吉林省吉林市第一中学校2022-2022学年高一数学下学期第一次质量检测试题（奥训班）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、下列叙述中正确的是（）A.若为假，则一定是p假q真B．命题“”的否定是“”C．若a，b，c∈R，则“”的充分不必要条件是“a>c”D．设是一平面，a，b是两条不同的直线，若，则a//b2、若直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列命题：①是方程表示圆的充要条件；②把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数上为增函数；④椭圆的焦距为2，则实数m的值等于5.其中正确命题的序号为（）A.①③④B.②③④C.②④D.②5、P点在椭圆上运动,Q，R分别在两圆和上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为（）A.2B.4C.6D.8-12-i>5?否开始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是输出S结束6、直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.7、按右面的程序框图运行后,输出的应为（）A.B.C.D.8、已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A.B.C.D.9、如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10、已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为（）A.B.C.2D.11、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()．A．2B．2C．4D．412、是双曲线的左焦点，P是抛物线上一点，直线FP与圆相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为-12-，则双曲线的实轴长为（）A．B.C.4D．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13、设满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值为__________14、已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________15、设为抛物线的焦点，是抛物线上一点，是圆C：上任意一点，设点到轴的距离为，则的最小值为__________16、已知椭圆C的两个焦点分别为，抛物线E以坐标原点为顶点，为焦点。直线过点，且交轴于D点，交抛物线E于A，B两点若则=．三.解答题：(本大题共6道小题，共70分。）17、(本小题满分10分)（1）如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.求曲线的方程；（2）已知圆经过椭圆（）的左、右焦点、，且与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．求椭圆的方程；-12-18、（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求的最大值．19、（本小题满分12分）直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。(1)求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.20、（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=.（I）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若bn=n·an，求数列{bn}的前n项和Tn。21、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)过点分别作斜率为的两条直线，交于两点(点异于点),若，且直线与圆相切，求△的面积.22、（本题满分12分）如图，已知点M在圆O：上运动，MN⊥y轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）直线与（Ⅰ）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程．-12-吉林一中2022-2022学年度（14级）高一下学期第一次质量检测奥训班数学学科试卷及参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、下列叙述中正确的是（D）A.若为假，则一定是p假q真B．命题“”的否定是“”C．若a，b，c∈R，则“”的充分不必要条件是“a>c”D．设是一平面，a，b是两条不同的直线，若，则a//b2、若直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（A）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”-12-的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是（B）A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列命题：①是方程表示圆的充要条件；②把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数上为增函数；④椭圆的焦距为2，则实数m的值等于5.其中正确命题的序号为（D.）A.①③④B.②③④C.②④D.②5、P点在椭圆上运动,Q，R分别在两圆和上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为(C)A.2B.4C.6D.8i>5?否开始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是输出S结束8、直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是DA.B.C.D.6、.按右面的程序框图运行后,输出的应为【C】.A.B.C.D.7、已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为CA.B.C.D.9.如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，-12-是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（C.）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10、已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为（A）ABC2D11、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( B )．A．2B．2C．4D．412.是双曲线的左焦点，P是抛物线上一点，直线FP与圆相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为，则双曲线的实轴长为（C）A．B.C.4D．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13、设满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值为____5______14、已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________15、设为抛物线的焦点，是抛物线上一点，是圆C：上任意一点，设点到轴的距离为，则的最小值为____2______16、已知椭圆C的两个焦点分别为，抛物线E以坐标原点为顶点，-12-为焦点。直线过点，且交轴于D点，交抛物线E于A，B两点若则=4．三.解答题：(本大题共6道小题，共70分。）17.(本小题满分10分)如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.求曲线的方程；解：Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（2）已知圆经过椭圆（）的左、右焦点、，且与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．求椭圆的方程；（2）解：如图圆经过椭圆的左右焦点,三点共线,为圆的直径,,,………2分,，解得，………4分椭圆的方程，………5分18、（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求-12-的最大值．18.解：（1），………………………………………………………………………3分所以函数的最小正周期为．…………………………………………4分由得所以函数的单调递增区间为．……………………6分（2）由可得，又，所以。…8分由余弦定理可得，即又，所以，故，当且仅当，即时等号成立.因此的最大值为。……12分19．如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】（I）由得()因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………..12分-12-又，……………………………（4分）.……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ），.……………………………………………（8分）两式相减得：，，………………………………………（11分）.…………………………………………………………………（12分）21．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)过点分别作斜率为的两条直线，交于两点(点异于点),若，且直线与圆相切，求△的面积.解:(Ⅰ)设动圆圆心坐标为，半径为，由题可知；动圆圆心的轨迹方程为……4分(Ⅱ)设直线斜率为,则点P（1,2）在抛物线上设,恒成立，即有-12-代入直线方程可得同理可得……7分……9分不妨设.因为直线与圆相切，所以解得或1,当时,直线过点,舍当时,由；到直线的距离为，△的面积为.……12分22、如图，已知点M在圆O：上运动，MN⊥y轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）直线与（Ⅰ）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在不同两点C、D，满足，．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程．20．解析：（Ⅰ）设动点，点，因为点在圆上，所以，因为，所以，，把，代入得动点Q的轨迹方程为．4分-12-（Ⅱ）（ⅰ）联立直线l与（Ⅰ）中的轨迹方程得∴，由于有两个交点A、B，故，解得，①5分设，，AB的中点，由根与系数的关系得故AB的垂直平分线方程为，即．6分由圆O上存在两点C、D，满足，，可知AB的垂直平分线与圆O交于C、D两点，由直线与圆的位置关系可得，解得，②由①、②解得，m的取值范围是．8分（ⅱ）由（ⅰ）知所以，9分又直线与圆的相交弦，10分，由（ⅰ），故当时，取得最小值，11分故直线l方程为．12分-12-
