金山中学2022学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．设集合，，若，则____________．2．函数是偶函数，则____________．3．已知函数，，则____________．4．设集合，，则____________．5．已知全集，集合，则____________．6．若集合中至多只有一个元素，则实数的取值范围是____________．7．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是____________．8．若命题“存在实数，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是____________．9．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是____________．10.已知，且，则的最小值是____________．11．定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数.给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；-8-\n③若，则；④若，则；⑤若，则.其中所有正确命题的序号为____________．12.对于一切实数，若二次函数的值恒为非负数，则的最小值为____________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．下列结论正确的是…………………………………………………………………………（）(A)若，，则(B)若，，则(C)若，，则(D)若，，则14.若集合、是全集的两个子集，则“”是“”的…………（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15.设整数，集合，令集合.若和都在中，则下列选项正确的是………………………………………………………………………（）(A)，(B)，(C)，(D)，16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；-8-\n④存在三个点、、，使得为等边三角形.其中真命题的个数是……………………………………………………………………()(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）解不等式组：．18．（本题满分10分）已知集合，，，若，求的值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知两个正数满足.（1）求证：；-8-\n（2）若不等式对任意正数都成立，求实数的取值范围.20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.某森林发生火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场.已知消防员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人元，而烧毁森林损失费为元.设表示救火时间，表示去救火消防员人数.（1）求关于的函数表达式；（2）求应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.已知全集，集合，.（1）当时，求的取值范围；（2）当时，求的取值范围．-8-\n金山中学2022学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷参考答案一、填空题：1.11；2.3；3.；4．；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.①④⑤；12.3.二、选择题：13.B；14.A；15.D；16.C.三、解答题：17．解：由，得.……………………………………………………（3分）由，得.……………………………………………………（6分）故原不等式的解集为.……………………………………………………（8分）18．解：,.………………………………………………………（4分）由，得.从而，解得或.…………………………………………………………（8分）当时，，不合题意，舍去.当时，，符合题意.-8-\n故的值为.………………………………………………………………（10分）19.（1）证明：，且，.…………………………………………（4分）当且仅当，即时，等号成立.故.…………………………………………………………（5分）（2）解：由题意结合（1）可知，只须.……………（6分）当时，由不等式，得；当时，由不等式，得；当时，由不等式，得.综上，实数的取值范围是.…………………………………（10分）20．解：（1）由，得.…………………（4分）-8-\n（2）记总损失为元，则……………………………………（7分）………………………（10分）当且仅当，即时，等号成立.…………（11分）故应派27名消防员前去救火，才能使总损失最少.…………………（12分）21．解：（1），………………………………………………………………（1分）当时，，记由，即，得.即的取值范围是.…………………………………………（4分）（2）由，得.记.①当，即时，，满足题意；…（5分）②当即或时，若，则，不合题意；……………………（6分）若，则，满足题意；………（7分）③当时，的图象与轴有两个不同交点.由，知方程的两根位于1，2之间.-8-\n从而，即，故.………………（11分）综上，的取值范围是.…………………………………………………（12分）-8-
