长春市十一高中2022-2022年度高一下学期期中考试数学试题（文科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A．B．πC．2πD．以上都不对2.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A.2B.4C.8D.163．中，角所对的边分别为，，，则的最大值为（）A．15B．13C．D．204．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()（俯视图）（正视图）A．B．C．D．5．从正方体的条棱中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是()A．B．C．D．6．已知，且，函数只有一个零点，则与的夹角为（）A．B．C．D．-8-\n7．已知数列的前n项和满足：，且，那么（）A．1B．9C．10D．558．，且，则（）A．5B．8C．7D．69.等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为（）A．B．C．5D．10．已知的最小值是（）A．2B．2C．4D．211．三个共面且不共线向量,,两两所成的角相等，且||=1,||=2，||=3，则||等于（）A．B．6C．或6D．3或612．实数满足，设，则（）A．B．C．D．可正可负二、填空题（每小题4分，共16分）13．正方体的内切球与外接球的表面积的比为14．在中角的对边分别为，已知，则15．在正中，是边上的点，若则16．已知数列中，数列的前项和为，当整数时，都成立，则数列的前n项和为-8-\nAFBEDC（17题图）三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤）17．如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=，求AB和CD所成角的大小.(8分)18．已知数列的前项和为，.且为常数。（1）若，求证：数列为等比数列；（5分）（2）若，数列前项和为，当取何值时取最小值，并求的最小值．（5分）19．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.图分别是该标识墩的正视图和俯视图.PHGEFADCB（图1）（1）求该安全标识墩的体积；（6分）（2）求该安全标识墩的表面积.（6分）60cm40cm20cm正视图40cm40cm（图2）俯视图20．在中，已知.（1）求角的大小；（6分）（2）若,，试求的最小值.（6分）21．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角，，所对的边分别是，，.（1）若、、依次成等差数列，且公差为2，求的值；（6分）-8-\n（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．（21题图）（6分）22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金万元，以后每年投入比上年减少.本年度旅游业收入万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业的收入每年比上一年增加.（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出和的表达式；（6分）（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（注：取（6分）长春市十一高中2022-2022年度高一下学期期中考试数学答案（文科）选择题题号123456789101112答案BCADACADACAB填空题13、1：314、15、16、解答题17、解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，连结EG、FG，在△BCD中，∵∴EG∥CD同理FG∥AB∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角.（4分）在△BCD中，∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2-8-\n∴EG=1在△ABD中，∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3∴FG=2在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.（8分）18、解：时≥2时……2分……3分∴∴数列是公比为2的等比数列……5分（2）若，，但∴数列从第二项起是等比数列。∴……7分∴数列为等差数列，且≥6时，……9分∴当时，取最小值，最小值为－10……10分19、解：（1）该安全标识墩的体积为==32000+32000=64000……5分∴该安全标识墩的体积为64000……6分（2）该安全标识墩的表面积为正四棱锥的侧面积加上正四棱锥的侧面积及一个底面积。正四棱锥的侧面积=40×20×4=3200，底面积=40×40=1600正四棱锥的侧面等腰三角形的高∴四棱锥侧面积……11分∴安全标识墩的表面积……12分-8-\n20、解（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．6分（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分．．．．．9分又由得从而．．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．12分21、解：（Ⅰ）、、成等差，且公差为2，、.又，，，……3分，得，解得或.又，.……6分（Ⅱ）在中，，，，.-8-\n的周长，……10分又，,当即时，取得最大值．……12分22、解：（1）由已知，各年投入成首项为800，公比为的等比数列。∴年内总投入＝=4000……3分旅游业各年收入成首项为400，公比为的等比数列，∴年内总投入＝=1600……6分（2）设至少年旅游业总收入超过总投入，即>∴1600>4000……9分设，则即∴……11分-8-\n答：至少经过5年，旅游业的总收入能超过总投入。-8-
