安徽省六安市舒城中学2022-2022学年高一上学期第二次统考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁UA）∪B为（ ）A.{2,4，5}B.{1,3，4}C.{1,2，4}D.{2,3，4，5}2.设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（ ）A.f：x→y=12xB.f：x→y=13xC.f：x→y=14xD.f：x→y=16x3.已知f（x）=f(x+3)(x<7)x−5(x≥7)（x∈N），那么f（3）等于（ ）A.2B.3C.4D.54.若函数y=x2+（2a-1）x+1在区间（-∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）A.[−32,+∞)B.(−∞,−32]C.[32,+∞)D.(−∞,32]5.函数y=f（x）的定义域是[-1，3]，则函数g（x）=f(2x−1)x+2的定义域是（ ）A.[0,2]B.[−3,5]C.[−3,−2]∪(−2，5]D.(−2,2]6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为y=2x2-1，值域为{1，7}的“合一函数”共有（ ）A.10个B.9个C.8个D.4个7.下列函数是奇函数的为（ ）①f（x）=-4x；②g（x）=x3−7x−1,x≥0x3−7x+1,x<0；③h（x）=2−x22−|x+2|；④φ（x）=9−x2-x2−9A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④8.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式2f(x)+f(−x)5x＜0解集是（ ）A.(−∞,−2)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(0,2)C.(−2,0)∪(2,+∞)D.(−2,0)∪(0,2)9.定义在R上的偶函数f（x），对任意的实数x都有f（x+4）=-f（x）+2，且f（-3）=3，则f（2022）=（ ）A.−1B.3C.2022D.−402810.已知函数y=f（x）在R上单调递减，且图象过（2，-1）与（-3，5）点，则不等式|f（2m-1）-2|≤3的解集为（ ）A.[−1,+∞)B.(−∞,32]C.[−1,32]D.R11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为（ ）A.(−∞,0)B.(0,+∞)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11/121.设函数f(x)=(x2−8x+c1)(x2−8x+c2)(x2−8x+c3)(x2−8x+c4)，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1-c4=（ ）A.11B.13C.7D.9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.已知f（2x-1）=x2-x，则f（x）=______．3.已知函数y=|x|（1-x），那么函数f（x）的单调增区间是______．4.已知函数f（x）=ax5-bx+|x|-1，若f（-2）=2，求f（2）=______．5.已知函数f（x）=4x−x2,x<0x2+4x,x≥0若f（2-a2）＞f（a），则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）6.已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-18≥0}，B={x|x+5x−14≤0}．（1）求（∁UB）∩A．（2）若集合C={x|2a＜x＜a+1}，且B∩C=C，求实数a的取值范围．7.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）的解析式；（2）写出函数f（x）的单调区间和值域．8.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过1500元的部分3超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20（1）若某人一月份应缴纳此项税款为280元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？（2）假设某人一个月的工资、薪金所得是x元（0＜x≤10000），试将其当月应缴纳此项税款y元表示成关于x的函数．11/121.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．2.已知y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，此函数满足对定义域内的任意实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，当x＞1时，f（x）＞0．（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）如果f（x）+f（2-x）≥2，求x的取值范围．3.对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）若函数g(x)=mx+x2+2x+n是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．11/12答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，∴∁UA={2，5}，∵B={2，4}，∴（∁UA）∪B={2，4，5}．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B、C、D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B、C、D满足映射的定义，故选：A．通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．本题考查映射的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．3.【答案】C【解析】解：f（x）=（x∈N），那么f（3）=f（3+3）=f（6）=f（6+3）=f（9）=9-5=4．故选：C．利用分段函数的解析式，逐步求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．4.【答案】B【解析】解：∵函数y=x2+（2a-1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（-∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤-故选：B．由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a-1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．11/12本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．5.【答案】A【解析】解：函数y=f（x）的定义域是[-1，3]，要使函数g（x）=有意义，可得，解得：0≤x≤2．∴函数g（x）的定义域是[0，2）．故选：A．利用函数的定义域，列出不等式组求解即可．本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．6.【答案】B【解析】解：由题意知“合一函数”是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=2x2-1，值域为{1，7}，它的定义域可以是{1，2}，{1，-2}，{-1，2}，{-1，-2}，{1，-1，2}，{1，-1，-2}，{1，2，-2}，{-1，2，-2}，{1，-1，2，-2}共有9种不同的情况，故选：B．