2022-2022学年上期高二第二次精英对抗赛（文科）数学试题试卷总分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）1．命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则甲是乙的（ ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．若“0＜x＜1是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）3．运行如右图所示的程序框图．若输入x=4，则输出y的值为（ ） A．49B．25C．13D．74．下列说法正确的是（ ） A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件 B．若￢p⇒￢q，则p是q的充分条件 C．x≠±1是|x|≠1的充要条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形5.根据下面给出的2022年至2022年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()A.逐年比较，2022年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2022年我国治理二氧化硫排放显现C.2022年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )．A．30°B．45°C．135°D．165°7.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则7（）8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )A．[－1，－]B．[－1,0]C．[0,1]D．[，1]9、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.B.C.D.10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.11．已知f＝，则f′(x)等于( )．A.B．－C.D．12、若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为__________14．设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 157．为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建穿江隧道的市民占80%，在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在[20，30）岁的有400人，[40，50）岁的有m人，则n= ，m= 16．已知函数f(x)＝的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.已知函数在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．720.（本小题满分12分）某种产品广告的支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据.广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y与x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？＝，＝－.21．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．7第二次精英对抗赛文科数学试题答案BABCDBAADDCD13.14.（0，2]15.4000，112016.(-2,2)17.分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解答：解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．18.[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)．注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.19．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即7“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个∴所求的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}其面积为∴所求的概率P（B）=20.解答：（1）散点图略.（2）由散点图可知y与x之间具有线性相关关系.由题意知，，，，，回归直线方程为（3）将x=9代入，得，故投入9万元广告费，销售收入约为129.4万元.21．解:由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.∵f′(x)－9x＝ax2＋(2b－9)x＋c＝0的两个根分别为1,4，∴(*)(1)当a＝3时，由(*)式得解得b＝－3，c＝12，又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点，∴f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a，又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．解得a∈[1,9]，即a的取值范围为[1,9]．22．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0． 依题意 解得 ∴ 椭圆方程为 ． （2）假若存在这样的k值，由得．7 ∴ ． ① 设，、，，则 ②而．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即． ∴ ． ③ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立． 综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．7
