江苏省启东市启东中学2022届高三数学下学期期初调研测试试卷 理

江苏省启东市启东中学2022届高三数学下学期期初调研测试试卷理注　意　事　项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．YCY一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝▲．2．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝▲．3．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为▲m2.4．圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a=▲．5．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为▲.6．设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则▲．7．已知函数，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是▲.8．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：，则的形状是▲．9．设均为正实数，且，则的最小值为▲．10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝▲_．11．已知点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若的内切圆的半-14-\n径为，则此椭圆的离心率为▲．12．若函数不存在零点，则实数的取值范围是▲．13．函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为▲．14．设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数=▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分为14分）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．16．（本小题满分为14分）已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点．（1）求点的坐标以及的值；（2）设点分别在角的终边上，求的值．17．（本小题满分为14分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积．18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：-14-\n，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？19．（本小题满分为16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．20．（本小题满分为16分）已知函数．（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若，求函数在上的最值；（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．-14-\n-14-\n2022届高三第二学期期初调研测试数学（Ⅱ）加试题22．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边，连接A1B，A1C，A1D．（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；C1ABCDA1B1D11（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．23．（本小题满分为10分）设数列的前项和为，已知（，为常数），，．（1）求数列的通项公式；（2）求所有满足等式成立的正整数，．-14-\n2022届高三寒假作业测试答案数学（Ⅰ）试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，则a>4，即c＝4；2.答案：1；由题意得命题“x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.3.答案：3；由条件得斜高为(m)．从而全面积S＝×22＋3××2×＝3(m2)．4.答案：-4；圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.5.答案：；，，得，，6.答案：；，直线与三角函数图象的交点，在上，当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令或，即或，此时，．7.答案：(0,1)，解析　画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1).8.答案：等腰三角形；，，由，即，由四边形垂直平分可得的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由化为，因均为正实数，故-14-\n；法二：由于和都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a，b，c，如图所示，所以AC1与下底面所成角为∠C1AC，记为α，所以cos2α＝＝，同理cos2β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211.答案：；一方面的面积为；另一方面的面积为，，∴，∴，∴，又∴，∴椭圆的离心率为.12.答案：；由题意可知，解得且，由对数的性质可得，可得由于或或，要使函数不存在零点，只需取取值集合的补集，即，当时，函数无意义，故k的取值范围应为：13.答案：；函数的导数为，令，则或，当时单调递减，当和时单调递增和是函数的极值点，因为函数在区间上存在极值点，所以或或，14.答案：1；对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由-14-\n，可得，可解得，故，又是方程的一个解，所以是函数的零点，分析易得，故函数的零点介于之间，故，故答案为：二、解答题：15.解　(1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，-------------------------2分即＝0，解得b＝1.---------------------------------------------------------4分从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2----6分经检验适合题意，∴a＝2，b＝1.-------------------------------------------------------7分(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.------------------------------------------------------------12分从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－---------------------------------------------------14分-14-\n17.解：(1)证明：在题图1中，因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2.------------------------==--------------------------------------------------2分又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.-------------=-----------------------------------------5分在题图2中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，所以DE⊥平面BCD.--------------------------------======----------------------------------7分(2)在题图2中，因为EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.--------------10分因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，所以AE＝EG＝CG＝2.过点B作BH⊥CD交于点H.因为平面BCD⊥平面ACD，BH⊂平面BCD，所以BH⊥平面ACD.-------------------------==-------------------------------------12分由条件得BH＝.又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin30°＝，所以三棱锥BDEG的体积为V＝S△DEG·BH＝××＝.-------=------14分18.解　(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，-14-\n所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分当x＝300时，S取得最大值-5000，----------------------------------------------5分所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分(2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为-------------------------------------------9分①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，取得最小值240.-------------------------------------------------12分②当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.因为200<240，------15分答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分19．解析：（1）由题意：，所以．所求椭圆方程为．又点在椭圆上，可得．所求椭圆方程为．-----------5分（2）证明：由（1）知：．设，．则直线的方程为：．--------------------------------------------------7分由得．----------------------------------8分因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以．----------------------------------------10分由，得．所以．从而，．------------------------------------------12分所以．------------------------------------14分-14-\n又三点不共线，所以为钝角．-------------------------------------15分所以△为钝角三角形．----------------------------------------------------------16分20.解：（1）的定义域是当时在上递减；-------------------------------2分当时在上递增，的极小值是，无极大值．------------------------------------------4分（2）恒成立对，在上递增，------------------------------------------------------------------6分--------------------------------10分（3）证明：令在上恒成立，在区间上递减，-----------------------------------------------------------12分-----------------------------------------------------------15分在区间上，函数的图象在的图象下方--------------16分数学（Ⅱ）加试题21.（本小题共2小题，满分20分）．B．解：由特征值、特征向量定义可知，A，即，得------------------5分同理可得解得．-14-\n因此ad－bc＝2－6＝－4．---------------------10分C．解：（1）消去参数得直线的直角坐标方程：---------2分由代入得.（也可以是：或）----------------5分（2）得-----------------------------7分设，，则.------10分O(A)BCDA1B1C1D1（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）22．解：根据题意可知，AA1,AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：（1）长方体体积为当且仅当，即时体积有最大值为1-----------------------1分所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形则，设平面A1BC的法向量，则，取，得：，同理可得平面A1CD的法向量所以，-----------------------------4分又二面角B-A1C-D为钝角，故值是---------------------------5分（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量）-14-\n（2）根据题意有，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨，可得即：解得：------------------------------------------------------------------9分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处.---------------------------------------------10分当时，由（*）得，所以无正整数解；当时，由（*）得，所以．综上可知，存在符合条件的正整数．---------------------------10分-14-\n-14-