根据新定义，函数解析式为y=2x2-1，求出满足值域为{1，7}的所有定义域即可．本题考查了对新定义的理解和运用，定义域和值域的关系和求法，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析题目中的函数：对于①f（x）=-，为反比例函数，是奇函数；对于②g（x）=，不满足g（-x）=-g（x），不是奇函数；③h（x）=，则有2-x2≥0，解可得-≤x≤，则其定义域为[-，]，则有h（x）=，有h（-x）==-h（x），为奇函数；④φ（x）=-，有，解可得x=±3，即函数的定义域为{-3，3}，则φ（x）=0，（x=±3），为奇函数；则奇函数为①③④；故选：A．根据题意，依次分析4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判定，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】11/12解：∵对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有＜0，∴此时函数f（x）为减函数，∵f（x）是偶函数，∴当x≥0时，函数为增函数，则不等式＜0等价为＜0，即xf（x）＜0，∵f（-2）=-f（2）=0，∴作出函数f（x）的草图：则xf（x）＜0等价为或，即x＜-2或0＜x＜2，故不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，2）．故选：B．根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵对任意的实数x都有f（x+4）=-f（x）+2，令x=-1，则f（3）=-f（-1）+2=3，∴f（-1）=-1，又由f（x+8）=f[（x+4）+4]=-f（x+4）+2=-[-f（x）+2]+2=f（x），故函数f（x）是周期为8的周期函数，故f（2022）=f（-1）=-1，故选：A．对任意的实数x都有f（x+4）=-f（x）+2，可得函数是周期为8的周期函数，结合f（-3）=3，可得f（2022）的值．本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知分析出函数是周期为8的周期函数，是解答的关键．10.【答案】C【解析】解：令t=f（2m-1），则|t-2|≤3，故-3≤t-2≤3，解得：-1≤t≤5，故-1≤f（2m-1）≤5，故f（2）≤f（2m-1）≤f（-3），故-3≤2m-1≤2，解得：-1≤m≤，故选：C．令t=f（2m-1），求出t的范围，根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查解不等式以及转化思想，是一道常规题．11.【答案】C【解析】11/12解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），即x1[f（x1）-f（x2）]＜x2[f（x1）-f（x2）]，即（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，故函数f（x）在R上是减函数．再根据函数为奇函数，可得f（0）=0，故由f（1-x）＜0，可得1-x＞0，求得 x＜1，故选：C．由题意可得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，函数f（x）在R上是减函数．再根据函数为奇函数，可得f（0）=0，故由f（1-x）＜0，可得1-x＞0，由此求得x的范围本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：由根与系数的关系知xi+yi=8，xi•yi=ci，这里xi，yi为方程x2-8x+ci=0之根，i=1，…，4．又∵M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，由集合性质可得（xi，yi）取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），又c1≥c2≥c3≥c4，故c1=16，c4=7∴c1-c4=9故选：D．由已知中集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x7}⊆N*，结合函数f（x）的解析式，及韦达定理，我们易求出c1及c4的值，进而得到答案．本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，其中根据韦达定理，求出c1及c4的值，是解答本题的关键．13.【答案】14（x2-1）【解析】解：设2x-1=t，则x=（t+1），∴f（t）=-（t+1）=（t2-1），即f（x）=（x2-1）．11/12故答案为：（x2-1）用换元法，设2x-1=t，用t表示x，把x的解析式代入f（2x-1），得f（t）即可．本题考查了用换元法求函数解析式的知识，是基础题．14.【答案】[0，12）【解析】解：函数y=|x|（1-x）=，函数的图象如图：x＜0时，函数是减函数，x≥0时，y=x-x2，开口向下，对称轴为x=，所以函数的单调增区间为：[0，）．故答案为：[0，）．化简函数为分段函数，利用二次函数的性质求解函数的单调区间即可．本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．15.【答案】0【解析】解：函数f（x）=ax5-bx+|x|-1，若f（-2）=2，可得：-32a+2b+1=2，f（2）=32a-2b+1=-1+1=0故答案为：0，利用函数的解析式，结合已知条件直接求解函数值即可．本题考查函数的解析式以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．16.【答案】（-2，1）【解析】解：函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x-x2，由二次函数的性质知，它在（-∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R上的增函数∵f（2-a2）＞f（a），∴2-a2＞a解得-2＜a＜1实数a的取值范围是（-2，1）故答案为：（-2，1）先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2-a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a的取值范围，属于中档题．11/1217.【答案】解：（1）全集U=R，集合A={x|x2-3x-18≥0}=（-∞，-3]∪[6，+∞），B={x|x+5x−14≤0}=[-5，14），∴∁UB=（-∞，-5）∪[14，+∞），∴（∁UB）∩A=（-∞，-5）∪[14，+∞），（2）∵B∩C=C，∴C⊆B，当C≠∅时，2a≥a+1，解得a≥1，当C≠∅时，2a＜a+1a+1≤142a≥−5，解得-52≤a＜1，综上a≥-52．【解析】（1）分别化简集合A，B，再根据集合的补集和交集运算计算即可，（2）由题意得到C⊆B，分当C=∅时和C≠∅两种情况解决即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.【答案】解：（1）根据题意，设x＞0，则-x＜0，则f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）=x2-2x，则f（x）=x2−2x,x>0x2+2x,x≤0；（2）由（1）的结论，f（x）=x2−2x,x>0x2+2x,x≤0；当x＞0时，f（x）=x2-2x=（x-1）2-1，则其在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，且有f（x）≥-1；又由f（x）为偶函数，则f（x）在（-1，0）上为增函数，在（-∞，-1）上为减函数，且有f（x）≥-1；综合可得：f（x）的递增区间为（-1，0）和（1，+∞），递减区间为（-∞，-1）和（0，1）；值域为[-1，+∞）．