石室中学高2022届高考适应性考试三数学（理科）一、选择题：每题只有唯一正确答案，每小题5分，共50分1、设全集（）A.B.C.D.2、已知某中学高三(1)班一名同学自二诊以来每次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该名同学考试成绩的中位数、众数、极差分别为( )A．118、118、36B．111、118、131C．125、111、118D．111、118、363、复数（是虚数单位）的虚部为（）A.B.C.D.4、某四棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图是高为2的全等的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．5、已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（）A.B.C.D.6、将4名学生安排在三个不同活动小组参加活动，要求每个活动小组至少安排一名学生，则不同的安排方法种数为（）A.B.C.D.7、已知是两不同直线，是两不同平面，则下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.8、已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①（）；②；③；若，则等于()A．B．C．D．或139、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于、两点，其中点在第一象限，若，，，则的取值范围是()A. B.C．D．二、填空题：请将正确答案填写在答题卷的横线上，每小题5分，共25分11、在的展开式中，常数项为 ．12、定义在上的偶函数满足，当时，，则函数的零点个数是个．13、已知向量，若变量满足，则z的最大值为．14、设的角的对边长分别为，是所在平面上的一点，若，则点是的心（填“重”“外”“内”“垂”之一）.15．给定区间D，对于函数与及任意（其中），若不等式恒成立，则称函数相对于函数在区间D上是“渐先函数”.已知函数相对于函数在区间上是渐先函数，则实数的取值范围是.三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知函数．（1）求的周期及其图象的对称中心；（2）中，角所对的边分别是，且，求的取值范围．1317、（本题满分12分）如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面⊥平面．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）当取得最小值时，求二面角的平面角的余弦值．18．（本小题满分12分）2022年春晚上，不少创意组合都被网友称赞很有新意。王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从2022年1月23号到1月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示。序号年龄分组组中值频数(人数）频率1[20,25)22.5xs2[25,30)27.5800t3[30,35)32.520000.404[35,40)37.516000.325[40,45)[Z42.52000.04（Ⅰ）求n及表中x,s,t的值，并结合给出的算法流程图，写出求（输出结果）S的表达式（要求列式即可，不用计算），说明S的统计意义。（Ⅱ）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，再从6人中选取2人作为代表发言，记选取的2名代表中年龄在[25,30）岁的人数为随机变量，求13的分布列及期望.19、（本题满分12分）已知正项等比数列{}的前项和为，且；数列{}的前n项和满足，且.（Ⅰ）求的值和数列{an}的通项公式；（Ⅱ）试探究与的关系，并求.（其中）20、（本题满分13分）已知实数满足方程．（Ⅰ）讨论动点的轨迹的曲线形状，并说明理由；（Ⅱ）当（Ⅰ）中轨迹为圆锥曲线时，记、为其两个焦点，为此曲线上一点，当的面积为时，求；（Ⅲ）当时，过点的动直线与（Ⅰ）中轨迹相交于两不同点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．21、（本题满分14分）设函数，，（其中为自然底数）．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；（Ⅲ）数列中，，，求证：．13高2022届高考适应性考试（三）数学（理科）答题卷二、填空题：11、12、13、14、15、.三、解答题：16、（12分）17、（12分）1318、（12分）19、（12分）1320、（13分）1321、（14分）13一、选择题：BADBBCAAAB二、填空题：11、12、13、14、内15、或三、解答题：16、解：（1）由已知得：,的周期为.……3分由,故图象的对称中心为.……6分（2）由得，……8分，故的取值范围是.……12分17、（1）证明：∵ 菱形的对角线互相垂直，∴，∴，∵，∴．∵ 平面⊥平面，平面平面，且平面，∴ 平面,∵平面，∴ .∵，∴ 平面.……4分（2）如图，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设，因为，所以为等边三角形，故，.则，.所以，，，13故，所以，当时，.即所以，，设平面的法向量为由，取而平面的法向量为故当取得最小值时，二面角的平面角的余弦值为．18、解：（1）依题意则有n==5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,s==0.08,t==0.16依题意则有S＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04S的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。…………………6分（2）可能的取值为0,1,2,3.得,,，的分布列为1∴的数学期望…………12分19、解：（1）正项等比数列{}中，当时不满足，所以，…………3分由，且得…………6分(2)13由因为，；令所以所以.…………12分20、解:（Ⅰ）设,,则，由题意，知当时，轨迹表示线段；当时，轨迹表示以,为焦点，长轴长为的椭圆；当时，不成任何图形． ．．．．．．．．．3分（Ⅱ）由题意，知轨迹为椭圆时，椭圆的方程为（）设，则的面积为∴，解得，即所以，. ．．．．．．．．．．．．7分（Ⅲ）当时，（Ⅰ）中轨迹为椭圆，方程为.设点Q、A、B的坐标分别为.由题设知均不为零，记,则且13又A，P，B，Q四点共线，点P在椭圆外，从而于是，，从而，（1），（2）又点A、B在椭圆C上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得即证点总在定直线上．．．．．．．．．．．．．12分21、（Ⅰ）时，易知时、时；所以时，取最小值等于0；……4分（Ⅱ）由题Ⅰ易知，，所以；所以可设，代入得恒成立，所以，所以，；……8分此时设，则，易知，即对一切恒成立；综上，存在符合要求，它恰好是图象的公切线.……9分（Ⅲ）先证递减且；由题（Ⅱ）知，所以，即为递减数列；又，，所以，…因为当时总有，所以；所以13.……14分13
