南阳市2022届高三上期期中质量评估数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一、选择魔：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合A＝｛x｜｝（i是虚数单位），B＝（1，一1｝，则AB等于A．｛一1｝ B．｛1｝ C． D．｛1，一1｝2；设复数z＝（x一1）＋，若1，则y≥x的概率为 A、 B、 C、 D、3．下列命题中正确的结论个数是①“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件②命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0’’的否命题是“若ab0，则a0且b0＂③日，使A．0 B．1 C．2 D．34．已知函数，当f（x）＞f（2x一1）时，x的取值范围是 A、 B、C、 D、5．已知等比数列｛｝满足＞O，n＝1，2…，且，则当n1时，A．n（2n一1） B．（n＋l）2 C．n2 D．（n一1）26.已知函数y=f(-｜x｜）的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象不可能是-9-\n7.若恒成立，则a的最小值为A.1 B. C.2 D、28.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是9.在△ABC中，已知AC=1，∠ABC＝，∠BAC=θ,记，则f（θ）的值域为 A.[0，） B.(0,) C.[0,］ D.(0,］10.函数f(x)＝，若函y＝f(x)十f（2－x）－b，恰4个零，则b的取值范围是A.（，＋）B.（一,）C.（0，）D.（，2）11．已知：若P是△ABC所在平面内一点，且的取值范围是A、[13,17] B.[12,13］ C.[,12］ D.[,13］12.已知函数f(x）对任意的xR都满足f(x)＋f(－x)=0,当x0时，f（x）＝，若对，都有f（x－2）f（x)，则实数a的取值范围为-9-\nA、(0，) B.［，) C、（0，] D、(0，］第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于 ．14.已知f（x）在R上可导，且满足，则f（一2022)+f（2022） 2f（2）(填两个数值的大小关系：＞、＝、＜、≥、≤）．15.设实数x,y满足约束条件，若目标函数的最大值为9，则d＝的最小值为 ．16.设函数，若f(x)的函数图像与x轴恰有2个交点，则实数的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题10分）在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C，所对的边，且(1)确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求十b的值．18.（本小题12分） Sn为数列｛｝的前n项和，已知Sn＝．（1)求数列｛｝的通项公式； (2)若数列｛｝满足，求数列{｝的前n项和Tn.-9-\n19.（本小题12分）设f(x)是一个二次项系数为正的二次函数，f(x+3)＝f(－1－x)对任意xR都成立，若向量a=（，2sinx)，b＝(2，sinx)，c＝(2，1)，d＝(l，cos2x)，求f(a·b)－f(c·d)>0的解集．20.（本小题12分）数列｛｝的首项al＝1，且对任意nN＊,与恰为方程的两个根．(1)求数列（｝和数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛｝的前n项和Sn．21.（本小题12分）已知函数f(x)=x3－3x.(1)求函数f(x)的极值；(2)过点P(l,n)(n－2)作曲线y=f(x)的切线，问：实数n满足什么样的取值范围，过点P可以作出三条切线？ 22.（本题12分）已知函数g(x)＝x2－2xlnx.-9-\n(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在(0,1)，使得g(.x)在区间（1，＋）内恒成立，且g(x)=在（1，＋）内有唯一解．高三（理科）数学试题参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.D 11.D 12.C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.或14、≥（大于等于）15、16、或三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题10分）解（1）由及正弦定理得，是锐角三角形，…………5分（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得-9-\n由②变形得解法2：前同解法1，联立①、②得消去b并整理得解得所以故…………10分18.（本题12分）解：（Ⅰ）由可得，而，则…………6分（Ⅱ）由及可得.…………12分 19.（本题12分）-9-\n解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为f(x+3)=f(-1-x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；∵·=(,2sinx)·(2,sinx)=2sin2x＋1≥1，·=(2,1)·(1,cos2x)=cos2x＋2≥1……………………6分∵m＞0，f(·)＞f(·)f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z.……………………12分20.（本题12分）解：(Ⅰ)由题意n∈N*，an·an＋1＝2n∴＝＝＝2又∵a1·a2＝2，a1＝1，a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列 ∴a2n－1＝2n－1，a2n＝2nn∈N* 即…………3分又∵bn＝an＋an＋1当n为奇数时，当n为偶数时，∴bn＝…………6分(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn当n为偶数时，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＝7·－7 当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·－7 Sn＝…………12分21.（本题12分）-9-\n解：（I）∵，∴在处取得极值，∴极大值，极小值，…………5分（II）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点P（1，n）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点P（1，n）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.设g(x 0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<n<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<n<－2.…………12分22.（本题12分）解：⑴由题的定义域为，，所以且。当时，，当时，，可得，在单调递增；…………6分⑵设函数。则只需证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解。由可得，令-9-\n，则，，故存在，使得。令，，由知，函数在区间单调递增。所以，即。当时，有，。由⑴知，函数在单调递增，故当时，有，从而；当时，有，从而。所以，当时，。综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解。……12分-9-
