2022届樟树中学、高安二中期中考试高二数学联考试题(理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1.命题“存在R，0”的否定是()A．不存在R,>0B．存在R,0C．对任意的R,0D．对任意的R,>02.已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（ ）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件3.抛物线的准线方程是，则a的值是（）A．B．C．-2D．24.下列说法中，正确的是( ) A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关 C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5.若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线；②存在一个平面；③存在两条平行直线,且；④存在两条异面直线．那么可以是的充分条件的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6.已知，则向量与的夹角为()A30° B 45°C 60°D90°7.程序框图如下图，运行的结果为，若要使输出的结果为，则可能的修改方法是()开始是否K=12,s=1④结束-14-\nA.在①处改为B.在②处改为C.在③处改为D.在④处改为 34562.544.58．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为()A. 3 B. 3.15 C.3.5 D. 4.59.如图，已知是半圆O的直径，是将半圆圆周四等分的三个分点，从这6个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A． B． C． D．10.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是()A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．曲线的一部分D．抛物线的一部分（第12图）11.椭圆的长轴为,短轴为,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（ ）A.75° B.60° C.45° D.30°12.如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为()-14-\nA．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.14.如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为________.15.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为 ．16.若曲线和曲线有三个交点，则的取值范围是________.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？18.某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72,88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？-14-\n19.已知关于的一元二次方程（1）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若，求方程没有实根的概率．20.已知命题方程表示的曲线是双曲线；命题不等式在区间上恒成立，若“”为真命题，为假命题，求实数的取值范围.21.如图，长方体中，，，，且恰为二面角的平面角.（1）求证：平面⊥平面；（2）求异面直线、所成的角；（3）设的重心为G，问是否存在实数，使得=，且⊥平面同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22.已知是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴交于点。 (1).若直线经过抛物线的焦点，求两点的纵坐标之积；(2).若点的坐标为，弦的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.-14-\n高二数学试题(理科）答案命题人：黄国庆审题人：刘家祖一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1.命题“存在R，0”的否定是(D)A．不存在R,>0B．存在R,0C．对任意的R,0D．对任意的R,>02.已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的（ D ）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件3.抛物线的准线方程是，则a的值是（A）A．B．C．-2D．24.下列说法中，正确的是( C) A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关 C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5.若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线；②存在一个平面；③存在两条平行直线,且；④存在两条异面直线．那么可以是的充分条件的有（ C）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6.已知，则向量与的夹角为(C)A30° B 45°C 60°D90°-14-\n开始是否K=12,s=1④结束7.程序框图如下图，运行的结果为，若要使输出的结果为，则可能的修改方法是(B)A.在①处改为B.在②处改为C.在③处改为D.在④处改为 8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为(C)34562.544.5A. 3 B. 3.15 C.3.5 D. 4.59.如图，已知是半圆O的直径，是将半圆圆周四等分的三个分点，从这6个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（C） A． B． C． D．10.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是(B)A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．曲线的一部分D．抛物线的一部分-14-\n（第12图）11.椭圆的长轴为,短轴为,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（ B ）A.75° B.60° C.45° D.30°12.如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为(B)A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取___60____名学生.14.如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为________.15.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为 ．16.若曲线和曲线有三个交点，则的取值范围是________.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）-14-\n17.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．18.某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。-14-\n（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若数学成绩在区间[72,88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？【解析】（1）由频率分布图可知： ……4分（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为 ……8分（3）数学成绩在区间[72,80]的人数约为：数学成绩在区间[80,88]的人数约为：；。.......12分19.已知关于的一元二次方程-14-\n（1）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若，求方程没有实根的概率．解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为P（A）=；（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，其面积为S（Ω）=12满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）=+=∴所求的概率P（B）=．-14-\n20.已知命题方程表示的曲线是双曲线；命题不等式在区间上恒成立，若“”为真命题，为假命题，求实数的取值范围.解：若为真：方程可化为：曲线为双曲线，则：.............3分若为真,,.....6分为真，为假，则...............7分则，不等式无解..........................9分若假真,则，...............11分综上可得：.........................12分21.如图，长方体中，，，，且恰为二面角的平面角.-14-\n（1）求证：平面⊥平面；（2）求异面直线、所成的角；（3）设的重心为G，问是否存在实数，使得=，且⊥平面同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：如图建立空间直角坐标系，则 （1）为二面角A－ED－A的平面角. ， （2） 为二面角A－ED－A的平面角.，即 ，取AD中点F，则，， 所以，即异面直线AE、CD所成的角为 （3）依题意-14-\n 假设存在满足题设条件，则且 即 22.已知是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴交于点。 (1).若直线经过抛物线的焦点，求两点的纵坐标之积；(2).若点的坐标为，弦的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，………………1分依题意，设直线方程为，其中.………………2分将代入直线方程，得，整理得，………………4分所以，即两点的纵坐标之积为.………………5分（Ⅱ）设，，.由得.由，得.………………6分所以，.设中点坐标为，则，，所以弦的垂直平分线方程为，-14-\n令，得.由已知，即.……………10分当，即时，的最大值为。当时，；当时，.均符合题意.所以弦的长度存在最大值，其最大值为.………………12分-14-
