清远市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题第一卷（选择题40分）一、选择题（40分）1、图中阴影部分表示的集合是（）A、 B、 C、 D、2、已知a，bR，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ） A、5－4i B、5＋4i C、3－4i D、3＋4i 3、已知，且，则a＝（ ） A、－1 B、2或－1 C、2 D、－24、阅读如图的程序框图，若输入m＝2，n＝3，则输出a＝（ ） A、6 B、4 C、3 D、25、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A、y＝x＋1 B、y＝－x2 C、y＝ D、y＝x｜x｜6、设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且b⊥m，则“a⊥b”是“⊥”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件10\n7、已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b＝（ ） A、 B、 C、1 D、8、设定义在（0，＋）上的函数，则当实数a满足时，函数y＝g（x）的零点个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4第二卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(9～13题)9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿12、已知圆C：，直线：L：x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为＿＿＿＿13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“10\n黄金双曲线的离心率e等于＿＿＿＿＿（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(几何证明选讲选做题)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90º，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿15.(极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为＿＿＿＿＿三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且,，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.17.（本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。18.（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示。10\n（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC;（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小.19.（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.20.(本小题满分14分）设数列的前项和为，且满足,．（1）求；（2）数列的通项公式；（3）设,求证：．21.（本题满分14分）设函数.(1)若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①若是正实数，求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围；②证明：不等式.清远市2022届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案10\n题号12345678答案CDBADBAC第二卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(9～13题)9.110.11.21012. .313.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(几何证明选讲选做题)30°15.(极坐标与参数方程选做题)1三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．解：(1)＝………1分=………2分………3分-1……4分，故其最小正周期是………5分(2)∵…………7分又∵0<2<2π，∴……8分∴，………9分∵B=，∴A=，∴△ABC是直角三角形………10分由正弦定理得到：=，∴………11分设三角形ABC的面积为S,∴S=………12分17.解：（1）由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），……2分样本容量为70，……3分所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5．……4分故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率Ｐ1＝0.5．……5分(2)由题意可知=0，1，2……7分10\n,……8分……9分……10分的分布列为X012……11分的期望为。……12分18.解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：…………1分∵PA=AB=,PB=4,…………2分则…………3分又ＡＢ，则PA⊥平面ABC…………5分∵平面PAC∴平面PAC⊥平面ABC.…………6分（2）方法一：由（1）知,又，∴平面PAC…………7分∵AB∥CD∴平面PAC…………8分过Ａ作于Ｈ，则…………9分又∵∴…………10分又AB∥CD，AB平面，∴AB//平面，∴点A到平面的距离等于点B到平面的距离.…………11分∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，PC=4∴PC边上的高，此即为点A到平面PCD的距离…………12分设直线PB与平面PCD所成角为，则，…………13分又，所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为；…………14分方法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，P(0,0，2)……9分（解法一）∵AB∥CD，∴，10\n又AC∥ED∴四边形ACDE是直角梯形∵AE=2，AE∥BC，∴∠BAE=135°，因此∠CAE=45°.…………10分所以D(-，2，0).∴，…………11分设是平面PCD的一个法向量，则∴解得取得…………12分又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则…………13分∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分（解法二）∵AB∥CD，∴…………10分∴，…………11分设是平面PCD的一个法向量，则即∴解得取得…………12分则…………13分∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分19.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为(）………1分∵c=2，………2分………3分∴………4分∴双曲线的标准方程为.………5分（2）是定值2，理由如下：………6分10\n设直线AB：（没有b>0，不得分这1分）………7分由得………8分解得………9分设双曲线渐近线方程：与联立，………10分得，…11分，………12分=3………13分∴==2………14分（没有导致情况多种的扣2分）20.证明：（1）∵∴……………2分（2）∵……①∴当时，……②（没有n≥2扣1分）∴①-②得,………………5分∵,∴………7分（没有验证n=1成立扣1分）是首项为2，公比为的等比数列，………8分(3)∵∴………10分（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）………12分(说明：也可以)10\n∴………………14分21.解：（1）由已知得：，………1分又∵函数在处有极值∴，即……2分∴………3分∴,当时，，单调递增；当时，，单调递减；………4分（或者列表）∴函数的最大值为………5分（2）①由已知得：………6分(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；………7分(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；…8分(iii)若，则时，，当时，，∴在上为增函数，此时，∴不能使在上恒成立；9分综上所述，的取值范围是.………10分10\n②由以上得：,………11分取得：………12分令，………13分则，.因此.∴………14分10
