长春市十一高中2022-2022学年度高二下学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数满足，等于（）A.B.C.D.2.用数学归纳法证明“”对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A.2B.3C.6D.103.记凸k边形的内角和为f(k)，则f(k＋1)－f(k)＝（）A.B.C.D.4.四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“0”、“9”，其中“9”可当6使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（）A．24B．18C．12D．65.现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有108种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生4人，女生3人B．男生3人，女生4人C．男生2人，女生5人D．男生5人，女生2人6.若为正实数，且的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中第2022项为（）A.B.C.D.7.某公司有5万元资金用于投资开发项目.如果成功，一年后可以获利12%；一旦失败，一年后将损失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例估计一年后该公司可获利（单位：万元）的期望值是（）A.0.676B.0.576C.0.476D.－0.018.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（）A.B.C.D.-8-\n9.已知函数，则中的系数为（）A.B.C.72D.50410.设随机变量～，～,若，则的值为（）A.B.C.D.11.2022年春节联欢会上有2女4男共6个节目主持人，现把他们平均分成3组主持，则2位女主持人不在同一组的概率是（）A.B.C.D.12.已知R上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有.又函数满足：对任意的，都有成立，当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围()A.或B.C.D.二、填空题（每小题5分，共30分）13.已知随机变量的分布列为X01xPm且，则.14.若，且，则.15.观察下列等式：，，，，……由以上等式推测：对于，若，则-8-\n.16.一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率是.17.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，已知他投篮一次得分的均值为1（不计其他得分情况），则的最大值为.18.存在两条直线与双曲线相交于ABCD四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为.三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.(本小题满分12分)已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求展开式中含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本小题满分12分）2022年春节期间，某超市举行了“过年七天乐”有奖购物活动，每位顾客消费100元，可享受20元的打折，并参加一次博彩游戏，游戏规则如下：掷两颗正方体骰子，点数之和为12，则获一等奖，可得元的大奖；点数之和为11或10，获二等奖，可得价值100元的礼品包；点数小于10元的不得奖.（1）求一位顾客消费100元获奖的概率；（2）如果该超市在该项活动中不能亏本，从期望的角度看值最多可设为多少？21.（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，对50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：休假次数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：(1)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；(2)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.22.（本小题满分12分）已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为3.-8-\n(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的斜率的取值范围.23.（本小题满分12分）设函数，（1）当时，求的最大值；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值.长春市十一高中2022-2022学年度高二下学期期中考试数学试题（理科答案）一、选择题（每小题5分，共60分）ACBCBDCDBBCA二、填空题（每小题5分，共30分）13.0.4914.25615.16.17.18.三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.(本小题满分12分)已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.（1）∵展开式中第6项为常数项∴由可得，解得.令，解得，∴含的项的系数为.（2）令，由且，可得或或.时，，-8-\n时，，时，.20.（本小题满分12分）（1）消费100元获一等奖的概率，获二等奖的概率为，所以一位顾客消费100元获奖的概率为.(2)设该超市收益为元，则的分布列为：X80—a80—10080P令，解得.所以该超市在该项活动中若要不亏本，则值最多可设为2380元.21.（本小题满分12分）（1）函数过点，在区间上有且只有一个零点，则必有，解得.所以或.当时，，当时，.因为与为互斥事件，所以由互斥事件有一个发生的概率公式可知.（2）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，则的可能取值为0,1,2,3.于是，，-8-\n，，.从而的分布列为：0123的数学期望为.22.（本小题满分12分）(1)由得由，解得设椭圆的标准方程为，则，解得.从而椭圆的标准方程为.（2）过的直线的方程为，，由，得，因点在椭圆内部，必有有，-8-\n所以由得，所以直线的斜率的取值范围为.23.（本小题满分12分）(1)依题意，知的定义域为，当时，令，解得.舍去当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.∴的极大值为，此即为最大值.(2)，则有在上恒成立，∴.当时，取得最大值，∴.(3)∵方程有唯一实数解，∴有唯一实数解.设，则令∵∴（舍去），当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.-8-\n当时，，取最小值.则，即∴∵∴(※)设函数∵当时，是增函数,∴至多有一解.∵∴方程(※)的解为，即，解得.-8-
