金山中学2022学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。开始输入？输出结束否是第5题图1．已知向量若，则实数________.2．行列式中，6的代数余子式的值是_______．3．若向量且，则．4．直线经过点，且点到的距离为，则直线的方程为．5．执行右图的程序框图，如果输入，则输出的值为．6．已知直线圆，直线被圆所截得的线段长为．第7题图7．如图与的夹角为与的夹角为，,则．（用表示）8．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是_________．9．在平面直角坐标系中，已知直线，点，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是__________．10．已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为．11．已知向量、，满足，，则的最小值为_________．12．在圆上有一点，点是轴上两点，且满足,直线，与圆交于，则直线的斜率是________．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4-14-\n题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。13．“”是直线“与直线平行的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要-14-\n14．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”是不正确的，那么下列命题正确的是().坐标满足方程的点都不在曲线上；.曲线上的点的坐标不都满足方程=0;.坐标满足方程的点，有些在曲线上，有些不在曲线上；.至少有一个不在曲线上的点，它的坐标满足15．直线的倾斜角的范围是()... .OCABD第16题图16.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。若则在以下哪个范围内()三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。已知，向量满足：，求：（1）向量在向量上的投影；（2）向量的坐标.-14-\n18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。已知圆在轴上的截距为和，在轴上的一个截距为．（1）求圆的标准方程；（2）求过原点且被圆截得的弦长最短时的直线的方程．-14-\n19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分。设阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵。（1）当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求过点的直线的点方向式方程.（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线方程.20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。设直线为公海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”.-14-\n-14-\n21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第,3小题满分5分。现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义、两点间的“直角距离”为：。（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；（3）设，集合表示的是所有满足的点所组成的集合，点集，求集合所表示的区域的面积.-14-\n金山中学2022学年度第一学期高二年级数学学科期中考试参考答案（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：康晨弘 审核人：陈繁球）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。开始输入？输出结束否是第5题图1．已知向量若，则实数________.2．行列式中，6的代数余子式的值是_______．3．若向量且，则．4．直线经过点，且点到的距离为，则直线的方程为或．5．执行右图的程序框图，如果输入，则输出的值为．6．已知直线圆，直线被圆所截得的线段长为．7．如图与的夹角为与的夹角第7题图为，,则．（用表示）8．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是_________．9．在平面直角坐标系中，已知直线，点，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是___或____．10．已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为．11．已知向量、，满足，，则的最小值为______．12．在圆上有一点，点是轴上两点，且满足,直线，与圆交于，则直线的斜率是________．-14-\n二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。13．“”是直线“与直线平行的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要14．如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”是不正确的，那么下列命题正确的是().坐标满足方程的点都不在曲线上；.曲线上的点的坐标不都满足方程=0;.坐标满足方程的点，有些在曲线上，有些不在曲线上；.至少有一个不在曲线上的点，它的坐标满足15．直线的倾斜角的范围是()... .OCABD第16题图16.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。若则在以下哪个范围内()三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。已知，向量满足：，求：（1）向量在向量上的投影；-14-\n（2）向量的坐标.解：（1）（2）设则18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分。已知圆在轴上的截距为和，在轴上的一个截距为．（1）求圆的标准方程；（2）求过原点且被圆截得的弦长最短时的直线的方程．解：（1）设，则中垂线为，中垂线为，∴圆心满足∴，半径，∴圆的标准方程为．（2）时，截得的弦长最短，19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分。设阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵。（1）当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求过点的直线的点方向式方程.（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线方程.解：（1），则-14-\n点.同理点直线的点方向式为，即.（2），.设（不全为）即由题知与重合得，或，得.或即或.20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。设直线为公海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”.解：以为原点，以正东方向为轴，并以海里为单位建立直角坐标系，设，则-14-\n（1）设截获点为，则,即化简的截获点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.（2）设点在圆内部，则，化简的即.可截获区域为为领海上的圆外部，非截获区域为为领海上的圆内部。-14-\n21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第,3小题满分5分。现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义、两点间的“直角距离”为：。（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；（3）设，集合表示的是所有满足的点所组成的集合，点集，求集合所表示的区域的面积.解：（1）、、、、、、、（2）设定点坐标为定值为，“圆”的方程为则.“圆”的方程为.-14-\n（3）即点集表示以原点为中心，边长为的正方形及其内部，点集表示以点内的点为定点，为定长的“圆”及其内部.面积.-14-
