宜春市2022—2022学年第一学期期末统考高二年级数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若，，则有（）A．B．C．D．3．已知向量，，若，则实数λ的值为（）A．B．C．D．4．已知中，，则等于（）A．B．C．D．5．设，则方程不能表示的曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线6．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（）A．B．C．D．7．若命题“或”为真，且“非”为真，则（ ）A．真真 B．假真C．真假 D．假假8．若，，，，则（ ）A．Ｂ．Ｃ．D．9．已知顶点，（），点满足，则顶点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8\n10．为等差数列的前项和，，，，以下给出了四个结论：①公差；②；③；④使取得最小值的有两个.其中正确的结论共有（）A．个B．个C．个D．个二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知等比数列中，、是方程的两根，则；12．设实数满足条件，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是；13．椭圆的焦点为、，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段长为，的周长为，则椭圆的离心率；14．已知为钝角三角形，且三边长为连续的正整数，则其最大内角的余弦值为；KEEDDCCBBAA15．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本题满分12分）给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根．若“或”为真命题，“且”为假命题．求实数的取值范围．8\n17．（本题满分12分）已知、、是的三个内角，是锐角，向量，，且．（1）求角；（2）若且的面积为，求的值．18．（本题满分12分）已知甲、乙、丙三种食物中维生素、含量及成本如下表所示，若用甲、乙、丙三种食物各千克，千克，千克配成千克混合食物，并使混合食物内至少含有单位维生素和单位维生素．甲乙丙维生素（单位/千克）维生素（单位/千克）成本（元/千克）（1）用，表示混合食物成本元；（2）试确定，，的值，使得成本最低，并求出最低成本．19．（本题满分12分）BC1NACMB1A1如图，在直三棱柱中，，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线和平面的夹角的大小．8\n20．（本题满分13分）已知抛物线．过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、，．（1）求的取值范围；（2）若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．21．（本题满分14分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，有，，(其中且)成等差数列，令.（1）求数列的通项公式(用，表示)；（2）当时，数列是否存在最小项，若存在，请求出第几项最小；若不存在，请说明理由；（3）若是一个单调递增数列，请求出的取值范围.8\n宜春市2022—2022学年第一学期期末统考高二年级数学（理科）答案及评分标准一、选择题题号12345678910选项ADCADBBBCC二、填空题11．12．13．14．15．三、解答题16．解：对任意实数都有恒成立；3分关于的方程有实数根；……………………6分由题意可知，命题与有且只有一个是真命题如果正确，不正确，有；如果正确，且不正确，有．………………10分所以实数的取值范围为．……………………………………………12分17．解：（1）由，得，又∵是锐角∴………………………………………………………………4分（2），因此∴………………………………………………………………8分由余弦定理得：∴…………………………………………………………12分8\n18．解：（1）依题意，得，又∵，∴；………………………………………………………………4分（2）由得∴…………………………………………………………………………8分∴，当且仅当即时等号成立。…………………………………………………………………10分此时，（元）。∴当（千克），（千克），（千克）时，混合物成本最低，最低为850元。……………………………………………………………………………12分zyx19．解：（1）如图，建立空间直角坐标系，设，则：、、、、∵又因此，平面………………………………………………6分（2）则（1）知是平面的一个法向量，又，∴因此，向量与的夹角为，即：直线和平面的夹角为．………………………………12分注：用传统的几何法证明求解的参照给分20．解：（1）直线的方程为，将，8\n得．设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则又，∴．∵，∴．解得．………………………………6分（2）设AB的中点为Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得，．即∴线段AB垂直平分线的方程为：，其与轴的交点……………………9分∴即：面积最大值为……………………13分21．解：(1)由题意①∴②②-①得即，…………………2分是以为公比的等比数列.∴又∴…………………………4分(2)时，，……………6分当时，即，当时，即，8\n当时，即∴存在最小项且第8项和第9项最小…………………………9分(3)由得当时，得即，显然恒成立∴…………………11分当时，∴即∴…………………………13分综上，的取值范围为.…………………………14分8
