棠湖中学高2022届高三上第二学月考试理科数学第I卷（选择题，满分60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，复数，则A．3B．1C．0D．2.设集合，，则A．B．C．D．3.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A．4B．5C．6D．4或54.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为A．B．C．D．5．“”是“”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6．已知随机变量服从正态分布，若，则等于A.B.C.D.7．已知满足，则A.B.C.D.8．设奇函数f(x)的定义域为R,且,当x时f(x)＝,则f(x)在区间上的表达式为-11-\nA．B．C．D．9．△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为A．2∶3B．1∶4C．1∶3D．1∶610.已知两点，若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为A．B．C.D．11.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A．B．C.D．12.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为A．2022B．2022C.1010D．1008第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13．设，满足约束条件，则目标函数的最小值是▲.14．二项式的展开式中常数项为▲.（用数字表达）15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是▲-11-\n16.已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则▲.．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本大题满分12分)已知在中，角、、的对边分别是、、，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求周长的最大值.18．（本小题满分12分）1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式-11-\n0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知点的纵坐标为且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；-11-\n（Ⅱ）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（III）设函数，，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建极坐标系，直线的极坐标方程为（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）射线与圆C的交点为，与直线的交点为，求的范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．-11-\n棠湖中学高2022届高三上第二学月考试理科数学答案一．选择题题号123456选项ADBBCA题号789101112选项ABCDCA二．填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（Ⅰ）∵∴由正弦定理得即∴，在中，∴∴，∵,∴（Ⅱ）由余弦定理可得：即∴∴∴，当且仅当时取等号，∴周长的最大值为6+3=918．（1）由表中数据得的观测值所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关.（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为-11-\n，如图所示设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.可能取值为0,1,2，，，的分布列为012所以．19．（Ⅰ）证明：如图3，连接，，连接，四棱锥的底面为菱形，为中点，又是中点，在中，是中位线，，又平面，而平面，平面．（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接，，-11-\n为菱形，且，为正三角形，．设，，，且为等腰直角三角形，即，，平面，且，，，如图，建立空间直角坐标系，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则，，，，，，，，，，，设为平面的一个法向量，则即可取．设为平面的一个法向量，则即可取．于是．所以平面与平面所成二面角的正弦值为．20.解：（1）由题意及抛物线定义，，为边长为4的正三角形，设准线与轴交于点，.（2）设直线的方程为，点，.-11-\n由，得，则，，.又点在抛物线上，则，同理可得.因为，所以，解得.由，解得.所以直线的方程为，则直线过定点.21.⑴的增区间为；减区间为.⑵令要使恒成立，只需当时，令，则对恒成立-11-\n在上是增函数，则①当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；②当时，在上有实根,在上是增函数则当时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，即.⑶设切点坐标为，则切线斜率为从而切线方程为令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为..22.解：（Ⅰ）圆C的普通方程是又所以圆C-11-\n的极坐标方程是（Ⅱ）设则由设且直线的方程是则有所以23．证明：（1）因为．所以．（2）方法1：由（1）及得．因为，．于是．方法2：由（1）及得．因为，所以．故．-11-
