安徽省宿松县凉亭中学2022届上学期高三第二次月考数学试卷（理）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.等差数列中，，，则的前8项的和为()A.32B.64C.108D.1283.已知，，，则a，b，c的大小关系是()A.B.C.D.4.已知，，∥，则=()A.B.5C.D.5.平面向量满足，且，，则在方向上的投影为()A.B.2C.D.6.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中，若函数的极大值是，则的面积等于()A.1B.C.2D.7.已知，，则=()A.B.C.D.8.下列说法中正确的是()A.若命题：，，则：，.B.命题：“若，则或”的逆否命题是：“若且，则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p：若，则是的充分不必要条件；命题q：若幂函数的图像过点，则.则是假命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图像，则下列正确的是()12\nA.的周期是B.是奇函数C.的图像关于点对称D.在区间上单调递增10.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形11.定义在R上的函数满足，其中是的导函数，为自然对数的底数，则下列正确的是()A.B.C.D.12.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且，则_________.14.在正方形ABCD中，M是BD的中点，且，函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线（为自然对数的底数），则实数a的取值范围是__________.15.等比数列中，、是关于x方程的两个根，其中点在直线上，且，则的值是_______.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列满足.12\n（1）求数列的通项公式；（2）令，，求证：.18.（本小题满分12分）如图，是圆的直径，是圆上异于A、B的一个动点，垂直于圆所在的平面，∥，，．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）如图，设椭圆C：的离心率，椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.12\n21.（本小题满分12分）已知函数,=.（1）当，存在x0[，e]（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；（2）当时，设，在的图象上是否存在不同的两点A，B，使得?请说明理由.请考生从22、23题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1）求长；（2）当时，求证：.23.(本小题满分10分)选修4—5：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为C2．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求曲线C2上的点到直线的距离的最大值．24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.12\n参考答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【命题意图】本题旨在考查集合的运算、函数的定义域、解不等式，属容易题.【解析】,,，选A.2.等差数列中，，，则的前8项的和为()A.32B.64C.108D.128【答案】B【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和，性质，属容易题.【解析】,，选B.3.已知，，，则a，b，c的大小关系是()A.B.C.D.【答案】A【命题意图】本题考查幂（或指数函数）和对数函数的单调性，属容易题.【解析】，由在R上单调递增，得>，又，，故选A.4.已知，，∥，则=()A.B.5C.D.【答案】D【命题意图】本题考查向量共线向量定理、模长计算和坐标运算，属容易题.【解析】∥，选D.5.平面向量满足，且，，则在方向上的投影为()A.B.2C.D.【答案】C【命题意图】本题旨在考查向量的数量积运算、投影的概念.【解析】，选C.6.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中，若函数的极大值是，则的面积等于()A.1B.C.2D.【答案】B【命题立意】本题综合导数的极值的知识考查解三角形的有关知识.【解析】，易知，12\n从而，选B.7.已知，，则=()A.B.C.D.【答案】C【命题立意】本题考查三角恒等变形、涉及公式的逆用、角的变换，体现简化计算的思想，属中等题.【解析】,,原式，选C.8.下列说法中正确的是()A.若命题：，，则：，.B.命题：“若，则或”的逆否命题是：“若且，则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p：若，则是的充分不必要条件；命题q：若幂函数的图像过点，则.则是假命题.【答案】B【命题立意】本题考查命题、充要条件和逻辑等有关知识，综合题较强.【解析】A选项错误，：，；C选项错误，是的充分不必要条件；D选项错误，命题p、q均为真，则为真命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图像，则下列正确的是()A.的周期是B.是奇函数C.的图像关于点对称D.在区间上单调递增【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属中等题.【解析】的周期显然是，A错；是偶函数，B错；，一个对称中心是，C错；D是正确的.12\n10.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【答案】C【命题立意】本题重点考查正、余弦定理和基本不等式求最值，难度中等．【解析】，故(当且仅当)，此时，故选C.注：排除法也可以.11.定义在R上的函数满足，其中是的导函数，为自然对数的底数，则下列正确的是()A.B.C.D.