保定一中2022—2022学年第二学期第一次阶段考试高二理科数学试题答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设复数，则的虚部为（ C）A.B.C.D.2．设函数，则( D )A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( C )A．30° B．45° C．60° D．90°4.如图，函数与相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(B)A.1B.C.D.25．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( B )A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．6.已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝，＝.若k＋与k－2互相垂直，则实数k的值为（C）．A．B．C．或D．或7.下列积分值等于1的是（ D ）A． B． C． D．8．＝(1－t,1－t，t)，＝(2，t，t)，则|－|的最小值是( C )A. B. C. D. 9.给出下列四个命题：①是增函数，无极值.②在上没有最大值6③由曲线所围成图形的面积是④函数存在与直线平行的切线，则实数取值范围是其中正确命题的个数为（A ）A．1 B．2 C．3 D．4 10．设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（D）A．B． C．[0，]∪D．[0，)∪11．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（C）A.B.C.D.12.若函数对任意的都有恒成立，则（C）A．B．C．D．与的大小不确定二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.在四面体O—ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__(用，，表示)．14.下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i,p4：z的虚部为－1，其中真命题的个数为.2p2，p415.函数的单调递减区间是_________.16.已知函数，如果成立，则实数a的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，6∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，又当x＝1时，f(x)取得极值－2，∴即解得∴f(x)＝x3－3x.(2)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，当－1<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x<－1或x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.18.（本题满分12分）设数列的前n项和为，且满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明解析：（1）a=1,a=3,a=7,a=15（2）猜想=2-1证明：①n=1时成立②假设n=k时成立，即=2-1则n=k+1时，S=2,又S=2两式相减得：由假设及上式得：即：所以；n=k+1时也成立由①②知=2-1，nN时成立19.（本题满分12分）如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解 (1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，6∴a·b＝b·c＝c·a＝.||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.20．（本小题满分10分）直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：；(2)求证：平面．解(1)证明 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)证明：∵＝（a＋b），＝b＋c＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.·＝－a2＋b2＝0.∴,即CE⊥A′D.，又故平面．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2alnx(a>0)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．6[解析] (1)∵a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋2lnx，∴f′(x)＝(x>0)，f(1)＝－3，f′(1)＝0，所以切线方程为y＝－3.(2)f′(x)＝＝(x>0)，令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝1，当0<a<1时，在x∈(0，a)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，在x∈(a,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a＝1时，f′(x)＝≥0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a>1时，在x∈(0,1)或x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，在x∈(1，a)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．(3)由(2)可知，f(x)在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f(1)＝1－2(a＋1)≤0且f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得a≥.22．（小题满分12分）已知函数在点处的切线的斜率为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）证明：函数的图象恒在直线的下方（点除外）；（Ⅲ）设点，当时，直线的斜率恒大于，试求实数的取值范围．（Ⅰ）因为，又因为函数在点处的切线斜率为，所以，所以；（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为：，令，则，又因为，所以当时，；当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，所以，6所以，即函数的图象恒在其切线的下方（切点除外）；（Ⅲ）因为，所以当时，，即，.令，所以在单调递增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以.6</a<1时，在x∈(0，a)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)></x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x<－1或x>
