山西大学附中2022~2022学年第一学期高三（9月）模块诊断数学（理）试题考查时间：110分钟一.选择题（每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）1.设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝A.1 B. C. D.22.设集合，集合，则等于（）A．B．C．D．3.甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（）A．30种B．36种C．60种D．72种4.已知，则（）A．－B．C．－D．5.已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．6.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）否开始n=1输入xn=n+1x=3x+1输入x输出x结束是A．B．C．D．7.已知，则展开式中，项的系数为（）A．B．C．D．238.点在不等式组表示的平面区域内，则取值范围是A.B．C．D．9.一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（）A．B．C．D．10.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A.B.C.2D.311.已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且则该双曲线的离心率为() A、 B、 C、2 D、12.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.23二.填空题（每题4分,满分16分）13.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_____________.14.设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，若成等差数列，则.15.把函数的图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为.16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于_____________.三.解答题（本大题5个小题，共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本小题满分8分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.18．（本小题满分10分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的823名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式19．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，分别是和的中点，已知，．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角B1-AE-D的余弦值．20．（本小题满分10分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点C.（1）求证：成等比数列；（2）设,试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.21．（本小题满分10分）已知函数定义域为，设.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.231.设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】试题分析：法一：因为，所以法二：因为，所以考点：复数模的运算.2.设集合，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题可知，，解得，故集合，，解得，故集合，即，因此选D。考点：集合的交并补运算（文科）3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值＝（）A.1 B. C. D.【答案】D23考点：由茎叶图求中位数及平均数.（理科）3.甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（）A．30种B．36种C．60种D．72种【答案】A【解析】试题分析：由题可知，至少有门不相同的选法包括有一门不相同的课程和两门都不相同的课程，因此共有种；考点：排列组合4.已知，则（）A．－B．C．－D．【答案】D【解析】试题分析：由题可知，，于是，根据，有；考点：三角函数和差化积诱导公式5.已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B23【解析】试题分析：由题可知，根据倍角公式可得，，周期，因此的周期为，命题是假命题；函数的图象关于轴对称，而由的图象向右平移1个单位即可得到的图象，故关于对称，即命题为真命题；因此选B考点：倍角公式函数的奇偶性与对称性6.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）否开始n=1输入xn=n+1x=3x+1输入x输出x结束是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题可知，当输入时，进过循环，输出，当输入时，进入循环，输出，当输入时，进入循环，输出，当开始输入大于4的时候，输出的x均满足题意，因此输出的不小于的概率为；考点：程序框图（文科）7.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.23【答案】B【解析】试题分析：由题可知，，即，于是有，故，化简得，即实数的取值范围为；考点：均值不等式的应用（理科）7.已知，则展开式中，项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题可知，，于是，即原式变为，则项为，因此项的系数为；考点：定积分运算二项式定理8.点在不等式组表示的平面区域内，则取值范围是A.B．C．D．【答案】A23【解析】试题分析：由题意可得：，该不等式组表示的可行域如下图所示：所以，表示点到原点的距离的平方，所以.考点：线性规划的应用.9.一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是一个正方体截去四个三棱锥，如图所示.23所以该几何体的表面积是，故选A．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．10.已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且则该双曲线的离心率为() A、 B、 C、2 D、【答案】A考点：求双曲线的离心率.DOABCE11.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）23A.B.C.2D.3【答案】A【解析】试题分析：由题可知，建立直角坐标系，设正三角形的边长为2，，则,根据，于是有，化简可得，，即，由直线方程可得，，，的面积与的面积比值为3，即的高与的高比值为3，由点到直线的距离公式知，，，即，解得，，即；考点：向量的坐标运算点到直线的距离公式12.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】23考点：函数的性质与应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_____________.【答案】.14.设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，若成等差数列，则.【答案】23【解析】试题分析：因为，，成等差数列，所以，因为，，所以，因为，所以，解得：（舍去）或，所以，所以答案应填：．考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、等比数列的前项和的性质．15.把函数的图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为.【答案】【解析】试题分析：，因为函数的图象上各点向右平移（个单位，得到函数的图象，所以，即，所以，，解得：，，因为，所以当时，，所以答案应填：．考点：1、二倍角的正弦公式；2、降幂公式；3、辅助角公式；4、三角函数的图象与性质．16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C23在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于_____________.【答案】3【解析】试题分析：根据抛物线的性质，设，，又，联立可解得，可得，则考点：抛物线的性质三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.【答案】(I)；（II）（），．【解析】试题分析：（I）先利用三角形的面积公式和余弦定理可得，进而可得的值，再利用角的取值范围即可得得值；（II）先利用三角形的内角和可得角的取值范围，再利用正弦定理可得和的值，代入，利用辅助角公式可得的解析式，进而利用角的取值范围可得的最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得23……2分∴，又……4分所以……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABC的内角和，又得．……6分由正弦定理，知，……7分……8分所以……10分当，即时，取得最大值……12分考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、特殊角的三角函数值；4、正弦定理；5、两角差的正弦公式；6、辅助角公式；7、三角函数的图象与性质18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）23（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（理科做）（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关（Ⅱ）（Ⅲ）的分布列为：1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用表中数据计算得，则根据统计有知识知有的把握认为视觉和空间能力与性别有关（Ⅱ）这是一个几何概型问题，设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则扩容画出基本事件满足的区域，设事件为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为.由几何概型即可求出乙比甲先解答完的概率23（Ⅲ）首先由题意可知可能取值为，这是一个超几何分布，易得的分布列及数学期望E（X）试题解析：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率为. (Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，1的分布列为：. 考点：检验，几何概型，超几何分布19.如图，在直三棱柱中，分别是和的中点，已知23，．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面AED；(文科做)（Ⅱ）求三棱锥A-B1DE的体积；[来(理科做)（Ⅱ）求二面角B1-AE-D的余弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算利用直线与平面垂直的判定定理可证（Ⅱ）由（Ⅰ）分别求出平面和平面一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值（Ⅲ）利用等体积法变换顶点可得试题解析：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以因为，所以，即.因为，所以，即.又，且，故⊥平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知为平面的一个法向量.设平面的法向量为，因为，，所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.∴，23∴二面角的余弦值为.（Ⅲ）由，可得，即又，得，由由（Ⅰ）知且为三棱锥的高，故考点：利用空间向量解决有关问题，椎体的体积20．(本题满分10分)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点C.（1）求证：成等比数列；（2）设,试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）略；（2）1.【解析】试题分析：(1)根据抛物线的定义以及性质表示线段的距离，然后利用三角形相似得到进而说明成等比数列；（2）根据条件,，表示出，计算的值即可得要求的到结论.试题解析：（1）证明：设23联立，则设则------3分解得，由相似比得，所以成等比数列.（也可以用弦长公式证明）--------6分（2）由,，得，，即得：，-------9分则----------12分考点：抛物线的定义及性质的综合应用.（文科）21.(本小题满分10分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】23（理科）21.（本题满分10分）已知函数定义域为，设.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证：；（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.2323考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.根的存在性与根的个数判断.23
