2022～2022学年度第一学期第二次月考试卷高三数学（理科）[答卷时长（120）分钟总分：150分]一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设集合，集合，则等于()A．(1,2)B．(1,2]C．[1,2)D．[1,2]2、当时,函数的（）A．最大值是，最小值是B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是D．最大值是，最小值是3、下列命题中的假命题是（）．A．B．C．D．俯视图主视图侧视图4、已知，则下列不等式一定成立的是（）．A．B．C．D．5、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积()A．B．C．D．6、已知函数的图像是连续不断的，有如下的，的对应表123456136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数存在零点的区间有( )A．区间B．区间C．区间D．区间7、函数（其中）的图像如图所示，为了得到9\n的图像，只需将的图像()A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8、若函数（0且）在上既是奇函数又是增函数，则的图像是()A．B．C．D．9、函数在点的切线与直线垂直,则（）A．B．C．D．10、已知变量满足,则的取值范围是()A．B．C．D．11、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于()A．B．C．D．12、若偶函数的图像关于对称，且当时，，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（）A.B.C.D.二、填空题：（每小题5分，共20分）9\n13、已知函数则=。14、已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围为．15、已知数列的前项和为,且,则．16、若数列满足(为常数，,)，则称数列为等方差数列，为公方差，已知正数等方差数列的首项，且，，成等比数列，，设集合，取的非空子集，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、演算步骤或推证过程．17、(本题满分10分)在中，角的对边分别是满足（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和.18、(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=的单调递增区间.19、(本小题满分12分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C19\n的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.20、(本小题满分12分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低成(1成=10%),售出商品数量就增加成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.21．(本小题满分12分)设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.22．(本小题满分12分)设函数.（1）当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.（2）讨论函数零点的个数.（3）若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.9\n第二次月考理科数学答案一、选择题题号123456789101112答案BCBBACDCABAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、14、15、16、16、根据等方差数列的即时定义得，，令，则，由得可取1,2,3……6，即集合中有六个整数，于是中的完美子集的个数为个．17、【解】(1)∵，∴.∴.又∴.(2)设的公差为，由已知得，且.∴．又,∴.∴.∴.∴18、由图象知,周期T=2=π,所以ω==2,因为点(,0)在函数图象上,所以Asin(2×+φ)=0,即sin(+φ)=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.9\n又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)=2sin[2(x-)+]-2sin[2(x+)+]=2sin2x-2sin(2x+)=2sin2x-2(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+],(k∈Z).19、(1)设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1的中点,因为D为AC的中点,所以PD∥B1C.又因为PD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)由题知,平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,又因为BD⊥AC,则BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1D,所以∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角.因为AA1=,AD=AC=1,则tan∠A1DA=所以∠A1DA=,即二面角A1-BD-A的大小是.(3)作AM⊥A1D于M.由(2),易知BD⊥平面ACC1A1,因为AM⊂平面ACC1A1,所以BD⊥AM.因为A1D∩BD=D,所以AM⊥平面A1BD.连接MP,易知∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角.因为AA1=,AD=1,所以在Rt△AA1D中,∠A1DA=,所以AM=1×sin60°=9\n所以sin∠APM=所以直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为.20、(1)由题意得y=1001-x10·1001+850x.因为售价不能低于成本价,所以1001-x10-80≥0.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化简得8x2-30x+13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是12,2.21、（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以，因为点在函数的图象上，所以，所以，又，所以．（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而，，所以故.22、(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,，则f'(x)=,所以当x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,9\n所以x=e时,f(x)取得最小值f(e)=lne+=2,所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的极大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立. (*)设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),所以(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,所以m≥9\n,所以m的取值范围.9
