阳东广雅中学2022～2022学年第一学期高三年级期中考试试卷数学（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集集合则为（）．（A）（B）（C）（D）（2）复数（是虚数单位）的模等于（）．（A）（B）（C）（D）（3）下列命题中的假命题是（）．（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，且，则实数＝（）． （A）－1 （B）2或－1 （C）2 （D）－2（5）设p：f（x）=x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）（A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)以上都不对（6）已知函数，则=（）.（A）（B）（C）（D）（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）．（A）（B）（C）（D）（8）已知实数满足约束条件，则的最大值为（）．（A）（B）（C）（D）-13-\n（9）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4（10）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．（A），，（B），，（C），，（D），，（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种。（A）150（B）180（C）240（D）540（12）对函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界．现已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则的下确界为（）（A）（B）（C）（D）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）.已知偶函数f(x)在[0,+¥)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)<0，则x的取值范围是__________.（14）方程有实根的概率为．（15）已知点的坐标满足条件点为坐标原点,那么的最大值等于．（16）已知函数(,为自然对数的底数)，若函数在点处的切线平行于轴，则．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知为等差数列，且满足．-13-\n（I）求数列的通项公式；（II）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．（18）．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积（19）（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），（Ⅰ）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（Ⅱ）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).（20）（本小题满分12分）-13-\n如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.（21）（本小题满分12分）已知函数．（I）讨论函数的单调区间；（II）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点，垂直于点，垂直于点，连接，.证明：（Ⅰ）；第1题图（Ⅱ）．-13-\n（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知且关于的不等式的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案CADBCBCBBDAD（1）【解析】，又，故选C．（2）【解析】，故模为，故选A．（3）【解析】对选项D，由于当时，，故选D．（4）【解析】因为，所以，解得，故，故选B．（5）【解析】解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，-13-\n即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥﹣，∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选：C（6）【解析】，，所以，故选B．（7）【解析】该几何体为直三棱柱，故体为，故选C．（8）【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为，，，所以最优解为时可使目标函数取得最大值为2，故选B．（9）B【解析】由二项式定理的展开公式可得：，项为，因为的展开式中项的系数为20，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立．所以选B．（10）【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为，第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为，故不同保送的方法数为150种，故选A．（12）．【解析】如右图所示，函数在上的部分图象，易得下确界为，故选D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13、14、15、16、-13-\n14【解析】方程有实根时，满足，得，由几何概型知，得.15【解析】如右图所示，.16【解析】直线平行于轴时斜率为，由得，得出.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知……………………2分解得…………………………………………4分所以，得…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得……………8分∴，，因成等比数列，所以，从而，………10分即，,解得或（舍去）∴……………………………………………………12分（18）（12分）.解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，-13-\n∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=﹣cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．19．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；………………………1分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分而个样本小球重量的平均值为：（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；…………………………4分（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，………………………………5分则.的可能取值为、、、，…………………………………………………6分，，，.………………10分-13-\n的分布列为：.（或者）………………12分（20）解：（I）连接BD交AC于点O,连结EO。因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。又E为PD的中点，所以EO∥PB---------2分。EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.-------------4分（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直-----------5分如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则.-------------7分设，则。设为平面ACE的法向量，则即---------8分，可取----------9分。又为平面DAE的法向量，由题设，即，解得----------10分。因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为.三棱锥的体积.--------12分21．（本小题满分12分）-13-\n【解析】（I）．……………………………………………1分令得．……………………………………………………………………2分（i）当，即时，，在单调递增．………3分（ii）当，即时，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减．………………………………4分（iii）当，即时，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减．………………………………5分综上，当时，在内单调递增，在内单调递减；当当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减．（其中）…………………6分（II）当时，，令，得．…………………………………………………………………7分将，，变化情况列表如下：-13-\n100↗极大↘极小↗………………………………………………………………………………………………………8分由此表可得，．…………………………………9分又，…………………………………………………………………………………10分故区间内必须含有，即的取值范围是．………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲【证明】（Ⅰ）由直线与⊙相切，得∠CEB＝∠EAB.…………………………………………1分由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；………………………3分又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.……5分（Ⅱ）由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，………6分所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.………………………………………………8分又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程-13-\n【解】（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为…………………………2分圆的直角坐标方程,……………………………………4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为.…………6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离,………8分所以.………………………………………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲【解】（Ⅰ）因为，不等式可化为，…………………1分∴，即，………………………………3分∵其解集为，∴，.………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式）∵，…………………8分∴，∴的最小值为.…………………………………………10分（方法二：消元法求二次函数的最值）∵，∴，∴，……………………9分∴的最小值为.………………………………………………………………10分-13-\n-13-
