河南省南阳市2022-2022学年高二上期期末质量评估数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.不等式的解集为A.B.C.D.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为若,则△ABC的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知圆C1：，圆C2：,若动圆C与圆C1相外切且与圆C2相内切，则圆心C的轨迹是A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为,且成等差数列,则等于A.-1或B.1或-C.1D.-6.已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是A.B.C.4D.87.双曲线C与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的标准方程为A．B．C．D．-8-8.下面命题中，正确命题的个数为①命题：“若,则”的逆否命题为:“若,则”;②命题：的否定是;③“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的必要不充分条件;④设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的充要条件;A.1个B.2个C.3个D.4个9.若满足条件,当且仅当时,取最小值,则实数的取值范围是A．B．C．D．10.已知直二面角,，.若，则D到平面ABC的距离等于A.B.C.D.111.若数列{an}满足,则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是A.10B.100C.200D.40012.已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接若则的离心率为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.已知数列满足，，那么的值是___________．-8-14.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为.15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_______．16.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)已知命题p:“1≤x≤5是x2-(a+1)x+a≤0的充分不必要条件”，命题q:“满足AC=6，BC=a,∠CAB=30°的DABC有两个”.若“Øp且q”是真命题，求实数a的取值范围.18(本题满分12分)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角A的大小.(2)若a=1,,求b+c的值.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°，M为PB的中点.(1)求PA与底面ABCD所成角的大小.(2)求证：PA⊥平面CDM.(3)求二面角D-MC-B的余弦值.(本题满分12分)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若,求直线的斜率.(2)求∠ATF的最大值.-8-(本题满分12分)已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和Sn.(2)设,数列的前n项和为Tn,求证:22.(本题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，是椭圆的左右焦点，且，求四边形面积的最大值。2022年秋期期终质量评估高二理科数学参考答案一．选择题DCDADABDCCBB二．填空题13.9014.4415.16.三．解答题17.解：命题p:.……………3分命题q:……………6分-8-因为Øp∧q是真命题，所以p假，q真.……………8分所以实数a的取值范围是.……10分解：(1)由题意得可得sinBsinA=cosAsinB,所以tanA=,即A=.……………6分(2)由,得cbcos=3,即cb=①又a=1,从而1=b2+c2-2bccos,②由①②可得(b+c)2=,所以b+c=.……………12分19.解：(1)取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC.又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O.连接OA,则OA是PA在底面上的射影,∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角.∵∠ADC=60°,由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=.∴∠PAO=45°,∴PA与底面ABCD所成角的大小为45°.……………4分(2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,得OA⊥DC.建立空间直角坐标系如图，则A(,0,0),P(0,0,),D(0,-1,0),B(,2,0),C(0,1,0).由M为PB中点,∴M(,1,),∴=(,2,)，=(，0，-),=(0,2,0),∴∴PA⊥DM,PA⊥DC.又DM∩DC=D,∴PA⊥平面CDM.……………8分-8-(3)=(,0,)，=(，1，0).设平面BMC的法向量n=(x,y,z),则n·=0，从而x+z=0;①n·=0,从而x+y=0,②由①②，取x=-1，则y=,z=1.∴可取n=(-1,,1).由(2)知平面CDM的法向量可取=(,0,-),∴∴所求二面角的余弦值为.……………12分20.解：(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).当轴时,A(1,2),B(1,-2),此时,与矛盾…2分所以设直线的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则,①所以,所以y1y2=-4, ②因为,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,将①②代入并整理得,k2=4,所以k=±2.……………6分(2)因为y1>0,所以,当且仅当,即y1=2时,取等号,所以∠ATF≤,所以∠ATF的最大值为.……………12分-8-21.解：(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=1,所以q2-3q+2=0,因为q≠1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,……………6分(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以.。……………12分22.解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．……………4分（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得：．-8-设，，∵，．．………8分四边形的面积，．当且仅当时，，故．所以四边形的面积的最大值为．……………12分-8-
