2022-2022学年广东省北师大东莞石竹附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为()A．3B．4C．18D．404．设函数f（x）=，则f（）的值为()A．B．﹣C．D．185．“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B．C．D．（0，2]-15-\n12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于()A．4B．3C．2D．1二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（∁UB）等于__________．14．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是，则a+b=__________．15．已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为__________．16．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、演算步骤或推证过程．17．已知二次函数f（x）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．（1）求这个函数的解析式；（2）求函数在x∈（0，3]的值域．-15-\n18．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．19．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？21．设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求数列的前n项和Tn．22．（14分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；-15-\n（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈x＞0时，f（x）=x（1+x3），即有f（﹣x）=﹣x（1﹣x3），又函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（x）=x（1﹣x3）（x＜0），故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用：求函数的解析式，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1=1，，则的值为()A．B．C．D．4【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据首项等于S1，得到首项的值，利用等差数列的前n项和公式化简，即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的前n项和公式化简所求的式子，把求出的首项和公差代入即可求出值．【解答】解：由S1=a1=1，，得到=4，解得d=2，则===．故选A【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．9．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是()-15-\nA．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=()A．335B．336C．338D．2016【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】规律型；整体思想；函数的性质及应用．【分析】可得函数的周期为6，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）的值，结合规律可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）为周期为6的周期函数，∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1f（1）+f（2）+f（3）+…+f=336×1=336-15-\n故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，属基础题．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间B．C．D．（0，2]【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴，∴可变为f（log2a）≤f（1），即f（|log2a|）≤f（1），又∵在区间，则a+b=﹣．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题-15-\n15．已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为12．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；整体思想；不等式．【分析】题目转化为m≤（+）（x+3y）恒成立，由基本不等式求（+）（x+3y）的最小值可得．【解答】解：∵x＞0，y＞0，不等式恒成立，∴m≤（+）（x+3y）恒成立，又（+）（x+3y）=6++≥6+2=12当且仅当=即x=3y时取等号，∴（+）（x+3y）的最小值为12，由恒成立可得m≤12，即m的最大值为12，故答案为：12．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属基础题．16．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是．【考点】数列的应用；数列的函数特性．【专题】压轴题；等差数列与等比数列．-15-\n【分析】设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an．【解答】解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{an}的通项公式是．故答案为．【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、演算步骤或推证过程．17．已知二次函数f（x）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．（1）求这个函数的解析式；（2）求函数在x∈（0，3]的值域．-15-\n【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由已知条件列方程，即可得解（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，确定原函数在（0，3]上的单调性，由单调性求值域【解答】解：（1）二次函数f（x）关于x=1对称∴∴a=﹣2又f（x）的图象经过原点∴b=0∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x（2）∵对称轴x=1落在区间（0，3]内，且抛物线开口向上∴函数在（0，1]上单调递减，在上单调递增∴x=1时，f（x）有最小值，最小值为f（1）=1﹣2=﹣1；x=3时，f（x）有最大值，最大值为f（3）=9﹣6=3∴f（x）的值域是【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．属简单题18．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，-15-\n若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？【考点】简单线性规划的应用．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划知识求解，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=600x+900y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．-15-\n【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则目标函数为z=600x+900y．作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组，解得M的坐标为（）因此，当x=，y=时，z取得最大值．此时zmax=600×+900×=130000．答：应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．【点评】本题考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，解题的关键是确定约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解，属中档题．21．设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和．-15-\n【专题】计算题．【分析】（1）当n=1时，由a1=S1=2﹣a1，可求a1，n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=与an﹣1之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求an（2）由，可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求bn（3）由（1）（2）可求，利用错位相减求和即可求解【解答】（本小题满分14分）证明：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1．…当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1．∴．…∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即．…解：（2）b1=2a1=2．…∵，∴，即．…∴是首项为，公差为1的等差数列．…∴，…（3）∵，则．…所以，…-15-\n即，①…则，②…②﹣①得，…（13分）故．…（14分）【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式、等差数列与等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用22．（14分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，-15-\n∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m．（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．-15-\n【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．-15-
