成都市龙泉一中高2022级十月月考试题数学（理科）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数是纯虚数，则实数的值为（）．．．或．2．“”是“”的（）．充要条件 ．必要而不充分条件．充分而不必要条件．既不充分也不必要条件3．甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人，则不同分配方案共有( )．336．306．258 ．2964．执行右边的程序框图，若，则输出的（）．．．．开始?是输入p结束输出否-10-\n5．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是()6．将函数f(x)＝sinx－cosx的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是( )Ａ．B．C．D．7．(1－)8展开式中不含x4项的系数的和为( )A．－1B．0 C．1D．28.给出下列命题：①函数的定义域是（-3,0）；②在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是；③如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差为9S2；④直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交；其中真命题个数是( )A．1B．2C．3D．49．已知点M是⊿ABC的重心，若A=60°，，则的最小值为()A．B．C．D．210．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是( )A．S6B．S5 C．S4D．S3-10-\n11．函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A．B.C.D.第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的指定位置）13．某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了人．14．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1的值为_______．15．设变量x，y满足约束条件：则的最大值为_______．16．已知函数f(x)＝()x－log2x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d<a；②d>b；③d<c；④d>c中有可能成立的是________．三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(3，sinB)共线，求a，b的值．18．(本小题满分10分)某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司申报，总公司有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ-10-\n三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为、、．只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万元的投资．(1)求甲项目能立项的概率；(2)设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X，求X的概率分布列及数学期望．19.（本小题满分13分）如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，AB＝PB＝PD＝2，PC＝，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求证：PH⊥平面ABCD；(3)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．20.（本小题满分13分）如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；(2)过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)若在x＝1处取极值．求实数a的值；(2)在(1)的条件下：求函数f(x)的单调递减区间，并证明(其中n-10-\n！＝1×2×3×…×n，n∈N且n≥2)；(3)若关于x的方程f(x)＝0有两个不同的解，求实数a的取值范围．四．选考题（从下列两道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）22．（本小题满分分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．23．（本小题满分分）选修4─5：不等式证明选讲．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|.(1)求不等式f(x)＞0的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，求实数m的取值范围．成都市龙泉一中高三第二次数学（理科）月考试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。BCABCBAD BDAD 12解:设椭圆的半长轴为，椭圆的离心率为，则.双曲线的实半轴为，双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，-10-\n两式联立消去得，即，所以，又因为，所以，整理得，解得，所以，即双曲线的离心率为.二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的指定位置）13．18514．__20__15．__9__16．__①②③__16解析：易知f(x)＝()x－log2x是定义域(0，＋∞)上的减函数，故f(x)只有一个零点d.由f(a)f(b)f(c)<0及0<a<b<c知，f(a)>f(b)>f(c)有两种可能：f(a)>f(b)>0>f(c)或0>f(a)>f(b)>f(c)．所以a<b<d<c或d<a<b<c.故①②③都有可能成立.三、解答题：17.解析：(1)f(x)＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1， (3分)当2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值－2.f(x)的最小正周期为π. (5分)(2)由f(C)＝0，得C＝.又c＝，得a2＋b2－ab＝7， (7分)由向量m＝(1，sinA)与向量n＝(3，sinB)共线，得sinB＝3sinA，b＝3a. (9分)解方程组，得.(10分)18．