山西省2022届高三第三次四校联考数学（理）试卷（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合,则A.B.C.D.2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A.B.C.D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.4.等比数列的前项和为，若，，则A.31 B.36 C.42 D.485.设，其中实数满足，若的最大为，则的最小值为A. B. C. D.6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，则输出的值为A.2022 B.2C. D.8.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于A.B.C.D.9.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是A.在上是增函数B.其图象关于直线对称C.函数是奇函数D.当时，函数的值域是-9-10.函数的图象大致为11.在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为A.B.C.D.12.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.已知，则____________.14.设随机变量～，若，则____________.15.函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.16.设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式____________.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本小题满分12分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（1）求证：成等差数列；（2）若求.18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.-9-19.(本小题满分12分)直三棱柱中，，，分别是、的中点，，为棱上的点.（1）证明：;（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.20.(本小题满分12分)椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；（2）求证：当时，.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.（1）求证:△∽△;（2）求证:四边形是平行四边形.-9-23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程．以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设=.（1）求的解集;（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.-9-2022届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1-5：CABAA6-10：ABCDD11-12：BD二、填空题(每小题5分，共20分)13.14.15.16.三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：即………2分∴即………4分∵∴即∴成等差数列。………6分（2）∵∴………8分又………10分由（1）得：∴∴即………12分18.解：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则………4分（2）依题意，的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为………6分右手所取的两球颜色相同的概率为………7分………10分Ｘ012-9-Ｐ所以Ｘ的分布列为：………12分19.（1）证明：，∥又面又面………2分以为原点建立如图所示的空间直角坐标系则,,,,设，且,即：………5分………6分（2）假设存在,设面的法向量为，则即：令.………8分由题可知面的法向量………9分平面与平面所成锐二面的余弦值为即：或（舍）………11分当点为中点时，满足要求.………12分20.解：（1），由题设可知，得①………1分又点P在椭圆C上，②-9-③………3分①③联立解得，………4分故所求椭圆的方程为………5分（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，整理得（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又，所以得………8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立,所以，解得，当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.………12分21.解：（1）∵由已知∴得………2分∴当为增函数；当时，，为减函数。∴是函数的极大值点………4分又在上存在极值∴即故实数的取值范围是………5分（2）即为………6分令则再令则-9-∵∴∴在上是增函数∴∴∴在上是增函数∴时，故………9分令则∵∴∴即上是减函数∴时，………11分所以，即………12分22.证明:(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,∴,∴,又∵,∴△∽△,∴,即.∵,∴,∴,∴△∽△.………5分(2)∵,∴,即,∴,∵△∽△,∴,∵是圆的切线,∴,∴,即,∴,∴四边形PMCD是平行四边形.………10分23.解：（1）圆C的普通方程为，又所以圆C的极坐标方程为 ………5分（2）设，则由解得………7分设，则由解得………9分所以 ………10分24.解：(1)由得：或或………3分解得所以的解集为………5分（2）-9-当且仅当时，取等号.………8分由不等式对任意实数恒成立，可得解得：或.故实数的取值范围是………10分-9-