【解析】（1）根据题意，设x＞0，则-x＜0，由函数的解析式可得f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，又由偶函数的性质可得f（x）=f（-x）=x2-2x，综合可得答案；（2）由（1）的结论，f（x）=，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．19.【答案】解：（1）当他当月的工资、薪金所得为5000元时，应交税（5000-3500）×3%=45（元），当他当月的工资、薪金所得为5000到8000元时，应交税最多为45+3000×10%=345（元），11/12现某人一月份应缴纳此项税款为280元，则他当月的工资、薪金所得为5000到8000元，由280-45=235，5000+235÷10%=7350（元），故他当月的工资、薪金所得是7350元；（2）当0＜x≤3500时，y=0；当3500＜x≤5000时，y=（x-3500）×3%=0.03x-105；当5000＜x≤8000时，y=1500×3%+（x-5000）×10%=0.1x-455；当8000＜x≤10000时，y=1500×3%+3000×10%+（x-8000）×20%=0.2x-1255．综上可得，y=0，0＜x≤35000.03x−105，3500＜x≤50000.1x−455，5000＜x≤80000.2x−1255，8000＜x≤10000．【解析】（1）考虑当他当月的工资、薪金所得为5000元时，应交税45元，当他当月的工资、薪金所得为5000到8000元时，应交税最多为345（元），则他当月的工资、薪金所得为5000到8000元，由税率交税可得；（2）分别讨论当0＜x≤3500时，当3500＜x≤5000时，当5000＜x≤8000时，当8000＜x≤10000时，根据图表，运用分段累进，计算即可得到．本题考查分段函数的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．20.【答案】解：（1）由f（0）=2可知c=2，又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两实根．∴1+2=1−ba2=ca，解得a=1，b=-2∴f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，f（x）min=f（1）=1，即m=1；当x=-2时，f（x）max=f（-2）=10，即M=10．（2）由题意知，方程ax2+（b-1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，根据韦达定理得到：1+1=1−ba1=ca，即c=ab=1−2a，∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其对称轴方程为x=2a−12a=1-12a又a≥1，故1-12a∈[12，1)∴M=f（-2）=9a-2m=f(2a−12a)=1−14a则g（a）=M+m=9a-14a-1又g（a）在区间[1，+∞11/12）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=314【解析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）-x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[-2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．（2）由集合A={1}，得到方程f（x）-x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[-2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a--1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．21.【答案】解：（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；再令x=y=-1，则f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0．对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1），所以f（-x）=f（x）．又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（2）不妨设0＜x1＜x2，则x2x1＞1，有f（x2x1）＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2x1）＞0，故f（x1）＜f（x2），则f（x）在（0，+∞）上为增函数．又因为f（x）为偶函数，故f（x）在（-∞，0）上为减函数，综上f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2．∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，∴原不等式等价于f[x（2-x）]≥f（4）．又函数f（x）为偶函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴原不等式又等价于x（2-x）≥4或x（2-x）≤-4，解得：x≤1-5或x≥1+5．【解析】（1）令x=y=1，可得f（1），再令x=y=-1，结合条件得到f（-x）=f（x），判断即可；（2）根据函数单调性的定义判断即可；（3）令x=y=2，求得f（4）=2，原不等式等价于f[x（2-x）]≥f（4）．再由偶函数和单调性的定义，即可得到不等式，解出即可．本题抽象函数的奇偶性和单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f1（x）=1．当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f1（x）是“平底型”函数．对于函数f2（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x-2＞2．11/12所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．故f2（x）不是“平底型”函数；（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，都有g（x）=mx+x2+2x+n=c，即x2+2x+n=c-mx所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）所以m2=1−2cm=2c2=n，所以m=1c=−1n=1或m=−1c=1n=1…（14分）①当m=1c=−1n=1时，g（x）=x+|x+1|．当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数…（16分）②当m=−1c=1n=1时，g（x）=-x+|x+1|．当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）综上分析，m=1，n=1为所求…（18分）【解析】（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，欲判断其是否是“平底型”函数，只须什么f1（x）＞1是否恒成立，对于函数f2（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x-2＞2，故可得结论；（2）函数g（x）=mx+是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，等价于x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数即可解决问题．本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是利用恒成立结论等式，从而可得参数的值，属于难题．11/12
