山西省长治二中康杰中学临汾一中忻州一中2022届高三第四次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)1．已知集合，，则A．B．C．D．2．下列说法错误的是A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．若命题，则D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题3．函数图象的一条对称轴在（，）内，则满足此条件的一个值为A．B．C．D．4．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为A．3πB．4πC．6πD．8π5．若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为A．10B．12C．13D．146．运行下图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是A．0B．1C．2D．－187．已知数列{}满足，且，则的值是A．B．C．D．8．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A．B．C．D．9．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a=1，B=45°，=2，则b等于A．5B．25C．D．10．已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是A．B．C．D．11．若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是A．2个B．3个C．4个D．多于4个12．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=A．B．C．D．二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．若函数的图象过点（2，－1），且函数的图像与函数的图像关于直线对称，则=．14．为虚数单位，则复数的虚部是．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则=．8三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．（本小题满分12分）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（）（1）若，且，求的大小；（2），求的值．18．（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777681（1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其期望．19．（本小题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.（1）求证：；（2）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.A20．（本小题满分12分）已知为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为-2.（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，8为椭圆的左顶点。试判断的大小是否为定值，并说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数（1）若函数上是减函数，求实数的最小值；（2）若，使（）成立，求实数的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O是的外接圆，是边上的高，是⊙O的直径．（1）求证：；（2）过点作⊙O的切线交的延长线于点，若，求的长．23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(t为参数，0<a<)，曲线c的极坐标方程为．（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线c相交于a、b两点，当a变化时，求|ab|的最小值．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设（1）当，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．2022届第四次四校联考（理数）参考答案一、选择题：1-5baabc6-10cdcab11-12cd二、填空题13.14.215.21616.8三．解答题：17.解：（1）由已知得……2分则，……5分因为，所以……6分（2）由得，……7分平方得，……8分。…12分18.解：（1）设乙厂生产的产品数量为x件，由题意得=，所以x=35。------------2分（2）①由题意知乙厂生产的优等品的数量为件---------------4分②由题意知---------------7分所以随机变量的分布列为012p---------------10分所以随机变量的均值=---------------12分19.解：取am的中点o，ab的中点n，则两两垂直，以o为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得,,,……2分（1）由于,故.…5分8（2）依题意……6分∵平面amd的一个法向量……7分设平面ame的一个法向量为，而,∴.x=0,取z=2,则y=1∴……9分∴……11分二面角的余弦值为……12分20.解：（1）设(则(-a≤x≤a)…2分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，∴……5分故椭圆的方程为-----6分（2）设直线的方程为,……7分联立方程组可得，化简得：……8分设，则，…9分又,…11分所以,所以的大小为定值90°……12分821.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分所以当时，．………………2分又，………4分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．…………………………6分（2）命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．………………………8分当时，≤0,在上为减函数，则=，故．………10分…当0<时，>0,由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；由=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．…………………………12分22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲解：（1）证明：连结,由题意知为直角三角形．因为所以∽3分则，则．又，所以5分8（II）因为是⊙O的切线，所以，又，所以．7分因为，所以∽则，即．10分23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I）由，得所以曲线C的直角坐标方程为.5分（II）将直线l的参数方程代入，得t2sin2α－4tcosα－4＝0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1＋t2＝，t1t2＝，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝，当α＝时，|AB|的最小值为410分24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（I）时原不等式等价于即所以解集为}5分（II）当时，。令6分由图像知：当时，取得最小值。由题意知：，所以实数的取值范围为．10分8</a<)，曲线c的极坐标方程为．（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线c相交于a、b两点，当a变化时，求|ab|的最小值．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设（1）当，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．2022届第四次四校联考（理数）参考答案一、选择题：1-5baabc6-10cdcab11-12cd二、填空题13.14.215.21616.8三．解答题：17.解：（1）由已知得……2分则，……5分因为，所以……6分（2）由得，……7分平方得，……8分。…12分18.解：（1）设乙厂生产的产品数量为x件，由题意得=，所以x=35。------------2分（2）①由题意知乙厂生产的优等品的数量为件---------------4分②由题意知---------------7分所以随机变量的分布列为012p---------------10分所以随机变量的均值=---------------12分19.解：取am的中点o，ab的中点n，则两两垂直，以o为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得,,,……2分（1）由于,故.…5分8（2）依题意……6分∵平面amd的一个法向量……7分设平面ame的一个法向量为，而,∴.x=0,取z=2,则y=1∴……9分∴……11分二面角的余弦值为……12分20.解：（1）设(则(-a≤x≤a)…2分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，∴……5分故椭圆的方程为-----6分（2）设直线的方程为,……7分联立方程组可得，化简得：……8分设，则，…9分又,…11分所以,所以的大小为定值90°……12分821.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分所以当时，．………………2分又，………4分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．…………………………6分（2）命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．………………………8分当时，≤0,在上为减函数，则=，故．………10分…当0<时，>
