天津一中2022-2022学年高三年级四月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分）1．复数（）．A．B．C．D．2．实数，满足不等式组,则有（）．A．B．C．D．3．对任意非零实数，，若的运算原理如图示，则的值为（）．A．B．C．D．4．设则（）．A．B． C． D．5．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）．A．B．C．D．6．对于任意实数,<>表示不小于的最小整数，例如<1．1>=2,<>=,那么“”是“<>=<>”（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件-8-7．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）．A．B．C．D．8．平面直角坐标系内，已知点，点在函数的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（ ）．A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知三元实数集，且,则的值为．10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是．11．已知各项为正数的数列满足()，且是的等差中项，则数列的通项公式是．12．设、为的两点，且满足=+,则__________．13．如图，已知⊙的直径，为圆周上一点，，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则-8-的长为．14．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题：15．（本小题满分13分）2022年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．系统抽样16．（本小题满分13分）在中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长．17．（本小题满分13分）如图，底面△为正三角形的直三棱柱中，，，是的中点，点在平面内，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大小．-8-18．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足．（1）求和；（2）记数列，若的前项和为，求证．19．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值．20．（本小题满分14分）已知椭圆:的一个焦点为且过点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1-5ADCCB6-8BBA二、填空题（每小题5分，共30分）9．210．11．-8-12．13．14．（-4，2）三、解答题：15．（本小题满分13分）解：（I）系统抽样（II）2名（III）16．（本小题满分13分）解：（I）cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=-cosBcosC-sinBsinC=-cos(B+C)=--8-∵0°<b+c<180°,∴b+c=120°∵a+b+c=180°,∴a=60°（ii）∵sin=,∴cos=∴sinb=2sincos=由得b=17．（本小题满分13分）解：（ⅰ）如图，取的中点，连结，，∴，．又，，，∴平面．又，∴．∵，∴．（ⅱ）连结，在中，，，为中点，∴，．∴，∴四边形为平行四边形．∴．又，∴．又∵面，-8-∴平面．（ⅲ）二面角的大小为．18．（本小题满分13分）解：（1）因为，，所以，所以；又，所以，得，所以。（2）因为，所以而，所以。19．（本小题满分14分）解：（i）f’(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2x当a>1时，lna>0当x∈（0，+∞）时，ax-1>0,2x>0∴f’(x)>0∴f(x)在（0，+∞）↑（II）当a>1时，x∈（-∞，0）时ax-1<0,2x<0f’(x)<0∴f(x)在（-∞，0）↓当0<a<1时,x∈（0，+∞）时lna<0,ax-1<0,f’(x)>0,f(x)在（0，+∞）↑x∈（-∞，0）时,ax-1>0,lna<0f’(x)<0,f(x)在（-∞，0）↓∴当a>0且a≠1时，f(x)在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点.-8-f(x)min=f(0)=1若y=[f(x)-t]-1有三个零点即|f(x)-t|=1f(x)=t±1有三个根t+1>t-1∴t-1=f(x)min=1∴t=220．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意得，，解得，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，其中，直线:，令，得；直线:，令，得.设圆的圆心为，半径为，则，，而，所以，所以，所以，即线段的长为定值.-8-</a<1时,x∈（0，+∞）时lna<0,ax-1<0,f’(x)></b+c<180°,∴b+c=120°∵a+b+c=180°,∴a=60°（ii）∵sin=,∴cos=∴sinb=2sincos=由得b=17．（本小题满分13分）解：（ⅰ）如图，取的中点，连结，，∴，．又，，，∴平面．又，∴．∵，∴．（ⅱ）连结，在中，，，为中点，∴，．∴，∴四边形为平行四边形．∴．又，∴．又∵面，-8-∴平面．（ⅲ）二面角的大小为．18．（本小题满分13分）解：（1）因为，，所以，所以；又，所以，得，所以。（2）因为，所以而，所以。19．（本小题满分14分）解：（i）f’(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2x当a>
