第五次月考数学理试题【天津版】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件，互斥，那么·如果事件，相互独立，那么·柱体的体积公式·锥体的体积公式其中表示柱（锥）体的底面面积表示柱（锥）体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）是虚数单位，表示复数的共轭复数．若，则（A）（B）（C）（D）（2）设是公比为的等比数列，则“”是“为递减数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件11开始输出K,S结束是否（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的和值分别为（A），（B），（C），（D），（4）函数的单调递减区间为（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线：的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（A）（B）（C）（D）（6）设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，.则的值为（A）（B）（C）（D）（7）若，，，则下列不等式中①；②；③；④.对一切满足条件的，恒成立的序号是（A）①②（B）①③（C）①③④（D）②③④（8）在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（A）（B）（C）（D）11第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为.（10）一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为.（11）若二项式的展开式中的系数是，则实数.（12）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程是(为参数)，圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为.（13）过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线依次交圆于，.若，，，则.（14）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.（16）（本小题满分13分）某批产品成箱包装，每箱件.一用户在购进该批产品前先取出箱，设取出的箱中，第一，二，三箱中分别有件，件，件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）在取出的箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（Ⅱ）在取出的箱中，若该用户再从每箱中任意抽取件产品进行检验，用表示抽检的件产品中二等品的件数，求的分布列及数学期望.11（17）（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形中，已知,,,,现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点，分别为棱，的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，①证明：平分线段(其中为坐标原点)，②当值最小时，求点的坐标．（19）（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.（20）（本小题满分14分）11已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）确定与的关系；（Ⅱ）试讨论函数的单调性；（Ⅲ）证明：对任意，都有成立．参考答案三、解答题：本大题共6小题，共80分.（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为+,所以…………2分.…………4分由于,依题意得,所以.…………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,所以.…………8分当时,,所以,即,…………12分11故在区间的最小值为.…………13分（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设表示事件“从第三箱中有放回地抽取次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为，…………2分故.…………5分（Ⅱ）解：可能的取值为，，，．…………6分，，，.…………10分的分布列为…………11分数学期望为.…………13分（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在图甲中由且得,即在图乙中，因为平面平面，且平面平面＝所以⊥底面，所以⊥．…………2分又，得⊥,且…………3分所以平面．…………4分（Ⅱ）解法1：由、分别为、的中点得//，又由（Ⅰ）知，平面，所以⊥平面，垂足为点则是与平面所成的角…………6分在图甲中，由,得,设则,,,…………8分11所以在中，即与平面所成角的正弦值为．…………9分解法2：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，…………6分可得,,,，，所以,…………8分设与平面所成的角为由（Ⅰ）知平面所以即…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知⊥平面，又因为平面，平面，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角…………11分在中，所以即所求二面角的余弦为．…………13分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知可得，…………2分解得，，…………4分所以椭圆的标准方程是.…………5分11（Ⅱ）①证明：由（Ⅰ）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率.当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式．…………6分设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得，其判别式.所以，，.…………8分设为的中点，则点的坐标为.所以直线的斜率，又直线的斜率，所以点在直线上，因此平分线段.…………9分②解：由①可得，，…………10分…………12分当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．11故当最小时，点的坐标是或．…………13分（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为，，，由题意得，解得，所以.…………6分（Ⅱ）解：由题意可知，.……8分当为偶数时，.…………11分当为奇数时，.…………14分所以.（或）（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：所以…………3分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得…………4分因为函数的定义域为所以当时，在上恒成立，由得，由得，11即函数在上单调递增，在单调递减；…………5分当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；…………6分若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；…………7分若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，…………8分综上得：当时，函数在上单调递增，在单调递减；当时，函数在，单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在单调递减．……9分（Ⅲ）证法1：由（Ⅱ）知当时，函数在单调递增，所以，即，………11分令，则，…………12分即…………14分证法2：构造数列，使其前项和，则当时，，…………11分显然也满足该式，11故只需证…………12分令，即证，记，则，在上单调递增，故，所以成立，11
