2022-2022学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B= ．2．函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为 ．3．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）= ．4．函数f（x）=的定义域是 ．5．已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为 ．6．在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为 ．7．函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是 ．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2022）的值为 ．9．计算（）﹣lg﹣lg的结果为 ．10．已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为 ．11．函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为 ．12．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ．19/2013．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为 ．14．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁RB；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；19/20（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点． 19/202022-2022学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B= {﹣1，0，2} ．【考点】并集及其运算．【分析】根据两集合并集的感念进行求解即可．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}【点评】本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理． 2．函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为 π ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的周期公式直接加以计算，即可得到函数的周期．【解答】解：∵函数中，振幅A=1，初相φ=，且ω=2∴函数的最小正周期为T==π故答案为：π【点评】本题给出三角函数的表达式，求它的周期，着重考查了三角函数的图象与性质的知识，属于基础题． 3．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，19/20∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值． 4．函数f（x）=的定义域是 （﹣∞，0） ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，运用指数函数的单调性，即可得到所求定义域．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1，解得x＜0．则定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用分式分母不为0，偶次根式被开方数非负，同时考查指数函数的单调性，属于基础题． 5．已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为 1 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】方程3x+x=5的解转化为函数f（x）=3x+x﹣5的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均为增函数，故f（x）=3x+x﹣5在R上为增函数，故f（x）=3x+x﹣5至多有一个零点，∵f（1）=3+1﹣5＜019/20f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在区间[1，2]有一个零点，即方程方程3x+x=5的解所在区间为[1，2]，故k=1，故答案为：1【点评】考查方程的根和函数零点之间的关系，即函数零点的判定定理，体现了转化的思想方法，属基础题． 6．在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为 4 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】先求出=（2，2），=（2t﹣1，t+3），再由与共线，利用向量平行的性质能求出t的值．【解答】解：∵=+2，=3+4，=2t+（t+5），∴=（2，2），=（2t﹣1，t+3），∵与共线，∴，解得t=4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用． 7．函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是 ．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知可求2x的范围，利用余弦函数的图象和性质即可得解其值域．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴f（x）=cos2x∈．19/20故答案为：【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题． 8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2022）的值为 ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，结合三角函数的解析式进行求解即可．【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f（x）=3sin（x+），则f（2022）=3sin（×2022+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键． 9．计算（）﹣lg﹣lg的结果为 ．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数、有理数指数幂性质、对算法则求解．19/20【解答】解：（）﹣lg﹣lg=（）﹣2﹣lg==．故答案为：．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、有理数指数幂性质、对算法则的合理运用． 10．已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为 ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】将分子分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式可求tanα=3，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11．函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为 ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称，可得出函数的形式变为了y=cos（φ+），k∈z，由余弦函数的对称性此得出φ的表达式判断出φ的最小正值得出答案．【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，19/20所得图象对应的函数解析式为：y=cos（φ+）由于其图象关于y轴对称，∴φ+=kπ，k∈z，∴φ=﹣2kπ，k∈z，由φ＞0，可得：当k=0时，φ的最小正值是．故答案为：【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律，由这些规律得到关于φ的方程，再根据所得出的方程判断出φ的最小正值，本题考查图象变换，题型新颖，题后注意总结此类题的做题规律，在近几年的高考中，此类题出现频率较高，应多加重视． 12．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ．【考点】分段函数的应用．【分析】通过函数的单调性，列出不等式，化简求解即可．【解答】解：当函数f（x）=是R上的单调增函数，可得：，解得a∈．当函数f（x）=是R上的单调减函数，可得：，解得a∈∅．故答案为：．19/20【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力． 13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC的长度为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后由求解，则答案可求．【解答】解：∵•=2，且•====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题． 