠0，舍去；当2x－1＜0即x＜时，原方程化为＋2x－5＝0，解得＝－1－，＝－1＋＞（舍去），故所有根之和为3＋（－1－）＝2－．11.由条件知a＞1，b＞1，a≠b，解得①的两个根为a，，②的两个根为b，．∵a≠b，∴a＝③或b＝④，由③④均得ab－a－b－2＝0，即（a－1）（b－1）＝3．因为a，b均为正整数，则有或解得或代入所求值得表达式化简得＝＝256．12．x＋－3＝0令＝t，则＋2t－3＝0＝1，＝－3＝1＞0，＝－3＜0（舍）＝1，∴x＝1x＋－4＝0令＝t，则＋t－2＝0＝1，＝－2＝1＞0，＝－2＜0（舍）＝1∴x－2＝1，x＝3