【答案】B【命题立意】本题考查导数的运算及构造函数思想，函数的单调性以及不等式思想，属中等偏难题.【解析】，是增函数，，，即A、B错误；C、D一对一错，对于C:，两边同时加，得，故选C.12.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及数形结合、方程、转化思想，属难题.【解析】的图像如图所示，，当时，的最大值是2,；当时，的最小值是0，是部分图像的渐近线.设，依题意，符合题意有两种情况：(1)，此时，则；12\n(2)，，此时，则；综上，，选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且，则_________.【答案】0.【命题立意】本题考查对称性、周期性，属容易题.【解析】由已知，对称中心，则，.14.在正方形ABCD中，M是BD的中点，且，函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线（为自然对数的底数），则实数a的取值范围是__________.【答案】【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义，导数及其应用，有一定综合性．【解析】B、D、M三点共线得，由题可得，由于曲线C存在与直线垂直的切线，则有解，即有解，.15.等比数列中，、是关于x方程的两个根，其中点在直线上，且，则的值是_______.【答案】3.【命题立意】本题考查定积分的计算，等比数列的性质，属易错题.【解析】，10，于是，，，，从而，.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为__________.【答案】.【命题立意】本题考查平面向量数量积，最值，意在考查分析能力，转化能力，中等题.【解析】以点为坐标原点，建立如图的平面直角坐标系，则，，设，，，12\n（其中），当时，取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，，求证：.【命题意图】考查数列的求和；求通项公式．【解析】（1），两式相减得，又，.……6分（2）……12分18.（本小题满分12分）如图，是圆的直径，是圆上异于A、B的一个动点，垂直于圆所在的平面，∥，，．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【命题意图】考查立体几何中线面关系的判定和性质；空间向量知识的运用及二面角的计算．【解析】（1）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是的直径，∴AC⊥BCAC∩DC=C，面ACD，∴BC⊥平面ACD又∵DC//EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE//BC∴DE⊥平面ACD.……4分（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则，……6分设平面ADE的一个法向量，则，令得…8分设平面ABE的一个法向量，，令得，……10分12\n，∴所求余弦值为.……12分19.（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．【命题意图】考查古典概率，离散型随机变量的分布列和期望．【解析】（1）3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种；（2分）各人互不相同的选法有种，互不相同的概率：……5分（2）选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，……6分，，，所以X的分布列为X0123P……10分数学期望EX=……12分.(注:不列表格不扣分)20.（本小题满分12分）如图，设椭圆C：的离心率，椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.【命题意图】考查椭圆的定义及基本量的计算，直线和椭圆的位置关系，设而不求和函数思想．【解析】（1）依题意，∴椭圆C方程为：……4分（2）易知,设,AB：……6分与椭圆联立得，，……8分的最大值是.……12分12\n21.（本小题满分12分）已知函数,=.（1）当，存在x0[，e]（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；（2）当时，设，在的图象上是否存在不同的两点A，B，使得?请说明理由.【命题意图】本题考查导数的几何意义、运算及应用，涉及分离变量、构造函数、换元法以及转化思想．【解析】（1）可化为，令，则∴当时，；当时，；又∵，，则.……5分（2），；；；故可化为，即……7分又即①，令，①式可化为，……9分令，，∴在（1，+∞）上递增…11分∴；∴无零点，故A、B两点不存在．……12分请考生从22、23题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1）求长；（2）当时，求证：.【解析】（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，12\n∴，∴BD=9．……5分（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．∴AD=AO……10分23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为C2．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求曲线C2上的点到直线的距离的最大值．【解析】（1）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，ρ1sinθ＝2,ρρ1＝4．消ρ1,得C2：ρ＝2sinθ．…5分（2）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋．……10分24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】(1)由得，得不等式的解为……5分(2)因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或……10分12
