第五次月考数学文试题【天津版】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件，互斥，那么·如果事件，相互独立，那么·柱体的体积公式·锥体的体积公式其中表示柱（锥）体的底面面积表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为，集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设是公比为的等比数列，则“”是“为递减数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件开始输出K,S结束是否（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的和值分别为8（A），（B），（C），（D），（4）设，，，则（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线：的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（A）（B）（C）（D）（6）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A）（B）（C）（D）（7）若，，，则下列不等式中①；②；③；④.对一切满足条件的，恒成立的序号是（A）①②（B）①③（C）①③④（D）②③④（8）在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为.（10）是虚数单位，复数.（11）一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为.8（12）函数的单调递减区间为.（13）过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线依次交圆于，.若，，，则.（14）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）某校书法兴趣组有名男同学，，和名女同学，，，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学女同学现从这名同学中随机选出人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同)．（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设为事件“选出的人来自不同年级且性别相同”，求事件发生的概率．（16）（本小题满分13分）设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．（17）（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形中，已知,,,,现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点,分别为棱,的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.证明：平分线段(其中为坐标原点)．（19）（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.（20）（本小题满分14分）已知，函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：方程在区间（2，）上有唯一解；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的且，使=，证明：．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B（6）C（7）C（8）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）（10）（11）（12）（13）（14）8（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，所以，…………1分由余弦定理得，…………3分所以由正弦定理可得.…………5分因为，，所以，即.…………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得.…………8分因为，所以.…………10分故.…………13分（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在图甲中由且得,即在图乙中，因为平面平面，且平面平面＝所以⊥底面，所以⊥．…………2分又，得⊥,且…………3分所以平面．…………4分（Ⅱ）解法1：由、分别为、的中点得//，又由（Ⅰ）知，平面，8所以⊥平面，垂足为点则是与平面所成的角…………6分在图甲中，由,得,设则,,,…………8分所以在中，即与平面所成角的正弦值为．…………9分解法2：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，…………6分可得,,,，，所以,…………8分设与平面所成的角为由（Ⅰ）知平面所以即…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知⊥平面，又因为平面，平面，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角…………11分在中，所以即所求二面角的余弦为．…………13分（18）（本小题满分13分）8（Ⅰ）解：由已知可得，…………2分解得，，…………4分所以椭圆的标准方程是.…………6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率.当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式．…………8分设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得，其判别式.所以，，.…………10分设为的中点，则点的坐标为.所以直线的斜率，又直线的斜率，…………12分所以点在直线上，因此平分线段.…………13分（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为，，，由题意得，解得，所以.…………6分（Ⅱ）解：由题意可知，.……8分当为偶数时，8.…………11分当为奇数时，.…………14分所以.（或）（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数的定义域，…………2分令得：，令得：…………4分∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为…………5分（注：检验的函数值异号的点选取并不唯一）（Ⅲ）证明：由及（Ⅰ）的结论知，…………10分从而在上的最大值为（或），…………11分又由，，，知．…………12分故，即．…………13分从而．…………14分8
