南京市大厂高级中学2022－2022学年第二学期期末调研高二数学（文）一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上)1.记函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为A，则A∩N*中有▲个元素．32．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝▲．－63.“$x∈R，x2－x＋1≤0”的否定是x∈R，x2－x＋1>04.曲线在点（1，3）处的切线方程是▲5.函数的最小正周期为▲6.已知角的终边过点,则的值为__▲__7.已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为▲18.函数的零点所在的区间是,则=▲29.设，则的由大到小的排列顺序为▲10.＝▲111.已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为▲12.已知正方形的边长为，为的中点，则_______．213.给出下列四个命题：①“k=1”是“函数的最小正周期为”的充要条件；②函数的图像沿x轴向右平移个单位所得的图像的函数表达式是；③函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（0，1）；④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB和△AOC的面积之比为1：2；其中真命题的序号是▲．（写出所有真命题的序号）【答案】④．14.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且5\n为偶函数，，则不等式的解集为▲二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤15.本小题满分14分）已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．15．（本小题满分14分）解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，…………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝．…………………6分（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…………………8分所以tanθ＝－．…………………10分所以tan(θ＋)＝＝．…………………14分16.已知函数．]（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．.解：（1），…………3分则的最小值是－2，…………5分最小正周期是；…………7分（2），则，，，，…………10分，由正弦定理，得，①…………11分由余弦定理，得，即，②由①②解得．…………14分5\n17.设，，命题，命题（Ⅰ）当时，试判断命题P是命题q的什么条件；（Ⅱ）求的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．16、解：，．………..2分（Ⅰ）当时，．，当时，有，但时不能得出．因此，命题是命题的必要但不充分条件．………..7分（Ⅱ）当时，，有，满足命题是命题的必要但不充分条件．………..10分当时，，要使，须，即．………..12分当时，，满足命题是命题的必要但不充分条件．……….14分.因此，的取值范围是．………..15分18．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[10,＋∞)上是单调增函数,求k的取值范围．解：(1)由>0及k>0得>0,即(x－)(x－1)>0.①当0<k<1时,x<1或x>；……………2分②当k＝1时,x∈R且x≠1；……4分③当k>1时,x<或x>1.……………6分综上可得当0<k<1时,函数的定义域为(－∞,1)∪(,＋∞)；当k≥1时,函数的定义域为(－∞,)∪(1,＋∞)．……………7分(2)∵f(x)在[10,＋∞)上是增函数,∴>0,∴k>.……………10分又f(x)＝lg＝lg(k＋),故对任意的x1,x2,当10≤x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),5\n即lg(k＋)<lg(k＋),∴<,∴(k－1)·(－)<0,……14分又∵>,∴k－1<0,∴k<1综上可知k∈(,1)．………………15分说明：用导数法也可以，根据情况自行制定标准.19．如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将与接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．（1）求W关于的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角．解：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得，故有，，，所以．………………………………..7分（2）设（其中，则．令得，即，得．列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．……….14分答：排管的最小费用为万元，相应的角．…………15分20.已知函数.5\n（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.20．解：（1）当时，…1分由,解得.…………………2分∴在上是减函数，在上是增函数.……………4分∴的极小值为，无极大值.……………5分（2）.…7分①当时，在和上是减函数，在上是增函数；………8分②当时，在上是减函数；………………9分③当时，在和上是减函数，在上是增函数.10分（3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴.……………10分由对任意的恒成立，∴……………12分即对任意恒成立，即对任意恒成立，…14分由于当时，，∴.………16分5