解：解：(1)设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部门审批通过分别计为事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝． （1分）甲项目能立项的概率为：，甲项目能立项的概率为；（3分）（2）X的可能取值为0，100，200，300．（4分），，-10-\n，，（8分）X的概率分布列为：X0100200300PX的数学期望为EX＝（万元）．（10分）19.解：(1)证明：连接OE，因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC.又EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE.所以PC∥平面BDE.(4分)(2)证明：连接OP，因为PB＝PD，所以OP⊥BD.在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因为OP∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.又PH⊂平面PAC，所以BD⊥PH.在直角三角形POB中，OB＝1，PB＝2，所以OP＝.又PC＝，H为OC的中点，所以PH⊥OC.又因为BD∩OC＝O，所以PH⊥平面ABCD.(8分)(3)过点O作Oz∥PH，所以Oz⊥平面ABCD.如图，以O为原点，OA，OB，Oz所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．可得，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，P(－，0，)，E(，0，)．所以＝(－，1,0)，＝(－，0，)，＝(，0，)．(11分)设n＝(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，则，即，令x＝1，则n＝(1，，)．-10-\n设直线CE与平面PAB所成的角为θ，可得sinθ＝|cos〈n，〉|＝.所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为.(13分)20.解：(1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，C(2，)，D(－2,3)．依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．因为a＝(|AD|＋|BD|)＝4，c＝2，b2＝12，所以所求方程为＋＝1(－2≤x≤4,0≤y≤2)．(5分)(2)设这样的直线存在，其方程为y－＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋，将其代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋(8k－16k2)x＋16k2－16k－36＝0.(7分)设弦的端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝2，知x1＋x2＝4，所以－＝4，解得k＝－．所以弦MN所在直线方程为y＝－x＋2，(11分)验证得知，这时M(0,2)，N(4,0)适合条件．故这样的直线存在，其方程为y＝－x＋2.(1３分)21．解：(1)f′(x)＝－a，(1分)因为函数f′(x)在x＝1时取极值，所以f′(1)＝1－a＝0，(2分)经检验：a＝1满足f(x)在x＝1时取极大值．(3分)(2)由(1)f(x)＝lnx－x，f′(x)＝－1＝<0⇒x>1，所以[1，＋∞)为f(x)的单调递减区间，(5分)所以x≥1时，f(x)＝lnx－x≤f(1)＝－1，所以lnx≤x－1.(当且仅当x＝1时，等号成立)故ln1＝0，ln2<1，ln3<2，…，lnn<n－1，所以ln1＋ln2＋ln3＋…＋lnn＝ln(n！)<0＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，所以2ln(n！)<(n－1)n，即：ln(n！)2<(n－1)n对任意n∈N，n≥2成立．(8分)(3)关于x的方程f(x)＝0有两个不同的解，即lnx－ax＝0有两个不同的解．-10-\n方法1：因为f′(x)＝－a，所以当a≤0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)．即f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)为单调增函数，故f(x)＝0在(0，＋∞)不可能有两实根．(10分)所以a>0.令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)递增，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)递减，(12分)所以f(x)在x＝处取到极大值－lna－1.要使x>0时，f(x)与x轴有两个交点当且仅当－lna－1>0.解得0<a<，故实数a的取值范围为(0，)．(14分)方法2：f(x)＝0的零点个数⇔y＝lnx与直线y＝ax交点的个数．(9分)所以当a≤0时，y＝lnx递增与直线y＝ax下降或与x轴重合，故交点的个数为1，不合题意，(10分)所以a>0.由几何意义知y＝lnx与直线y＝ax交点的个数为2时，直线y＝ax的变化应是从x轴到与y＝lnx相切之间的情形．(11分)设切点(t，lnt)⇒k＝(lnx)′|x＝t＝，所以切线方程为：y－lnt＝(x－t)．(12分)由切线与y＝ax重合知a＝，lnt＝1⇒t＝e，a＝，(13分)故实数a的取值范围为(0，)．(14分)方法3：转化为a＝处理，根据步骤相应计分．22．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|cos∠BOM，所以ρ＝2cosθ.可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2cosθ，故ρ＝2cosθ为所求圆的极坐标方程．（5分）-10-\n(2)由(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝(x＋1)，即直线l的普通方程为x－y＋1＝0.由ρ＝2cosθ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，所以直线l与圆C相切．（10分）23．解：(1)由题知f(x)＝当x＜－时，由－x－1＞0得x＜－1，当－≤x≤0时，由3x＋1＞0得x＞－，即－＜x≤0，当x＞0时，由x＋1＞0得x＞－1，即x＞0.综上，不等式的解集是.（5分）(2)由(1)知，f(x)min＝f＝－.若存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，即m≥－.∴实数m的取值范围为.（10分）-10-
