山西省忻州二中2022届高三数学上学期期中试题文注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。3．满分150分，考试时间120分钟。一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= ( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}2.设x∈R,若“2-x≥0”是“≤1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是 ( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q4.已知函数f(x)=3x-,则f(x) ( )A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数5.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣= ( )A. B. C. D.26.函数y=的部分图象大致为 ( )-11-\n7.已知sinα-cosα=,则sin2α= ( )A.-B.-C.D.8.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为 ( )A.1B.2C.4D.89.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是 ( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.已知cosx=,则cos2x= ( )A.-B.C.-D.11.设非零向量a,b满足=,则 ( )A.a⊥bB.=C.a∥bD.>12.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为 ( )A.-24 B.-3 C.3 D.8二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .14．曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .15．设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .16．已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)-11-\n17．(10分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.18．(12分)已知函数f=sin2x-cos2x-2sinxcosx.(1)求f的值.(2)求f的最小正周期及单调递增区间.19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式.(2)若T3=21,求S3.20.(12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式.(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.21.(12分）在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.22.(12分)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.-11-\n学校姓名班级考号2022－2022学年第一学期期中试题高三数学（文科）答案一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= ( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【命题意图】本题考查集合的运算,意在考查学生的二次方程的根以及运算求解能力.【解析】选C.由A∩B={1}得1∈B,所以m=3,B={1,3}.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.2.设x∈R,若“2-x≥0”是“≤1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题是对充要关系的考查.【解析】选B.2-x≥0,则x≤2,≤1,则-1≤x-1≤1,0≤x≤2,据此可知:“2-x≥0”是“≤1”的必要不充分条件.3.已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是 ( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【命题意图】本题考查简单的含逻辑联结词命题的真假判断,意在考查考生的分析问题、解决问题的能力.【解析】选B.由x=0时x2-x+1≥0成立知p是真命题,由12<22,12<(-2)2可知q是假命题.4.已知函数f(x)=3x-,则f(x) ( )A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数【命题意图】本题主要考查指数函数的性质.意在培养学生逻辑推理能力及对函数性质的辨别力.【解析】选B.5.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣= ( )A. B. C. D.2【命题意图】本题考查复数的运算及复数求模,考查学生的计算能力. -11-\n【解析】选C.由题意知:z====i+1,则|z|==.6.函数y=的部分图象大致为 ( )【命题意图】本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象,突出考查数形结合思想在解决函数问题中的应用.【解析】选C.由题意知,函数y=为奇函数,故排除B;当x=π时,y=0,排除D;当x=1时,y=>0,排除A.故选C.【反思总结】函数图象问题首先关注定义域,从图象的对称性分析函数的奇偶性,排除部分选项,从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值,同时利用特值进行检验.7.已知sinα-cosα=,则sin2α= ( )A.-B.-C.D.【命题意图】本题考查倍角公式和学生的运算能力.【解析】选A.sin2α=2sinαcosα==-.【反思总结】本题方法较多可让学生通过该题总结正弦、余弦及正切间的化简技巧.8.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为 ( )A.1B.2C.4D.8【命题意图】主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.【解析】选C.设公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立得-11-\n×3-②得d=24,6d=24,所以d=4.9.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是 ( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【命题意图】主要考查三角函数图象的平移变换问题.【解析】选D.C1:y=cosx,C2:y=sin,首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cosx用诱导公式处理.y=cosx=cos=sin.横坐标变换需将ω=1变成ω=2,即y=siny=sin=sin2y=sin=sin2.注意ω的系数,在左右平移时需将ω=2提到括号外面,这时x+平移至x+,根据“左加右减”原则,“x+”到“x+”需加上,即再向左平移.【反思总结】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住sinα=cos,cosα=sin;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x而言.-11-\n10.已知cosx=,则cos2x= ( )A.-B.C.-D.【命题意图】本题考查二倍角公式的应用和三角恒等变换,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.【解析】选D.cos2x=2cos2x-1=2×-1=.11.设非零向量a,b满足=,则 ( )A.a⊥bB.=C.a∥bD.>【命题意图】平面向量的模以及向量的数量积的运算,意在考查学生的转化能力和运算能力.【解析】选A.由|a+b|=|a-b|平方得(a)2+2ab+(b)2=(a)2-2ab+(b)2,即ab=0,则a⊥b.12.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为 ( )A.-24 B.-3 C.3 D.8【命题意图】本题考查等差、等比数列的性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6⇒(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d,(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .【命题意图】函数的奇偶性以及函数值,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.答案:1214．曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .【命题意图】本题主要考查导数的几何意义,利用导数求曲线的切线方程问题.【解析】设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1,所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.答案:y=x+115．设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .【命题意图】本题考查等比数列的基本概念,考查学生对基本概念的掌握.【解析】由题意可得:解得:则a4=a1q3=-8.答案:-816．已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .-11-\n【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算,突出考查向量求模的方法.【解析】=(a+2b)2=+2···cos60°+=22+2×2×2×+22=4+4+4=12,所以==2.答案:2三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．(10分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【命题意图】本题主要考查向量的共线、数量积的概念及运算,考查同角三角函数关系、诱导公式、两角和(差)的三角函数、三角函数的图象与性质,考查运算求解能力.【解析】(1)因为a∥b,所以3sinx=-cosx,又cosx≠0,所以tanx=-,因为x∈[0,π],所以x=.(2)f=3cosx-sinx=-2sin.因为x∈[0,π],所以x-∈,所以-≤sin≤1,所以-2≤f≤3,当x-=-,即x=0时,f(x)取得最大值,为3;当x-=,即x=时,f(x)取得最小值为-2.18．(12分)已知函数f=sin2x-cos2x-2sinxcosx.(1)求f的值.(2)求f的最小正周期及单调递增区间.【命题意图】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.-11-\n【解析】(1)因为sin=,cos=-,所以f=--2××即f=2,(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f=-cos2x-sin2x=-2sin,所以f的最小正周期是π,由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f的单调递增区间是,k∈Z.19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式.(2)若T3=21,求S3.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得,d+q=3,①(1)由a3+b3=5得,2d+q2=6 ②联立①和②解得(舍去),因此{bn}的通项公式bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4,当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.20.(12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式.(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.【解析】(1)设等差数列{an}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3-11-\n=5=1+2d,所以d=2.所以an=2n-1.(2)设{bn}的公比为q,b2·b4=a5⇒qq3=9,所以q2=3,所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q'=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.21.(12分）在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理=,所以sinC==×sin60°=×=.(2)当a=7时,c=a=3,因为sinC=,c<a,所以cosC==,在△ABC中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA×sinC=×+×=,所以S△ABC=ac×sinB=×7×3×=6.【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式.2.看到边a,b,c的平方关系想到余弦定理的变形形式.22.(12分)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.-11-\n【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与分析解决问题的转化能力.【解析】(1)f(x)=ex·cosx-x,所以f(0)=1,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f'(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线过点(0,1),k=0,所以切线方程为y=1.(2)f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,设f'(x)=g(x),所以g'(x)=-2sinx·ex≤0,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f'(x)≤0,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.-11-
