吉林省吉林市重点中学2022-2022学年高二下学期第一学月“教与学”质量检测数学（理）试题一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数的虚部为( )A．4iB．－4iC．4D．－42.已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)3.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( )A．1B．－1C．0D．24.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8B．0.75C．0.6D．0.455.命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2∶1，类比可得在四面体中，顶点与所对面的_____连线所得四线段交于一点，且分线段比为_____( )A．重心 3∶1B．垂心 3∶1C．内心 2∶1D．外心 2∶16.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝( )．A．0.84B．0.32C．0.16D．0.087.甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论( )工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的质量好一些8.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种9.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有-10-f(x)≥0，则的最小值为( )A．3B．C．2D．10.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出，那么你取胜的概率为( )A. B.C.D．以上都不对11.已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2( )A．大于0且小于1B．大于1C．小于0D．等于112.函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为（）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）13.下列四个命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；其中真命题是14.已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则(1－2x)n的展开式中，x4的系数为15.已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．16.设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）中，、、分别是角、、的对边，若（1）求角的值；（2）在（1）的结论下，若,求的最值18．（本题满分12分）已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an-10-}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn19．（本题满分12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.(1)求证：AE∥平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60°？20．（本题满分12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否能够在犯错概率不超过0,05的前提下认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．-10-附：K2＝.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63521.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．22.（本题满分12分）设函数(1)求函数的最小值；(2)设，讨论函数的单调性；(3)斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：．.-10-2022-2022学年下学期第一学月“教与学”质量检测数学（理科）答题卡一．选择题题号123456789101112答案DBAAACBBCACC二．填空题13.②14.56015.a≥316.y2＝4x或y2＝16x.三．解答题17.（1）所以.（2）因为所以,即18.(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1.Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以Tn＝(n－1)2n＋1.19.建系如图，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，(1)证明 ＝(，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)，＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋，又AE⊄平面DCF，∴AE∥面DCF.(2)∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0),且·＝0，||＝2.所以解得b＝3，c＝4，所以E(，3，0)，F(0，4，0)．设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，则n·＝0，n·-10-＝0，解得n＝(1，，)．又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，所以cos〈n，〉＝＝＝，得到a＝，所以当AB为时，二面角AEFC的大小为60°.20.(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们不能能够在犯错概率不超过0,05的前提下认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为X0123PE(X)＝np＝3×＝.D(X)＝np(1－p)＝3××＝.21.设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.-10-(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝，因此e＝.22．(1)解：，令，得.∵当时，；当时，，∴当时，.(2)，.①当时，恒有，在上是增函数；②当时，令，得，解得；令，得，解得.综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减.(3)证：.要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证(*).①设，则，故在上是增函数，∴当时，，即.②设，则，故在上是增函数，∴当时，，即.由①②知(*)成立，得证.-10-2022-2022学年下学期第一学月“教与学”质量检测数学（理科）答题卡一．选择题题号123456789101112答案DBAAACBBCACC二．填空题13.②14.56015.a≥316.y2＝4x或y2＝16x.三．解答题18.(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1.Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以Tn＝(n－1)2n＋1.19.建系如图，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，(1)证明 ＝(，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)，＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋，又AE⊄平面DCF，∴AE∥面DCF.(2)∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0),且·＝0，||＝2.所以解得b＝3，c＝4，所以E(，3，0)，F(0，4，0)．设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，则n·＝0，n·＝0，解得n＝(1，，)．-10-又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，所以cos〈n，〉＝＝＝，得到a＝，所以当AB为时，二面角AEFC的大小为60°.20.(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们不能能够在犯错概率不超过0,05的前提下认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为X0123PE(X)＝np＝3×＝.D(X)＝np(1－p)＝3××＝.21.设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.-10-解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝，因此e＝.则只要证，由知，故等价于证(*).①设，则，故在上是增函数，∴当时，，即.②设，则，故在上是增函数，∴当时，，即.由①②知(*)成立，得证.-10-
