高三数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（）A．B．C．D．2、设集合，则（）A．B．C．D．3、给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4、在中，若，则的形状是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则（）A．B．C．D．6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7、若函数的图象如图所示，则的范围为（）A．B．C．D．8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．109、已知函数，若函数在R上有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.11、如图，正方体的棱长为1，E为棱上的点，为AB的中点，则三棱锥的体积为12、已知满足不等式组，则的最大值与最小值的比为13、定义在实数集R上的函数满足，且现有以下三种叙述①8是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数。其中正确的序号是14、执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是15、在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：10①若，则②若，则；③对于，则对于任意；④对于任意向量，若，则其中真命题的序号为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）已知函数，且当时，的最小值为2，（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再Ian个所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和。17、（本小题满分12分）如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且（1）证明：平面ABEF平面BCDE；（2）求平面ABC与平面DEF所成的二面角（锐角）的余弦值。18、（本小题满分12分）已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球。（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望。19、（本小题满分12分）10数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式；（3）令，求数列的n项和。20、（本小题满分13分）已知函数（其中是自然对数的底数），为导函数。（1）当时，其曲线在点处的切线方程；（2）若时，都有解，求的取值范围；（3）若，试证明：对任意恒成立。21、（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，分别为左右焦点，过点作直线交椭圆于（在两点之间）两点，且，关于原点的对称点为。（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程；（3）过任作一直线交过三点的圆于两点，求面积的取值范围。10高三数学（理）试题参考答案一、选择题BDBADBDCDD二、填空题11.12.2∶113.①②③14.15.①②③三、解答题：16.解：（1）函数，…2分，，得；…4分即，由题意得，得，所以函数的单调递增区间为．…6分（2）由题意得，又由得，…9分解得，即，，故所有根之和为．……12分17.（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，易知，且，在多面体中，由，知，故…………………………………………2分又平面，故平面，………………..5分又平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE．…………6分（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．10由，，，则.，，，．..8分设平面ABC的法向量为，则，即，令，得，同理，可得平面DEF的一个法向量为，………………….10分所以，所以平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为．……….12分18.解：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：.……2分，……………………………………4分 ，……………………………………………………5分另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数.易知……2分则，..5分（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5……6分，10，，……10分∴随机变量X的分布列为：X2345P……………………………………………………11分∴随机变量X的期望为：.…………12分19.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分（2），①②②－①得，，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，又当n=1时，b1=8，所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分（3）＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，…………………8分∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1 ∴，……………………………………….10分∴数列{cn}的前n项和．.……12分20.解:（1）由得,,..1分所以曲线y=在点(1,)处的切线斜率为,,曲线y=切线方程为；即.…………………………………………………………4分10（2）由得，令,,,所以在(0,1]上单调递减,又当x趋向于0时，趋向于正无穷大，故即；……………………7分（3）由，得,…………………..8分令,所以，因此,对任意,等价于，由,.得，因此,当时,,单调递增;时,,单调递减所以的最大值为,故，…………10分设,,所以时,单调递增,,故时,,即，……………………12分所以.因此,对任意,恒成立．………………………13分21.解.（1）椭圆D；的离心率为，,解之得m=2，…………………………………………………………2分所以椭圆的方程为；;………………………………………………….3分10（2）设，则A,B的坐标满足方程组,把（2）式代入（1）式化简得；，……….5分所以,又因为,所以,,所以，即,……………7分解,得,…………….(3)把（3）式代入，解之得所以直线PA的方程为；………………….9分（3）由（2）知，即（或），因A与C关于原点对称，所以（或），设过三点的圆为，则 解之得，所以圆的方程为，………………….10分设过F2的直线EF为；，则，原点O到直线EF的距离为，所以，………………………12分10令，则，所以，所以==，所以．……………………………14分10