14．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+19/202，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=loga（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此loga（|8|+1）=2，解得a．②当1＞a＞0时，画出函数y=loga（|x|+1），同理满足：loga（6+1）＞﹣2，loga（10+1）＜﹣2，解出即可得出．【解答】解：①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=loga（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此loga（|8|+1）=2，解得a=3．②当1＞a＞0时，画出函数y=loga（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：loga（6+1）＞﹣2，loga（10+1）＜﹣2，解得：＜a＜．故所求的实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】19/20本题考查了函数的图象与性质、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2022秋•宿迁期末）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁RB；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）写出m=2时集合B和∁RB，再计算A∩∁RB；（2）根据A∪B=B时A⊆B，得出关于m的不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）当m=2时，B=[m，m+6]=[2，8]，…（1分）∁RB=（﹣∞，2）∪（8，+∞）；…又A=[﹣1，3]，所以A∩∁RB=[﹣1，2）；…（7分）（2）因为A∪B=B，所以A⊆B，…（9分）由A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，得，…（12分）解得﹣3≤m≤﹣1，即m的取值范围是[﹣3，﹣1]．…（14分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目． 16．（14分）（2022秋•宿迁期末）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值．19/20【分析】（1）由题意可得x=3，y=﹣4，r=5，根据三角函数的定义可得sinθ，cosθ和tanθ的值．（2）利用诱导公式化简所求，结合（1）结论即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为角θ的终边经过点P（3，﹣4），所以x=3，y=﹣4，所以，…（1分）所以，…，…．…（7分）（2）因为cos（3π﹣θ）=﹣cosθ，…（8分），…（9分），…（10分）tan（π+θ）=tanθ，…（11分）所以…（12分）=．…（14分）【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，诱导公式的应用，求出x、y、r的值，是解题的突破口，属于基础题． 17．（14分）（2022秋•宿迁期末）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．【考点】19/20平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设=（x，y），推出x2+y2=5，通过∥，即可求解的坐标．（2）因为﹣与5+2垂直，数量积为0，得到52﹣3•﹣22=0，求出•=﹣5，利用数量积求解cosθ，然后θ∈[0，π]，求出．【解答】解：（1）设=（x，y），则x2+y2=5…（2分）因为∥，所以4y﹣2x=0…由，可得或所以的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）；…（6分）（2）因为﹣与5+2垂直，所以（﹣）（5+2）=0…（8分）化简得：52﹣3•﹣22=0又因为，，所以•=﹣5…（10分）cosθ=…（12分）又因为θ∈[0，π]，所以．…（14分）【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量共线以及坐标运算，考查计算能力． 18．（16分）（2022秋•宿迁期末）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19/20【考点】扇形面积公式．【分析】（1）设花坛的面积为S平方米.，即可得出结论；（2）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10，所以=，即可得出结论．【解答】解：（1）设花坛的面积为S平方米.…（2分）==…答：花坛的面积为；…（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知60•2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*…（7分）…（9分）由*式知，…（11分）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10所以=…（13分）当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．…（15分）答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题． 19．（16分）（2022秋•宿迁期末）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．19/20（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；法二：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m的范围．【解答】（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…由定义域为R舍去，所以．…（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…此时为奇函数；…所以．…19/20（2）函数f（x）为R上的单调增函数．…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，…（14分）解得，所以实数m的范围是．…（16分）【点评】本题考查了奇函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性，以及构造法解不等式，考查方程思想，函数思想，化简、变形能力． 20．（16分）（2022秋•宿迁期末）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；19/20（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，利用待定系数法求解即可．（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，b≤2或a≥2，①1°当b≤2时，2°当a≥2时，列出不等式组，求解m的取值范围为；②（法一）设x0为g（x）的零点，则，求出m=0或m=﹣3，1°当m=0时，求出h（x）所有零点为0，2，4；2°当m=﹣3时，求出h（x）所有零点为；（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t），展开对应系数相等求解即可．【解答】解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0所以，所以，所以f（x）=﹣x2+4x…（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以，即a，b为g（x）=x的两个根，所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，19/20所以x2﹣3x﹣m=0要满足，得…（6分）2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以，即两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，所以m=a2﹣5a+5，，得…（9分）综上，m的取值范围为…（10分）②（法一）设x0为g（x）的零点，则，即，即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3…（12分）1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得，所以h（x）所有零点为…（16分）（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）展开对应系数相等得或（下同法一）．【点评】本题考查函数的零点的求法，二次函数的性质，待定系数法以及转化思想的应用，考查计算能力． 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