山东省济南市2022届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则实数的取值范围是A.B.C.D.2.若（i为虚数单位），则z的共轭复数是A.B.C.D.3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；A.①②B.②③C.③④D.①④4.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A.7B.9C.11D.136.某餐厅的原料费支出与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为A.50B.55C.60D.657.已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是-11-\nA.B.C.2D.58.在椭圆内，通过点且被这点平分的弦所在的直线方程为A.B.C.D.9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有A.48种B.72种C.96种D.108种10.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数m的取值范围为A.B.C.D.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在中的学生人数是_________.12.函数的定义域是_________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为__________.14.设是单位向量，且的最大值为________.15.设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称-11-\n为“条件约束函数”.现给出下列函数：①；②；③；④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）在中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且，面积.（I）求a的值；（II）设，将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调增区间.17.（本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.（I）求的分布列和数学期望；（II）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18.（本小题满分12分）直三棱柱中，，-11-\n，点D在线段AB上.（I）若平面，确定D点的位置并证明；（II）当时，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知数列满足，（I）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；（II）设数列满足，证明：对一切正整数.20.（本小题满分13分）已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为.（I）求抛物线C的标准方程；（II）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知关于函数，（I）试求函数的单调区间；（II）若在区间内有极值，试求a的取值范围；-11-\n（III）时，若有唯一的零点，试求.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）-11-\n又∵∴……6分∴，…………8分将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，…………9分所以的单调增区间为…………10分即…………11分的单调区间为…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分-11-\n的分布列为：0102030…………6分所以AC1∥平面B1CD．………………………………………4分AA1BCDB1C1xyz（Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．则B(6,0,0)，A(0,8,0)，A1(0,8,8)，B1(6,0,8)．设D(a,b,0)（，），…………………5分-11-\n因为点D在线段AB上，且，即．所以．…………………7分所以，．平面BCD的法向量为．设平面B1CD的法向量为，由，，得，所以，．…………………10分设二面角的大小为，．所以二面角的余弦值为．……………………………12分（19）解：由，可得…………2分是首项为2，公比为2的等比数列，即…………3分-11-\n（20）(I)由题意,抛物线C的方程为---------------------------------------------------------------------3分(II)设,直线MN的方程为联立得,,-----------------------------------------------------------------6分由对称性,不妨设,(i)时,,同号,又不论a取何值,t均与m有关,即时A不是“稳定点”;-------------------------9分(ii)时,,异号,-11-\n又所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”.------------------------------------------------------------13分（21）解：（I）由题意的定义域为（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；（ii）若，则由得，时，，时，，所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；-----------------------4分（II）所以的定义域也为，且令(*)则(**)----------------------------------------------------------------------------6分时,恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值.----------------------------------------8分-11-\n时,即在区间(0,1)上恒成立,此时,无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.--------------9分(III),由（II）且知时,.又由(*)及(**)式知在区间上只有一个极小值点,记为,且时单调递减,时单调递增,由题意即为,-----------------------------------------------------------------------------------------11分消去a,得-------------------------------------------------------------------12分时令,则在区间上为单调递增函数,为单调递减函数,且------------------------------------------------------------------------------------------14分-11-
