2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集,集合,,则集合可以表示为A．B．C．D．2．已知向量，若，则实数的值为A．B．C．D．3.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是A.,B.,C.,D.,4.直线与圆的位置关系是-19-A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是A.B.C.D.6.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是图2A.B.C.D.7.已知为实数，则是关于的绝对值不等式有解的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足:对任意，以及任意R,都有,则称映射具有性质.给出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性质的映射的序号为A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.已知，则的值为.-19-10.已知e为自然对数的底数，若曲线e在点处的切线斜率为.11.已知随机变量服从正态分布.若，则等于.12.已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为.13．已知N，且，CC，则可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为.15.（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分分）已知函数的图象在-19-轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.（1）求函数的解析式；（2）求的值.17.（本小题满分分）袋子中装有大小相同的白球和红球共个，从袋子中任取个球都是白球的概率为，每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为.（1）求袋子中白球的个数；（2）求的分布列和数学期望.18.（本小题满分分）如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.-19-19.（本小题满分分）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数,使,,成等比数列?若存在,求的值；若不存在,请说明理由.20.（本小题满分分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.求椭圆的方程；求点的轨迹方程；求面积的最大值及此时点的坐标.21.（本小题满分分）-19-已知函数.（1）若对都成立，求的取值范围；（2）已知为自然对数的底数，证明：N，.2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案BDCAACBB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9.10.11.12.13.14.15.说明:第题答案可以是Z.-19-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得，…………………………1分，…………………………3分∴…………………………4分由得，…………………………5分∴.…………………………6分（2）解：∵点是函数在轴右侧的第一个最高点,∴.…………………………7分∴.…………………………8分∴…………………………9分…………………………10分…………………………11分.…………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）-19-（1）解：设袋子中有N个白球，依题意得，，………………………1分即，化简得，，…………………………2分解得，或（舍去）.…………………………3分∴袋子中有个白球.…………………………4分（2）解：由（1）得，袋子中有个红球，个白球.…………………………5分的可能取值为，…………………………6分，，，.………………10分∴的分布列为：…………………………11分∴.…………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.…………………………1分∵菱形的对角线互相垂直，∴.∴.-19-∴，.…………………………2分∵平面，平面，，∴平面.…………………………3分∴平面.…………………………4分（2）解法1：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.……5分在Rt△中，，在△中，，∴.…………………………6分∵，，平面，平面，∴平面.…………………………7分过作，垂足为，连接，由（1）知平面，且平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.…………………………8分∵平面，∴.…………………………9分∴为二面角的平面角.…………………………10分在Rt△中，，-19-在Rt△和Rt△中，，∴Rt△～Rt△.…………………………11分∴.∴.…………………………12分在Rt△中，.……………………13分∴二面角的正切值为.…………………………14分解法2：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.………………………5分在Rt△中，，在△中，，∴.…………………………6分∵，，平面，平面，∴平面.…………………………7分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.…………8分∴，.设平面的法向量为，-19-由，，得……9分令，得，.∴平面的一个法向量为.…………………………10分由（1）知平面的一个法向量为，……………………11分设二面角的平面角为，则.………………………12分∴，.………………………13分∴二面角的正切值为.…………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵，∴.…………………………1分（2）解法1：由，得，…………………………2分故.…………………………3分∵，∴.∴.…………………………4分∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.…………………………5分∴.…………………………6分当时，，…………………………8分又适合上式，-19-∴.…………………………9分解法2：由，得，…………………………2分当时，， …………………………3分∴.…………………………４分∴.∴.…………………………５分∵，∴.…………………………６分∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列．……………７分∴． …………………………８分∵适合上式，∴.…………………………9分解法3：由已知及（1）得，，猜想.…………………………2分下面用数学归纳法证明.①当，时，由已知，，猜想成立.………3分②假设时，猜想成立，即，…………………………4分由已知，得，故.∴.…………………………5分∴.∴.…………………………6分∵，-19-∴.…………………………7分∴.…………………………8分故当时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即.…………………………9分（3）解：由(2)知,.假设存在正整数,使,,成等比数列,则.…………………………10分即.…………………………11分∵为正整数，∴.∴.∴.化简得.…………………………12分∵,∴.解得,与为正整数矛盾.……………………13分∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵双曲线的顶点为,,…………1分∴椭圆两焦点分别为,.-19-设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴，得.………………………2分∴.………………………3分∴椭圆的方程为.………………………4分解法2:∵双曲线的顶点为,,……………………1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴.①………………………2分.∵,②………………………3分由①②解得,.∴椭圆的方程为.………………………4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∴，，，.由,得，……………………5分即.①-19-同理,由,得.②……………6分①②得.③………………………7分由于点在椭圆上,则，得,代入③式得.当时，有，当，则点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.………………………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………………………9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∵，，∴，.∴，①……………………5分.②……………………6分①②得.(*)………………………7分-19-∵点在椭圆上,∴，得,代入(*)式得，即,化简得.若点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.………………………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………………………9分(3)解法１：点到直线的距离为.△的面积为………………………10分.………………………11分而（当且仅当时等号成立）∴.……12分当且仅当时,等号成立.-19-由解得或………………………13分∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分解法２：由于，故当点到直线的距离最大时，△的面积最大．………………………1０分设与直线平行的直线为，由消去，得，由，解得． ………………………1１分若，则，；若，则，．…1２分故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为． ………………………1４分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解：∵，其定义域为,∴.…………………………1分①当时，，当时，，则在区间上单调递减，此时，，不符合题意.…2分-19-②当时，令，得，，当时，，则在区间上单调递减，此时，，不符合题意.…………………………3分③当时，，当时，，则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……4分④当时，令，得，，当时，，则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……5分综上所述，的取值范围为.…………………………6分（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立.…………………………7分∴.………………8分即.由于N，则.…………………………9分∴.∴.…………………………10分由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立.…………………………11分-19-∴.…………………………12分即.得由于N，则.…………………………13分∴.∴.…………………………14分∴.-19-
